CHUYÊN ĐỀ 1 – TẬP HỢP
CÁC SỐ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 4 – LŨY
THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
PHẦN I. TÓM TẮT
LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa bậc n của số a
là
tích của thừa
số bằng nhau, mỗi thừa số bằng
|
(
);
gọi là cơ số,
gọi là số mũ.
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số:
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Quy ước
4. Luỹ thừa của
luỹ thừa:
5. Luỹ thừa một tích:
6. Một số luỹ thừa của 10:
–
Một nghìn:
–
Một vạn:
–
Một triệu:
–
Một tỉ:
Tổng
quát: nếu là
số tự nhiên khác thì:
7. Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong
một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán
ta làm như sau:
–
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các
phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
–
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng,
trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện
nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.
–
Nếu biểu thức có dấu ngoặc ,
ta
thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi
đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến
các phép tính trong ngoặc nhọn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng
1: Thực hiện tính, viết
dưới dạng lũy thừa
I. Phương pháp giải.
Sử dụng công thức:
1) (
);
gọi
là cơ số, gọi
là số mũ.
2)
3)
Quy ước
4)
5)
II. Bài toán.
Bài 1:
Viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa
a) b)
c)
Lời giải
a)
Ta có:
b)
Ta có:
c)
Ta có:
Bài 2:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) b)
c)
Lời giải
a)
Ta có:
b)
Ta có:
c)
Ta có:
Bài 3:
Viết các tích sau đây dưới dạng một
luỹ thừa của một số:
a) b)
Lời giải
a)
b)
Bài 4:
Viết
kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a) b)
c)
d) e)
f)
g) h)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Bài 5:
Tìm các số mũ sao cho luỹ thừa
thảo mãn điều kiện:
Lời giải
Ta
có: nhưng
Vậy
với số mũ ta
có
Bài 6:
Thực hiện phép tính:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
a) |
b) |
c)
|
d)
|
e)
|
f)
|
g)
|
h)
|
Bài 7: Thực hiện phép
tính.
a) b)
c) d)
e) f)
Lời giải
a) |
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
f)
|
Bài 8: Thực hiện
phép tính.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
Lời giải
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
f)
|
g)
|
h)
|
i)
|
j)
|
k)
|
l)
|
Bài 9: Thực hiện phép
tính.
a) b)
c) d)
Lời
giải:
a)
|
b) |
c)
|
d)
|
Bài 10: Thực hiện phép tính.
a) b)
c) d)
e) f)
Lời giải:
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
f) |
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải:
Bài 12:
Tính:
a) b)
c)
Lời giải:
a)
Vậy
b)
c)
Dạng
2: So sánh các lũy thừa
I. Phương pháp giải.
Để
so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi
về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số
mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian
để so sánh)
Với
ta
có:
hoặc
thì
Với là
các biểu thức ta có :
và
và
II. Bài toán.
Lời giải
a)
Vì nên
và
b)
Vì nên
và
c)
Ta có :
Vậy
Bài 2:
So sánh
a) và
e)
và
b) và
f)
và
c) và
g)
và
d) và
h)
và
Lời giải
a)
Ta có:
Vì
b)
Tương tự câu a) ta có:
Vì
nên
c)
Ta có :
d)
Ta có:
Vì
nên
e)
Ta thấy:
f)
Ta có: (1)
(2)
Từ
(1) và (2) suy ra :
g)
Ta có : (*)
(**)
Từ
(*) và (**)
h)
Có :
Vì
nên
Bài 3:
Chứng tỏ rằng :
Lời giải
Ta
có :
(1)
Lại
có:
(2)
Từ
(1) và (2)
Bài 4:
So sánh:
a) và
b)
và
Lời giải
a)
Ta thấy : (1)
(2)
Từ
(1) và (2)
b)
Vậy
Bài 5:
So sách các cặp số sau:
a) và
b)
và
Lời giải
a) Ta có Vậy |
b) Vì |
Bài 6:
So sánh các số sau:
a) và
b)
và
Lời giải
a)
Vậy
b)
Bài 7:
So sánh 2 hiệu: và
Lời giải
Vậy
Bài 8:
So sánh các số sau:
a) và
b)
và
c)
và
d)
và
e)
và
Lời giải
a) Ta có: Vì |
b) Ta có:
Vì |
c) Ta có:
Vì |
d) Ta có:
Vậy |
e) Ta có: Ta so sánh Vậy 303202 < |
|
Bài 9: So sánh
a) và
b)
và
Lời giải:
a)
Vậy
b)
Vậy
Dạng 3: Tìm số
hạng chưa biết trong lũy thừa
I. Phương pháp giải. Khi giải bài toán tìm có luỹ thừa phải:
Phương pháp 1: Biến
đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .
Phương pháp 2: Biến
đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .
Phương pháp 3: Biến
đổi về dạng tích các lũy thừa.
II. Bài toán.
Bài 1:
Tìm x, biết.
a) b)
c)
d) e)
g)
h) k)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
e) Ta có:
g) Ta có:
h) Ta có:
k) Ta có:
Bài 2:
Tìm biết.
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 3:
Tìm , biết.
a) b)
c) d)
e) g)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
TH 1: .
TH 2: .
Vậy hoặc
d)
Vậy
e) Ta có:
g) Ta có:
Bài 4:
Tìm biết:
a, b,
c,
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Bài 5:
Tìm x biết:
a, b,
c)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Vậy
c) Ta có:
Dạng
4: Một số bài tâọ nâng cao về lũy thừa
I. Phương pháp giải.
Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường
đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
hoặc cùng số mũ .
– Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn
hơn ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn
hơn sẽ lớn hơn.
– Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn
hơn ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn
hơn sẽ lớn hơn
Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất
đơn điệu của phép nhân
thì
II. Bài toán.
Dạng 1: So sánh hai số
lũy thừa.
Bài 1:
So sánh các lũy thừa: và
Lời giải
Ta có:
Vì nên
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một
số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
– Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng
cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ
các số theo quy luật.
– Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy
thữa ở phần B.
– Nếu biểu thức lũy thừa là dạng
phân thức: Đối với từng trường hợp
bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn
hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà
ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần
nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng.
Với . Ta có:
– Nếu thì
và
.
– Nếu thì
và
. (còn gọi là phương pháp so sánh phần
bù)
* Với biểu thức là tổng các số có dạng
(với
) ta có vận dụng so sánh sau:
Bài 1:
Cho . So sánh
với
.
Lời giải
Ta có:
Mà
Vậy .
Bài 2:
So sánh hai biểu thức và
, biết:
và
Lời giải
Ta có: =
=
.
=
=
.
Vì nên
hay
Bài 3:
So sánh hai biểu thức và
, biết:
và
Lời giải
Ta có:
.
Vì nên
hay
Vậy
Dạng 3: Từ
việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ)
chưa biết.
* Với các số tự nhiên và số dương
.
+ Nếu thì:
.
+ Nếu thì:
.
* Với các số dương và số tự nhiên
, ta có:
.
Bài 1:
Tìm các số nguyên n thoã mãn: .
Lời giải
Ta giải từng bất đẳng thức và
.
Ta có:
(với
) (1).
Mặt khác
(với
) (2).
Từ (1) và (2) .
Vậy nhận các giá trị nguyên là:
Bài 2:
Tìm , biết:
a) . b)
.
Lời giải
a) Ta có:
.
b) Ta có:
.
Bài 3:
Tìm số
tự nhiên sao cho
.
Lời giải
Ta có:
Nếu thỏa mãn.
Nếu có chữ số tận cùng là
. Khi đó,
có chữ số tận cùng là
. Mà
là số chính phương nên không thể có tận
cùng bằng . Do đó không tồn tại
thỏa mãn.
Vậy
Bài 4:
a) Số có bao nhiêu chữ số?
b) Hai số và
viết liền nhau được số có bao
nhiêu chữ số?
Lời giải
a)
Ta có:
Do
đó có
6 chữ số.
b)
Giả sử có
a chữ số và có
b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta
được chữ
số.
Vì
và
.
Do đó: .
Vậy
số đó có 2004 chữ số.
Bài 5:
Tìm số 5 các chữ số của các số n và m
trong các trường hợp sau:
a) . b)
.
Lời giải
a) Ta có:
Số
gồm
3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ
số.
Vậy
số n có 9 chữ số.
b) Ta có:
Số gồm
theo
sau là chữ
số nên
số này có tất cả chữ
số.
Vậy
số m có chữ
số.
Dạng 4: Sử
dụng lũy thừa chứng minh chia hết
Bài 1:
k) chia hết cho
Lời giải
a)
chia hết cho
b)
chia hết cho
c)
chia hết cho
d)
chia hết cho
Ta
có: nên
(đpcm)
(tính chất chia hết của một tổng)
e)
chia hết cho
f)
chia hết cho
Ta
thấy:
Ta
có:
vì
tổng các chữ số bằng
vì
có tận cùng là
Mà
nên
(đpcm)
g)
chia hết cho
h)
chia hết cho
Ta
có:
Ta
có:
Ta
có:
Vậy
chia hết
cho .
i)
chia cho
và
Ta
có:
Ta
có:
Vậy
chia hết
cho
k)
chia hết cho
Ta
có:
Ta có:
chia hết cho
chia hết cho
chia hết cho
BÀI TẬP TỰ
LUYỆN
Bài 1:
So sánh:
a) và
. b)
và
.
Lời giải:
a)
Ta có: ;
Vì
.
b)
.
Vì .
Bài 2:
So sánh:
a) và
b)
và
c) và
d)
và
Lời giải:
a)
Ta thấy:
Vì
b)
Ta có : ,
.
Vì
nên
c)
Ta có:
Vì
nên
d)
Ta có: (1)
(2)
Từ
(1) và (2) suy ra:
Bài 3:
So sánh:
a) và
b)
và
c) và
. d)
và
Lời giải:
a)
Ta có: .
Vì
b)
Ta có :
,
Vì
c)
Ta có: ,
Vì
.
d)
Ta có :
Vì
nên
Bài 4:
So sánh các số sau: và
.
Lời giải:
Vì
.
Bài 5:
So sánh:
a) và
. b)
và
.
Lời giải:
a)
Ta có:
Vì
.
b)
Ta có: và
Bài 6:
So sánh các số sau: và
.
Lời giải:
Ta
có:
Vì
.
Bài 7:
Chứng tỏ rằng: .
Lời giải:
Ta
có: (1)
Lại
có: (2)
Từ
(1) và (2)
Bài 8:
Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Ta
có:
Nhận
xét: nên
cần so sánh và
Có:
Có:
,
cần so sánh với
số như
sau:
Do
đó:
Mà
Bài 9:
Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Ta
có:
(1)
Xét:
(vì
35<28)
(2)
Từ
(1) và (2) ta có:
Bài 10:
So sánh: và
.
Lời giải:
Ta
có: mà
Bài 11:
So sánh: và
.
Lời giải:
Ta
có: (1)
(2)
Mà
(3)
Từ
(1), (2), và (3) suy ra:
Bài 12:
So sánh các số:
a) và
. b)
và
.
Lời giải:
a)
Ta có:
b)
Ta có:
Bài 13:
Viết theo từ nhỏ đến lớn: và
.
Lời giải:
(1)
(2)
(3)
Từ
(1), (2), và (3) suy ra:
Bài 14:
So sánh 2 số: và
.
Lời giải:
Ta có:
Vì
Bài 15:
Gọi m là số các số có 9 chữ số mà
trong cách ghi của nó không có chữ số .
Hãy so sánh m với .
Lời giải:
Số
có 9 chữ số là trong
đó các chữ số và
có thể giống nhau. Từ tập hợp số mỗi
chữ số ai có 9 cách chọn. Do đó ta có số
các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là số.
Từ
đó:
Bài 16:
Cho và
.
So sánh A và B.
Lời giải:
Ta
có:
Vậy
A < B.
Bài 17:
So sánh hai biểu thức: và
.
Lời giải:
Vậy
B = C.
Bài 18:
So sánh: và
.
Lời giải:
Ta
có:
Vì
Bài 19:
So sánh M và N biết: và
.
Lời giải:
nên
nên
Vì
hay
19M > 19N
Bài 20:
So sánh và
.
Lời giải:
Nếu
n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:
Áp
dụng vào bài toán ta được:
Vậy
Bài 21:
So sánh và
.
Lời giải:
A
là tích của 99 số âm. Do đó:
Để
dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích
các số tự nhiên liên tiếp như sau:
Vậy
A <
Bài 22:
Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a) . b)
.
Lời giải:
a)
n
nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.
b)
nhận
các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7
Bài 23:
Tìm số tự nhiên n biết rằng: .
Lời giải:
Ta
có:
Bài 24:
Cho . Tìm số tự nhiên
, biết
.
Lời giải:
Có
Mà
theo đề bài ta có 2A + 3 = 3n
Bài 25:
Tìm các số nguyên dương và
sao cho:
.
Lời giải:
Ta
có: (1)
Dễ
thấy ,
ta xét 2 trường hợp:
Trường
hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:
2n.(2
– 1) = 28 => 2n = 28 => n = 8 và m = 9
Trường
hợp 2: Nếu m – n
là
một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của
(1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa
số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa
thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1)
mâu thuẫn nhau.
Vậy
và
là đáp số duy nhất.
Bài 26:
Tìm số nguyên dương biết:
a) . b)
.
Lời giải:
a)
Ta có: 64 < 2n < 256 mà
nguyên
dương nên.
b)
Ta có: 243 > 3n mà
nguyên dương nên
.
Bài 27:
Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: .
Lời giải:
Ta
có: n200 = (n2)100; 6300 = (63)100
= 216100
n200 < 6300 (*)
Suy
ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14.
Bài 28:
Tìm n Î N
biết:
a) . b*)
.
Lời giải:
a)
Suy
ra
Vậy
b)
Với ,
ta xét:
Nhận
thấy: nên
Nhận
thấy:
nên
Do
đó: .