Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số (bài toán về cấu tạo số)

Một số bài tập Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số chuyên đề môn toán lớp 5 dành cho các em ôn tập kiến thức toán lớp 5, cũng như học sinh lớp 5 cũng cố kiến thức môn toán trong kì nghỉ hè chuẩn bị thật tốt cho năm học lớp 6.

Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số
ÔN TẬP HÈ LỚP 5 LÊN LỚP 6

 

Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số

Bài Tập 1: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.

Bài giải

Gọi số có 2 chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10)

 Theo bài ra ta có = a + b + a x b 

a x 10 + b = a + b + a x b 

       a x 10 = a + a x b (cùng bớt b)

       a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với một tổng)

  10 = 1 + b (cùng chia cho a)

              b = 10 – 1

                        b = 9

BTập2: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta đợc một số lớn gấp 31 lần số cần tìm.

Bài giải

Gọi số phải tìm là (a > 0, a, b < 0)

Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ta đợc số mới là .

Theo bài ra ta có: 

= 31 x

2100 + = 31 x   (phân tích số = 2100 + )

  2100 + = (30 + 1) x

2100 + = 30 x + (một số nhân một tổng)

          2100 = x 30  (cùng bớt )

= 2100 : 30

  = 70.

Thử lại 

2170 : 70 = 31 (đúng)

Vậy số phải tìm là: 70 

Đáp số: 70.

 

Bài 3 Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của nó.

Bài giải

Cách 1: 

Bớc 1: Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10).

Theo đề bài ta có: = 6 x b

Bớc 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng.

Vì 6 x b là một số chẵn nên là một số chẵn.

b > 0 nên b = 2, 4, 6 hoặc 8.

Bớc 3:  Tìm giá trị bằng phơng pháp thử chọn

Nếu b = 2 thì = 6 x 2 = 12.  (chọn)

Nếu b = 4 thì = 6 x 4 = 24. (chọn)

Nếu b = 6 thì = 6 x 6 = 36. (chọn)

Nếu b = 8 thì = 6 x 8 = 48. (chọn)

Bớc 4: Vậy ta đợc 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.

Đáp số: 12, 24, 36, 48.

Cách 2: 

Bớc 1:  Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10)

 Theo đề bài ta có: = 6 x b

Bớc 2: Xét chữ số tận cùng 

Vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8.

Bớc 3: Tìm giá trị bằng phơng pháp thử chọn

Nếu b = 2 thì = 6 x 2 = 12 (chọn)

Nếu b = 4 thì = 6 x 4 = 24 (chọn)

Nếu b = 6 thì = 6 x 6 = 36 (chọn)

Nếu b = 8 thì = 6 x 8 = 48 (chọn)

Bớc 4: Vậy ta đợc 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.

Đáp số: 12, 24, 36, 48.

Bài 4: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 4 vào bên trái số đó, ta đợc một số gấp 9 lần số phải tìm.

Bài giải

 

Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phải số có 2 chữ số thì số đó tăng thêm 400 đơn vị

Theo bài ra ta có:

4ab = ab x 9

400 + ab = ab x 9

400 + ab = ab x (8+ 1)

400 + ab = 8ab + ab

400 = 8ab ( Cùng bớt 2 vế đi ab)

Ab = 400 : 8

Ab = 50

Đáp số 50

 

Bài 5: Tìm một số có 2 chữ số, khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đợc một số gấp 13 lần số phải tìm.

Bài giải

 

Nếu viết thêm chữ số 9 vào bên phảI số có 2 chữ số thì số đó tăng thêm 900 đơn vị

Theo bài ra ta có:

9ab = ab x 13

900 + ab = ab x 13

900 + ab = ab x (12+ 1)

900 + ab = 12ab + ab

900 = 12ab ( Cùng bớt 2 vế đi ab)

Ab = 900 : 12

Ab = 75

Đáp số 75

 

Bài 6: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc một số hơn số phải tìm 1112 đơn vị.

Bài giải

Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phảI số đó thì số đó tăng thêm 10 lần và 5 đơn vị

Để số đó tăng thêm 10 lần thì hiệu mới là:

1112 – 5 = 1107

Số cần tìm là :

1107 : (10-1) = 123

Đáp số 123

Bài 7: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc một số hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Bài giải

Số cần tìm là:

(230 – 5) : ( 10 – 1) = 25

 Đ/ s : 25

Bài 8: Cho một số có 2 chữ số. Nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trớc và đằng sau số đó thì số đó tăng lên 21 lần. Tìm số đã cho.

Bài giải

 

Theo đầu bài ta có

ab x 21 = 1ab1

ab x 21 = 1000 + ab0 + 1

ab x 21 = 1001 + ab0

ab x 21 = 1001 + ab x 10

ab x11 = 1001 ( Cùng bớt di ab x 10)

ab = 1001 : 11

ab= 91

Bài  9 : Tìm số có 4 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc số lớn gấp 5 lần số nhận đợc khi ta viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó.

Bài 10: Cho số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó, viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta đều đợc số có 4 chữ số mà số này gấp 3 lần số kia

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a; b,c< 10

Theo đầu bài ta có hai khả năng: abc 1 > 2abc hoặc abc1 < 2abc

  1. Xét khả năng abc1 > 2abc

– Theo đầu bài ta có :

abc1 = 3 x 2abc

abc x10 + 1 = (2000 +abc) x3 ( Ctạo số )

abc x 3 + abcx7 + 1 = 6000 + abc x 3 ( Một số nhân với 1 tổng)

abc x 7 + 1 = 6000 ( Bớt cả hai vế cho abc x 3)

abc x7 = 6000 -1( Tìm số hạng của tổng)

abc = 599 : 7857 ( Tìm một thừa số )

Bài 11: Cho một số có 3 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 3 lần. Tìm số đó.

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a ; bc< 10)

Theo đầu bài ta có :

abc = 3 x bc

 ( Đặt tính theo cột dọc) Số 50)

Bài 12: Tìm một số có 4 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng nghìn thì số đó giảm đi 9 lần. 

( Đặt tính theo cột dọc)  : Số 500

Bài 13: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.

Bài giải

Gọi số phải tìm là ab : ĐKiện

Theo đầu bài ta có :

 Ab = ( a+b) x5

 Ab = a x 5 + b x 5 ( nhân một số với một tổng)

A x 10 + b = a x 5 + bx5

A x( 5 + 5 ) + b = a x 5 + b x (1 + 4)

A x 5 + a x 5 + b = a x 5 + b + b x 4

A x 5 = b x 4 ( Cùng bớt đi a x5 + b)

Nừu a = 1 thì a x 5 = 1 x 5 = 5 Suy ra b không có giá trị thích hợp

 Thử chọn ta có a = 5  nên b = 4

Vậy số cần tìm là 45.

Bài  14: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 11 lần tổng các chữ số của nó.

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc : ĐKiện

Theo đầu bài ta có :

Abc = ( a + b+ c) x 11

Abc = 11 x a + 11 x b + 11 x c

A x 100 + bx 10  + c = a x11 + b x 11 + c x11

A x ( 11 + 89 ) + bx 10 + c = a x 11 + b x ( 10 + 1) +  c x ( 1 + 10)

A x11 + a x 89 + b x 10 + c = a x11 + b x10 + b + c + c x 10

A x 89 = b+ c x10 ( Cùng trừ đi nững số hạng giống nhau)

Số cầntìm là 198

Giải các bài toán Bằng cách phân tích số

————a🗊b————-

Loại 1: Viêt thêm chữ số vào bên trái một số tự nhiên.

Ví dụ 1:  Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nếu ta viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta đợc số mới gấp 25 lần số cần tìm?

 

Giải

Gọi số cần tìm là :          (đ/k  0< a; a,b < 10 )

    Số mới là :    

Theo bài ra ta có :    = 25 x

3000 + = 25 x     ( Phân tích cấu tạo số )

3000   =    24 x           ( Trừ cả 2 vế cho )

= 3000 : 24 = 125

Số tự nhiên cần tìm là : 125

                                                                                                     Đáp số : 125

Ví dụ 2:  Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu khi viết thêm vào bên trái số đó số 32 thì  Số đó sẽ tăng lên 81 lần ?

 

Giải

Gọi số cần tìm là :    Đ/k :   a = 1,2,3,4,…;9     b;c = 0,1,2,3,…..;9

Số mới là    :   

Theo bài ra ta có :      = 81 x

32000 + = 81 x   ( Phân tích cấu tạo số )

32000 = 80 x   ( Trừ cả hai vế cho )

= 32000 : 80 = 400

Số tự nhiên cần tìm là :       400

                                                           Đáp số : 400

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu ta viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đợc số mới gấp 13 lần số cần tìm?

       

Giải

 

Gọi số cần tìm là :           (đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b ≤ 9)

Số mới là :   

Theo bài ra ta có :    = 13 x

900 + = 13 x    ( Phân tích cấu tạo số )

        900 = 12 x     ( Trừ cả 2 vế cho )

          = 900 : 12 = 75

Số tự nhiên cần tìm là :    75

Đáp số : 75

Các bài toán luyện tập:

Bài 1: Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đợc một số gấp 26 lần số cần tìm?

Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm  số 12 vào bên trái số đó ta đợc một số gấp 26 lần số càn tìm?

Bài 3: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta đợc một số gấp 31 lần số càn tìm?

Bài 4: Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta đợc một số gấp 5 lần số càn tìm?

Bài 5: Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta đợc một số gấp 25 lần số càn tìm?

Bài 6: Cho một số tự nhiên có ba chữ số. Ngời ta viết thêm số 90 vào bên trái của số đã cho để đợc số mới có năm chữ số. Lấy số mới này chia cho số đã cho thì đợc thơng là 721 và không còn d. Tìm số tự nhiên có ba chữ số đã cho.

Loại 2: Viết thêm chữ số vào bên phải một số tự nhiên.

Ví dụ 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc số mới hơn số cần tìm 689 đơn vị?

Giải

Cách 1:Gọi số cần tìmlà :               ( đk: a > 0; a,b < 10 )            

Số mới là :

Theo bài ra ta có : = + 689

+ 5 = + 689   ( Phân tích cấu tạo số )

10 x + 5 = + 689

9 x = 684                 ( Trừ cả hai vế cho + 5 )

=684 : 9 = 76

Số tự nhiên cần tìm là : 76

                                                                                    Đáp số : 76

Cách 2: Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó gấp lên 10 lần và 5 đơn vị. Ta có sơ đồ sau:

Số cần tìm:

Số mới     :

Nhìn vào sơ đồ ta có số cần tìm là:

( 689 – 5 ) : ( 10 – 1 ) = 76

                    Số tự nhiên cần tìm là: 76

                                                                                         Đáp số : 76

Ví dụ 2: Cho số có hai chữ số. Nếu viết thêm vào bên phải số đó hai chữ số nữa thì đợc một số mới lớn hơn số đã cho 1986 đơn vị. Hày tìm số đã cho và 2 chữ số viết thêm ?

Giải

 

Gọi số cần tìm là :   Số viết thêm là (  Đ/k: a > 0 ; a,b < 10 )

       

Theo bài ra ta có :    = 1986 +

100 x + =  1986 + ( Phân tích cấu tạo số )

99 x +   = 1986          ( Trừ cả hai vế cho )    (*)

      Từ (*) ta thấy chính là thơng và là số d trong phép chia 1986 cho 99.

                      1986 : 99 = 20 ( d 6)

    Số đã cho là 20 và số viết thêm là 0;6

                                                                             Đáp số : 20; 0;6

 

Các bài toán tự luyện:

Bài 1:  Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 6 vào bên phải số đó ta đợc số mới hơn số cần tìm 6063 đơn vị?

(Phơng pháp giải tơng tự  phần ví dụ 1)

                                                                                   Đáp số : 673

Bài 2:  Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị.

Bài 3: Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc số mới hơn số cần tìm 230 đơn vị?

Bài 4: Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi ta viết thêm  số 12 vào bên phải số đó ta đợc số mới hơn số cần tìm 53769 đơn vị?

Bài 5: Khi viết thêm số 65 vào bên phảI một số tự nhiên thì số đó tăng 97778 đơn vị. Tìm số đó.

Bài 6:Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 6 vào bên phải số đó ta đợc số mới hơn số cần tìm 6063 đơn vị?

 

Bài 7 : Tìm một số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó số 99 ta đợc số mới lớn hơn số đã cho 4950 đơn vị?

                                     (Phơng pháp giải tơng tự  phần ví dụ 1)

                                             

                                                      Đáp số: 49

Bài 8: Cho một số tự nhiên. Nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số thì số ấy tăng thêm 383 đơn vị. Hãy tìm số đã cho và chữ số viết thêm.

(Phơng pháp giải tơng tự  phần ví dụ 2)

Đáp số: 49

Bài 9: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu viết thêm vào bên phải số đó hai chữ số nữa thì số ấy tăng thêm 1998 đơn vị. Hãy tìm số đã cho và hai chữ số viết thêm.

(Phơng pháp giải tơng tự  phần ví dụ 2)

 

Đáp số: 49

Loại 3: Viết thêm chữ số vào bên phải và bên trái một số tự nhiên.

Bài 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng nếu ta viết thêm vào bên phải và bên trái số đó mỗi bên một chữ số 1 thì ta đợc số mới gấp 87 lần số cần tìm ?

Giải

 

Gọi số cần tìm là  :       ( đ/k  0 < a  ; a,b < 10 )   

Số mới là  :        

Theo bài ra ta có  :     = 87 x

1001 + = 87 x            ( Phân tích cấu tạo số )

1001 + 10 x = 87 x       ( Phân tích cấu tạo số )

      1001 = 77 x         ( Trừ cả hai vế cho 10 x )

      = 1001 : 77 = 13

Số tự nhiên cần tìm là    :     13

                                                                       Đáp số: 13

Bài 2: Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 2 vào bên phải và bên trái số đó ta đợc số mới lớn gấp 36 lần số cần tìm?

Giải

Gọi số cần tìm là  :         đ/k  0< a 9 ;     0 b9    

Số mới là  :               

Theo bài ra ta có  :     = 36 x   

                            2002+ = 36 x            ( Phân tích cấu tạo số )

                          2002 + 10 x = 36 x       ( Phân tích cấu tạo số )

                                     2002 = 26 x               ( Trừ cả hai vế cho 10 x )

      = 2002 : 26

Số tự nhiên cần tìm là    :     77

                                          Đáp số: 77

 

Bài 3: Tìm số có hai chữ số biết rằng nếu ta viết thêm vào bên phải và bên trái số đó mỗi bên một chữ số 1 thì ta đợc số mới lớn gấp 23 lần số cần tìm.

                    ( Phơng pháp giải tơng tự nh bài 1 )

                                                                          Đáp  số: 77

Bài 64:   Tìm số có 3 chữ số biết rắng nếu ta viết thêm chữ số 2 xen giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục ta đợc số mới gấp 9 lần số cần tìm ?

 

Giải

Gọi số cần tìm là :                                 đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c≤9

Số mới là  :

Theo bài ra ta có :    = 9 x

                1000 x a + 200 + = 900 x a + 9 x

100 x a + 200  = 8 x

  Vế trái là số tròn trăm nên vế phải cũng phải là số tròn trăm nên = 25; 50; 75.

– Xét = 25 ta có :  100 x a + 200 = 8 x 25

    100 x a + 200 = 200       ( Loại )

–  Xét = 50 ta có :  100 x a + 200 = 8 x 50

    100 x a + 200 = 400

100 x a = 200 ;  a = 200 : 100 = 2 Số tự nhiên cần tìm là 250

– Xét = 75 thay vào (**) ta có :

100 x a + 200 = 8 x 75

          100 x a + 200 = 600

100 x a = 400 ;   a = 400 : 100 = 4 . Số tự nhiên cần tìm là : 475.

         Vậy ta có những số tự nhiên cần tìmlà : 250 và 475

                                                                          Đáp số : 250; 475

Bài 4:  Cho số có 2 chữ số. Nếu cùng viết thêm chữ số n vào bên trái và bên phải số đã cho thì số đó tăng thêm 21 lần. Tìm số đó.

 

Giải

Gọi số cần tìm là:             ( đ/k  0< a ; a,b < 10 )    

Số mới là :  

Theo bài ra ta có phép tính:

= 21

n 1001 + 10 = 21         (Phân tích cấu tạo số)

n 91 11 = 11                     (Trừ mỗi bên 10 )

n 91 =                                    (Chia cả hai vế cho 11)

là số có 2 chữ số nên n chỉ nhận giá trị duy nhất là 1 và = 91.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 91

                                                                             Đáp số: 91

Loại 4: Viết thêm chữ số xen giữa các chữ số của một số tự nhiên.

Bài 1:  Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 0 xen giữa 2 chữ số của nó ta sẽ đợc số mới gấp 6 lần số cần tìm?

Giải

Gọi số cần tìm là :                     đ/k  0< a ≤ 9 ;     0≤ b≤9            

Số mới là :    

Theo bài ra ta có : = 6 x

+ b = 6 x ( + b )  ( Phân tích cấu tạo số )

100 x a + b = 60 x a + 6 x b  ( Một số nhân với một tổng)

40 x a  = 5 x b              ( Trừ cả 2 vế cho 60 x a + b )

8 x a  = b                   ( Chia cả 2 vế cho 5)      

Vì b là số có một chữ số nên a chỉ nhận giá trị là 1;  b = 8. Vậy số tự nhiên cần tìm là : 18

                                                                               Đáp số : 18 

Bài 2:  Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ số 0 xen giữa 2 chữ số của nó ta sẽ đợc số mới gấp 9 lần số cần tìm?

(Phơng pháp giảitơng tự bài 37)

                                                                               Đáp số : 45

Bài 3:  Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm hai chữ số 0 xen giữa 2 chữ số của nó ta sẽ đợc số mới gấp 89  lần số cần tìm?

Giải

Gọi số cần tìm là :         đ/k  0< a ≤ 9 ;     0≤ b≤9            

Số mới là  :     

Theo bài ra ta có :  = 89 x

+ b = 89 x ( 10 x a + b )           ( Phân tích cấu tạo số )

1000 x a + b = 890 x a + 89 x b        ( Một số nhân với một tổng )

110 x a = 88 x b 

5 x a = 4 x b                  ( Chia cả 2 vế cho 22 )                       (*)

Từ phơng trình (*) ta thấy   a = 4 ; b = 5   ( Để 5 x 4 = 4 x 5). Số tự nhiên cần tìm là:  45

                                                                          Đáp số : 45

 

Bài 4:   Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi ta viết thêm số 12  xen giữa 2 chữ số của nó ta sẽ đợc số mới gấp 85  lần số cần tìm?

Giải

 

Gọi số cần tìm là :         đ/k  0< a ≤ 9 ;     0≤ b≤9    

Số mới là  :  

Theo bài ra ta có  : = 85 x

+ 120 + b = 85 x ( 10 x a + b)  ( Phân tích cấu tạo số )

1000 x a +120 + b = 850 x a + 85 x b

150 x a + 120  = 84 x b  ( Trừ mỗi vế cho 850 x a + b)

Ta thấy vế trái là một số tròn chục nên vế phải cũng phải là sổ tròn chục nên b = 5.

Thay b = 5 vào ta có :   150 x a + 120 = 84 x 5

    150 x a + 120 = 420

        a =( 420 – 120 ) : 150 = 2

    Số tự nhiên cần tìm là :  25

                                                                                  Đáp số : 25

Bài 5:  Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi ta viết thêm chữ  số 1 xen giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục ta đợc số mới lớn gấp 9 lần số cần tìm ?

                                                                             Đáp số : 125; 350

ÔN TẬP HÈ LỚP 5 LÊN LỚP 6
Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số

 

Loại 5: Xóa đi một số chữ số  của một số tự nhiên.

Bài 1: Tìm số có 3 chữ số.Biết rằng khi ta xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 17 lần?

Giải

Gọi số cần tìm là :          đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c ≤ 9

    Số mới là :    

Theo bài ra ta có :    = 17 x

= 17 x     ( Phân tích cấu tạo số )

    100 x a = 16 x         ( Trừ cả 2 vế cho  )

    25 x a = 4 x             (Chia cả 2 vế cho 4)     (1)

        Từ (1) ta thấy :  a = 4  ; = 25. Số tự nhiên cần tìm là 425

        Từ (1) ta có    50 x a = 8 x . a = 8 ; = 50 Số tự nhiên cần tìm là : 850

                                                                                 Đáp số: 425; 850

 

Bài 2: Tìm số có 3 chữ số.Biết rằng khi ta xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 5 lần?

Giải

Gọi số cần tìm là :          đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c ≤ 9

    Số mới là :    

Theo bài ra ta có :    = 5 x

= 5 x     ( Phân tích cấu tạo số )

    100 x a = 4 x         ( Trừ cả 2 vế cho  )

    25 x a =              (Chia cả 2 vế cho 4)     (1)

        Từ (1) ta thấy :  a = 1 ; = 25. Số tự nhiên cần tìm là 125

        Từ (1) ta có    50 x a = 2 x . a = 2 ; = 50 Số tự nhiên cần tìm là : 250

       Từ (1) ta có    75 x a = 3 x . a = 3 ; = 75 Số tự nhiên cần tìm là : 375

                                                                               Đáp số: 125; 250; 375

Bài 3:  Tìm số tự nhiên có 3 chữ số. Biết rằng khi xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần?

Giải

Gọi số cần tìm là :          đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c ≤ 9

    Số mới là :    

Theo bài ra ta có :    = 7 x

= 7 x     ( Phân tích cấu tạo số )

                                         100 x a = 6 x         ( Trừ cả 2 vế cho   (*)

  Từ (*) ta thấy 100 x a Là số tròn trăm nên 6 x cũng phải là số tròn trăm. c=0 hoặc c = 5.

  • Xét c = 5 thay vào (*) ta có: 100 x a = 6 x

      100 x a = 60 x b + 30

  10 x a = 6 x b + 3

   Vì vế  trái là số chẵn con vế trái là số lẻ nên không xẩy ra.

  • Xét c = 0 thay vào (*) t có : 100 x a = 6 x

                                                100 x a = 60 x b

  5 x a = 3 x b  Từ đây ta thấy :  a = 3; b = 5.

  Số tự nhiên cần tìm là :  350

Đáp số : 350

Bài 4:  Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu ta xoá đi chữ số 5 ở hàng đơn vị thì số đó giảm đi 779 đơn vị ?

 

Giải

 

    Gọi số tự nhiên cần tìm là:  đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b ≤ 9

Số mới là :  

Theo bài ra ta có :    + 779

                        10 x +5 =  + 779    ( Phân tích cấu tạo số )

                        9 x = 774                    ( Trừ cả 2 vế cho + 5)

                        = 774 : 9 = 86.    Số tự nhiên cần tìmlà: 865

Đáp số : 865

 

Bài 5:  Tìm số tự nhiên có 4 chữ số. Biết rằng nếu xoá đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị ?

Giải

 

Gọi số cần tìm là :          đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c;d ≤ 9

    Số mới là :    

Theo bài ra ta có :    = + 4455

+   =  + 4455

100 x + = + 4455

99 x + = 4455 (*)

Từ phơng trình (*) ta thấy là thơng và là số d trong phép chia 4455 cho 99.

4455 = 99 x 45 + 0     Số tự nhiên cần tìm là 4500.

4455 = 99 x 44 + 99   Số tự nhiên cần tìmlà : 4499.

                                                                     Đáp số : 4500; 4499

 

Bài 6:   Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng khi ta xoá đi chữ số 3 ở hàng đơn vị thì số đó giảm đi 705 đơn vị?

(Phơng pháp giải tơng tự bài 4)

                                                                                  Đáp số: 783

Bài 7: Tìm số có 4 chữ số biết rằng khi ta xoá đi chữ số 5 ở tận cùng bên trái ta đợc số mới bằng 1/41 số cần tìm?

Giải

Gọi số đó là :                Đ/k   a;b;c = 0;1;2;3;….9

Số mới là   :     

Theo bài ra ta có :      = 41 x

5000 +    = 41 x     ( Phân tích cấu tạo số )

5000 = 40 x       ( Trừ cả hai vế cho )

  =  5000 : 40 =  125

Số tự nhiên cần tìm là :   125

                                                                 Đáp số : 125

Loại 6: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó.

Bài 1: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó?

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là:                đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b≤ 9

Theo bài ra ta có :      = 5 x ( a + b )

+ b = 5 x a + 5 x b

10 x a + b = 5 x a + 5 x b

5 x a = 4 x b                                                  (*)

     Từ (*) ta thấy a= 4; b = 5 Số tự nhiên cần tìm  là 45

                                                                           Đáp số : 45 

 

Bài 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó?

 

Giải

 

Gọi số tự nhiên cần tìm là:                đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b≤ 9

Theo bài ra ta có :      = 7 x ( a + b )

+ b = 7 x a + 7 x b

10 x a + b = 7 x a + 7 x b

a = 2 x b                                                  (*)

     Từ (*) ta thấy những số tự nhiên cần tìm có chữ số hàng chục gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị, ta có các số sau:  21; 42; 63; 84.

                                                                      Đáp số : 21;42; 63;84. 

 

 Bài 3:  Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 3 lần tổng các chữ số của nó?

( Phơng pháp giải Tơng tự bài 1; 2)

                                                                             Đáp số : 27

 

Bài 4:   Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó gấp 11 lần tổng các chữ số của nó?

 

Giải

 

Gọi số cần tìm là :                         đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c≤9

Theo bài ra ta có :  = 11 x ( a + b +c )

+ + c = 11 x a + 11 x b + 11 x c

100 x a + 10 x b + c =  11 x a + 11 x b + 11 x c

89 x a = b + 10 x c

89 x a =                                                     (*)

Từ (*) ta thấy là số có 2 chữ số nên a chỉ nhận giá trị là 1. Vậy = 89

Số tự nhiên cần tìm là :    198

                                                                                    Đáp số : 198

 

Bài 5:  Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng của số đó và các chữ số của nó là 80 ?

 

Giải

Gọi số cần tìm là :             đ/k  0< a ≤ 9 ;     0≤ b≤9            

Theo bài ra ta có :     + a + b = 80

10 x a +  b + a + b = 80

11 x a + 2 xb = 80                                   (1)

      Từ (1) Ta thấy a không thể lớn hơn hoặc bằng 8 ( Vì 11 x 8 = 88 > 80)

     – Xét a = 7 thay vào (1) ta có :    11 x 7 +2 x b = 80 ;  

b = 13 : 2     ( Loại)

    – Xét a = 6 thay vào (1) ta có :    11 x 6 + 2 x b = 80

b = 14 : 2 =  7 Số tự  nhiên cần tìmlà 67

    – Xét a = 5 thay vào (1) ta có :    11 x 5 + 2 x b = 80

2 x b =  25 ;   b = 25 : 2   ( Loại )

A không thể  nhỏ hơn hoặc bằng 5 vì a càng nhỏ thì b lại càng lớn không thoả mãn ) 

                                                                          Đáp số : 67

Bài 6: Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng tổng của số đó và 5 lần tích chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 175 ?

Giải

Gọi số cần tìm là :                                 đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c≤9

Theo bài ra ta có :   +5 x b x c = 175             (*)

Từ (*) ta thấy 175 là một số chia hết cho 5 nên  +5 x b x c cũng phải chia hết cho 5. Mặt khác 5 x b x c chia hết cho 5 nên cũng phải chia hết cho 5.Vậy c=5; c=0 ( Loại )

  • Xét c = 5 thay vào (*) ta có : 

    + 25 x b = 175                            (**) 

Từ phơng trình (**) ta thấy 175 là số chia hết cho 25 nên   + 25 x b cũng phải chia hết cho 25.Mặt khác 25 x b là số chia hết cho 25 nên  cũng phải chia hết cho 25 nên b = 2; b=7.

  • Xét b = 2 thay vào (**) ta có :

  + 25 x 2 = 175

+ 50 =175

  = 125  nên a = 1 Số tự nhiên cần tìm là : 125

  • Xét b = 7 thay vào (**) ta có :

+ 25 x 7 = 175

= 0 ( loại)

      Vậy ta có số tự nhiên cần tìm là : 125.

                                                                                Đáp số :  125

 

 

Bài 7: Năm 1990 tuổi của một cầu thủ bóng đá bằng tổng các chữ số của năm sinh cầu thủ đó. Hỏi năm 1991, cầu thủ đó bao nhiêu tuổi ?

                                                                            Đáp số: 24 tuổi

 

Bài 8:  Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng của số đó và các chữ số của nó là 102 ?

                                                                            Đáp số : 87

 

Bài 9 : Tìm số có 3 chữ số biết rằng tổng của số đó và các chữ số của nó là 190 ?

                                                                            Đáp số : 176

 

Bài 10: Tìm số có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 6 lần tổng các chữ số của nó?

                                                                             Đáp số : 45

 

Loại 7: các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó.

Bài 1:  Tìm số có 2 chữ số biết rằng nếu ta viết thêm vào bên phải và bên trái số đó mỗi bên một chữ số 1 thì ta đợc số mới gấp 87 lần số cần tìm ?

Giải

 

Gọi số cần tìm là  :         đ/k  0< a ≤ 9 ;     0≤ b≤9    

Số mới là  :        

Theo bài ra ta có  :     = 87 x

1001 + = 87 x            ( Phân tích cấu tạo số )

1001 + 10 x = 87 x       ( Phân tích cấu tạo số )

      1001 = 77 x     ( Trừ cả hai vế cho 10 x )

      = 1001 : 77 = 13

Số tự nhiên cần tìm là    :     13

                                                                       Đáp số: 13

Bài 2: Tìm số có hai chữ số , biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó ta đợc thơng là 26 và d 1.

Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị.

Loại 8: Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó.

Bài 47:  Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó?

 

Giải

 

Gọi số cần tìm là :                                 đ/k  0< a  ≤ 9 ;     0≤ b;c≤9

Theo bài ra ta có :  = 5 x a x b x c          (1)

Từ (1) ta thấy là một số chia hết cho 5 nên c = 5 ( c không thể bằng 0 vì c = 0 thì:   = 5 x a x b x 0 = 0 vô lí )

Thay c = 5 vào (!) ta có :     = 5 x a x b x 5 = 25 x a x b       (2)      

Từ (2) ta thấy là một số chia hết cho 25 nên   cũng phải chia hết cho 25 nên b = 2; b = 7 

   – Xét b = 2 ta có :    = 25 x a x 2= 50 x a ( Loại vì vế phải là số chẵn còn

 vế trái  lại là số lẻ ).

   –  Xét b = 7 ta có :  = 25 x a x 7  = 175 x a

100 x a + 75 = 175 x a 

        75 = 75 x a .      a= 1 số tự nhiên cần tìm là  : 175

                                                                            Đáp số : 175

 

Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của nó.

Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu chia số đó cho tích các chữ số của nó ta đợc thơng là 5 d 2 và chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị.

Một số bài khác:

Bài 1: Thay mỗi chữ số bằng chữ số thích hợp trong các phép tính sau:

                       a,    : = 241                 b,    + = 1326

                       c,      + =                   d,      = : 5

Bài 2:   Thay các chữ bằng các chữ số thích hợp vào phép tính sau:

: + 6 = 2007

 

Bài 3: Thay mỗi chữ số bằng chữ số thích hợp trong các phép tính sau:

                       a,    : = 241                 b,    + = 1326

                       c,      + =                   d,      = : 5

 

Bài 4: So sánh hai biểu thức A và B Biết :

A = + + 1992

B =   + +

                                                                              Đáp số : A = B

 

Bài 5: Tìm giá trị của các chữ số a;b;c trong phép tính sau:

              a,   + +a  = 987              b,    x x =

                                                                      Đáp số :    a,  a =8 ; b = 9 ; c = 0.

                                                                                        b,  a = 7 ; b = 3

 

Bài 6:Tìm giá trị của các chữ số a;b;c trong phép tính sau :

        a,    + +a    =748              b,     + +a  = 640

( Phơng pháp giải tơng tự bài 49)

 

Bài 7:  Tìm thành phần của phép tính biết :

     a,   : = 26                            b, : =

c,     x =                               d,    = 5 x

e,     : 53 =     f,    + + a = 987

Bài 8:   Cho 3 mãnh bìa. Mãnh bìa thứ nhất ghi số 27;  mãnh bìa thứ hai ghi số 6; mãnh bìa thứ ba ghi số có  2 chữ số.Khi ghép ba mãnh bìa lại với nhau ta đợc những số tự nhiên ( Đều là số có 5 chữ số ).Tổng tất cả các số có 5 chữ số đó là 203580. Hỏi mãnh bìa thứ 3 ghi số nào?

Giải

Gọi số viết thêm trên mãnh bìa thứ ba là : 

Ta lập đợc tất cả các số có 5 chữ số sau:

    + + + + + = 203580

   27600 + + 27006 + 10 x + 62700 + + 60027 + 100 x 1000 x + 276 + 1000 x + 627 = 203580

                                    178236 + 2112 x = 203580

2112 x = 25344

= 25344 : 2112 = 12   Số viết trên mãnh bìa thứ ba là 12

                                                                                 Đáp số : 12

 

Bài 9:  Cho ba mãnh bìa.Mãnh thứ nhất ghi số 34; mãnh thứ hai ghi số 4 và mãnh thứ ba ghi số có một chữ số. Khi ghép ba mãnh bìa lại với nhau ta đợc những số tự nhiên ( Đều là số có 4 chữ số ).Tổng tất cả các số có 4 chữ số đó là 26556. Hỏi mãnh bìa thứ 3 ghi số nào?

(Phơng pháp giải tơng tự bài 8)

                                                                               Đáp số : 5

 

Bài 10:  Tìm số thích hợp biết :

  1.   = 25 x b.   = x 3 + 1,3
  2.   = 3 x d.     x 5 =
  3.   =103 x f .   = 5 x

 

                                                                    Đáp số : a = 75; b = 6,1; c = 857; 

                                                                                  d = 25; e = 45; f = 65 

Bài 11: Tìm giá trị của chữ a, b thay vào phép tính sau:

  1. a x 9,9 =   x 6,6 =

Giải

  1.             x 9,9 =

   x 99 =      ( Nhân cả hai vế với 100 )

( 10 x a + b ) x 99 = +   ( Phân tích cấu tạo số )

990 x a + 99 x b = 1100 x a + 11 x b.  ( Một số nhân với một tổng)

88 x b = 110 x a      ( Trừ cả hai vế cho 990 x a + 11 x b)

4 x b = 5 x a            (Chia cả hai vế cho 22)                                  (*)

         Từ  (*)  Ta thấy :  a = 4  ;   b = 5.

          Thay vào phép tính là:    4,5 x 9,9 = 44,55.

    

  1.           x 6,6 =

( Phơng pháp giải tơng tự bài a)

Thay vào phép tính là:         1,8 x 6,6 = 11,88 .

 

Bài 12:   Tìm số   Biết :

  1.   : 176 =               b.    : 121 =
  2.   = 25 x               d.   = x 3 + 1,3

Giải

  1. : 176 =

100 x  = 176 x             ( Phân tích cấu tạo số ) 

100 x  +  = 175 x                 ( trữ cả hai vế cho  )

4 x   =  7 x                            ( Chia cả hai vế cho  25)

40 x a  + 4 x b = 70 x a + 7 x b       ( Phân tích cấu tạo số ) 

33 x a = 66 x b                            ( Trừ cả hai vế cho  7 x a + 4 x b)

a = 2 x b                    ( Chia cả hai vế cho 33 )

       Vậy những số cần tìm có hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị:

21; 42; 63; 84

                                                                               Đáp số: 21; 42; 63; 84   

  1. ( Phơng pháp giải tơng tự câu a)

                                                                                Đáp số: 54

  1. = 25 x

4300  + = 25 x (100 + )           ( Phân tích cấu tạo số )

4300  + = 2500 + 25 x .

1800  =  24 x                             ( Trừ cả hai vế cho 2500 +)

= 1800 : 24 = 75.

                                                                                  Đáp số: 75

  1.   = x 3 + 1,3

= x 3 + 13                                 (NHân cả hai vế với 10)

10 x a + b = ( 10 x b + a) x 3 + 13.     ( Phân tích cấu tạo số )

10 x a + b = 30 x b + 3 x a + 13.        ( Một số nhân với một tổng)

7 x a = 29 x b + 13                             ( Trừ cả hai vế cho 3 x a + b )

     Ta thấy 7 x a 7 x9 = 63 Nên 29 x b + 13 63.      29 x b 50; vậy b chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1.

     – Xét b = 1 ta có :   7 x a = 29 + 13

                a = 42 : 7 = 6      Số cần tìm là 6,1

     – Xét b = 0 ta có :  7 x a = 29 x 0 + 13  (Loại)

                                                                                 Đáp số: 6,1

Bài 13:   Tìm các chữ số a,b,c,d khác nhau, trong đó d lẻ thoả mãn điều kiện sau:

               a x a x =

Giải

   Nhận xét:

     –    Vì d lẻ nân a cũng phải là số lẻ.

  • Vì a,b,c,d khác nhau nên a không thể là  1,5,9. Vậy a có thể là 3 hoặc 7.

      Xét a = 3 ta có:

3 x 3 x =

9 x =  

9 x (110 x b + 3 ) = 1000 x b + 110 x c + 7.

990 x b + 27 = 1000 x b + 110 x c + 7

20 = 10 xb + 110 x c  Chỉ xẩy ra khi 

2 = b + 11 x c      Chỉ xẩy ra khi b = 2 ; c = 0.

    Những số tự nhiên cần tìm là : a = 3; b = 2; c = 0; d = 7

    Xét a = 7 ta thấy không bao giờ xẩy ra vì   7 x 7 x sẽ là số có năm chữ số.

                                                              Đáp số: a = 3; b = 2; c = 0; d = 7

Bài 14: Tìm a; b; c khác nhau thoả mãn điều kiện:

  1.   x = 1001                        b.    x =

Giải

  1.   x = 1001      

    x c x 11 = 11 x 91

x c = 91                        ( Chia cả hai vế cho 11)                  (*)

     Ta thấy tích có hàng đơn vị là 1. Mặt khác a;b;c khác nhau nên  (*) chỉ xẩy ra khi b = 7; c = 3 hoặc b = 3 ; c = 7.

  • Xét b = 7 ; c = 3 thay vào (*) ta có:

     x 3 = 91

(10 x a + 7 ) x 3 = 91

30 x a + 21 = 91

30 x a = 70 ; a = 70 : 30           (Loại)

     –   Xét b = 3; c = 7 Thay vào (*) ta có:

x 7 = 91

( 10 x a + 3 ) x 7 = 91

70 x a + 21 = 91

70 x a = 70;     a = 1    Các chữ  số cần tìm là : a = 1; b = 3; c = 7.

                                                                     Đáp số : a = 1; b = 3; c = 7.

 

  1.           x =

11 x a x = 1001 x c

11 x a x = 11 x 91 x c

a x =   91 x c

   Nhận xét :  Vì  a x 9 x 19 = 171 và a;b;c khác nhau nên c chỉ có giá trị  bằng 1.

  • Với c = 1 thay vào ta có:

a x =   91       Chỉ xấy ra khi a = 3; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 3

    – xét a = 3; b = 7 ta có:   3 x 17 = 91 (loại)

    – Xét a = 7 ; b = 3 Ta có:   7 x 13 = 91 ( Đúng)

Vậy những chữ số cần tìm là : a = 7 ; b = 3; c = 1

                                                                  Đáp số: a = 7 ; b = 3; c = 1

 

Bài 15: Tìm a;b;c biết :   x 5 = x 2 .

Giải

x 5 = x 2 .

(100 x a+ ) x 5 = (10 x + b) x 2

500 x a + 5 x = 20 x + 2 x b

500 x a = 15 x + 2 x b

Ta thấy 500 x a chia hết cho 5, nên 15 x + 2 x b cũng phải chia hết cho 5. Mặt khác 15 x chia hết cho 5 nên 2 x b cũng phải chi hết cho 5 vậy b = 5. Thay vào ta có:

500 x a = 15 x + 10.

100 x a = 3 x + 2

Vì 100 x a là số tròn trăm nên 3 x + 2 là số tròn trăm vậy c = 6. Thay vào ta có:

100 x a = 3 x 66 + 2 = 200

a = 200 : 100 = 2.  Kết luận :  a = 2 ; b = 5 ; c = 6

                                                                    Đáp số: a = 2 ; b = 5 ; c = 6

 

Bài 16: Cho bốn chữ số khác nhau, ta lập ra số lớn nhất và số nhỏ nhất mỗi số đều gồm bốn chữ số đã cho. Biết rằng tổng hai số này là 11220. Hày tìm tổng các chữ số đã cho?

Giải

Gọi 4 chữ số đã cho là : a, b, c, d. Điều kiện:  a > b > c > d.

Theo đầu bài ta có: là số lớn nhất;   là số bé nhất và :

+ = 11220

Xét phép tính ở hàng đơn vị ta thấy:

d + a = 10 ( vì a > d nên a + d không thể bằng không)

Phép cộng có nhớ ở hàng chục nên :

c + b + 1 = 12

c + b = 11

Vậy tổng các chữ số đã cho là:  (a + d) + b + c) = 10 + 11 = 21

                                                                                        Đáp số: 21

 

Bài 17: Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0. Biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành các số có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444.

Giải

 

Gọi 3 chữ số đã cho là : a, b, c.        Điều kiện:  a > b > c > 0

Ta có hai số lớn nhất là: và  .

Theo bài ra ta có: + = 1444.

Trong phép tính cộng trên chữ số của hàng đơn vị, chữ số của hàng chục của tổng đều là 4 và các số hạng của các hàng đó đều là c và b nên phép cộng không có nhớ ở hàng chục nên:   c + b = 4; b > c nên:  b = 3 ; c = 1

ở hàng trăm có a + a = 14 nên a = 7.

Các chữ số phải tìm là:  7; 3; 1

                                                                                             Đáp số: 7; 3; 1.

ÔN TẬP HÈ LỚP 5 LÊN LỚP 6
Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số

XEM TÀI LIỆU

 

TẢI XUỐNG

vector download download button illustration data 1 e1610640670163

Các bạn đang xem Tài liệu Chuyên đề 5 Các bài Toán dùng chữ thay số nằm trong phần  Ôn tập hè lớp 5 lên lớp 6 môn toán, văn, anh thuộc chuyên mụcToán tiểu học

Lưu ý: Hướng dẫn tải tài liệu NẾU các bạn chưa rõ https://blogtailieu.com/huong-dan-tai-tai-lieu-mien-phi-tren-trang/

Xem thêm SÁCH MỚI THEO CHƯƠNG TRÌNH GDPT 2018

 sachcanhdieu.com  hanhtrangso.nxbgd.vn   –    taphuan.nxbgd.vn   – nhasachso.nxbgd.vn 

Hỗ trợ:    blogtailieu.com   

Rate this post

Viết một bình luận