CHUYÊN ĐỀ 1 – TẬP HỢP
CÁC SỐ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ 4 – LŨY
THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

PHẦN I. TÓM TẮT
LÍ THUYẾT.

1. Lũy thừa bậc n của số a
là
tích của  thừa
số bằng nhau, mỗi thừa số bằng

n thừa số a

(  ); gọi là cơ số, gọi là số mũ.

2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số:  

3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:    

Quy ước   

4. Luỹ thừa của
luỹ thừa:

5. Luỹ thừa một tích:  

6. Một số luỹ thừa của 10:

–
Một nghìn:  

–
Một vạn:      

–
Một triệu:     

–
Một tỉ:                   

Tổng
quát: nếu  là
số tự nhiên khác  thì:

7. Thứ tự thực hiện phép tính:

Trong
một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán
ta làm như sau:

–
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các
phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

–
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng,
trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện
nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.

–
Nếu biểu thức có dấu ngoặc ,
ta
thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi
đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến
các phép tính trong ngoặc nhọn.

 

 

 

 

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

I. Phương pháp giải.

Sử dụng công thức:

1)   ( );
 gọi
là cơ số,  gọi
là số mũ.

2)

3)   

Quy ước   

4)

5)

II. Bài toán.

Lời giải

a)
Ta có:                        

b)
Ta có:          

c)
Ta có:   

Lời giải

a)
Ta có:                         

b)
Ta có:             

c)
Ta có:  

Lời giải

a)
             b)
       

Lời giải

a)
                               b)
                              c)

d)
                          e)         f)
g)
                          h)
 

Lời giải

Ta
có:   nhưng
                                                                          

Vậy
với số mũ  ta
có

Lời giải

a)	b)
c)	d)
e)	f)
g)	h)

Lời giải

a)	b)
c)	d)
e)	f)

Lời giải

a)	b)
c)	d)
e)	f)
g)	h)
i)	j)
k)	l)

Lời
giải:

a)	b)
c)	d)

Lời giải:

a)	b)
c)	d)
e)	f)

Lời giải:

Lời giải:

a)  

 

Vậy  

b)

 

c)

 

I. Phương pháp giải.

Để
so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi
về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số
mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian
để so sánh)

Với
 ta
có:          

                

 hoặc
 thì  

Với  là
các biểu thức ta có :

                            

                            
và 

 và   

II. Bài toán.

Lời giải

a)
Vì  nên   và

b)
Vì  nên
và

c)
Ta có :  

 

Vậy  

Lời giải

a)
Ta có:  

             

Vì

b)
Tương tự câu a) ta có:

Vì
nên

c)
Ta có :         

d)
Ta có:  

        

Vì
 nên

e)
Ta thấy:

f)
Ta có:  (1)                                 

(2)

Từ
(1)  và  (2)  suy ra :  

g)
Ta có :               (*)

(**)

Từ
(*)  và (**)     

h)
Có :  

 

Vì
nên
 

Lời giải

Ta
có : 

                   (1)

Lại
có:    

(2)

Từ
(1) và (2)  

Lời giải

a)
Ta thấy :                (1)

                  (2)

Từ
(1)  và (2)  

b)
  

Vậy
 

Lời giải

a) Ta có                   Vậy

b)        Vì  nên

Lời giải

a)

                 

Vậy

b)

Lời giải

 

 

Vậy

Lời giải

a) Ta có:                                                    Vì    nên	b) Ta có:      Vì  nên
c) Ta có: Vì	d) Ta có: Vậy
e) Ta có: ; Ta so sánh       và                                                          Vậy 303202 < 2002303

Lời giải:

a)

Vậy

b)

Vậy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Phương pháp giải. Khi giải bài toán tìm  có luỹ thừa phải:

Phương pháp 1: Biến
đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .

Phương pháp 2: Biến
đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .

Phương pháp 3: Biến
đổi về dạng tích các lũy thừa.

II. Bài toán.

Lời giải

a)   Ta có:

b)   Ta có:

c)  Ta có:

d)  Ta có:

e)  Ta có:

g)  Ta có:

h)  Ta có:

k)  Ta có:

Lời giải

a)  Ta có:

b)  Ta có:

c)  Ta có:

d)  Ta có:

Lời giải

a) Ta có:

b)  Ta có:

c) Ta có:  

TH 1: .

TH 2: .

Vậy  hoặc  

d) 

Vậy

e)  Ta có: 

g) Ta có:

Lời giải

a)   Ta có:

b)  Ta có:  

c)  Ta có:  

Lời giải

a)  Ta có:

b)  Ta có:

Vậy         

c)  Ta có:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Phương pháp giải.

Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường
đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
hoặc cùng số mũ .

– Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn
hơn ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn
hơn sẽ lớn hơn.

                    

– Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn
hơn )  thì lũy thừa nào có cơ số lớn
hơn sẽ lớn hơn

                  

Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất
đơn điệu của phép nhân

                    thì

                  

II. Bài toán.

 

Lời giải

Ta có:  

               

Vì  nên

– Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng
cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ
các số theo quy luật.

– Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy
thữa ở phần B.

– Nếu biểu thức lũy thừa là dạng
phân thức: Đối với từng trường hợp
bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn
hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà
ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần
nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng.

Với . Ta có:

– Nếu  thì   và  .

 – Nếu  thì   và  . (còn gọi là phương pháp so sánh phần
bù)

* Với biểu thức là tổng các số có dạng
  (với  ) ta có vận dụng so sánh sau:

Lời giải

Ta có:

Mà  

Vậy .

Lời giải

Ta có:  =  = .     

  = = . 

Vì   nên 

  hay  

Lời giải

Ta có:    .

  

Vì  nên 

 hay 

Vậy

* Với các số tự nhiên  và số dương . 

+ Nếu  thì: .

+ Nếu  thì: .

* Với các số dương  và số tự nhiên , ta có: .

Lời giải

Ta giải từng bất đẳng thức  và .

Ta có:

 (với )                                                  (1).

Mặt khác 

  (với )                              (2).

Từ (1) và (2) .

Vậy   nhận các giá trị nguyên là:

Lời giải

a)  Ta có:

        .

b) Ta có:

.

Lời giải

 Ta có:

  Nếu  thỏa mãn.

 Nếu  có chữ số tận cùng là . Khi đó, có chữ số tận cùng là. Mà   là số chính phương nên không thể có tận
cùng bằng . Do đó không tồn tại  thỏa mãn.

  Vậy

Lời giải

a)
Ta có:

 Do
đó  có
6 chữ số.

b)
Giả sử  có
a chữ số và   có
b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta
được  chữ
số.

Vì
 và

.
Do đó: .

Vậy
số đó có 2004 chữ số.

Lời giải

a) Ta có: 

Số
 gồm
3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ
số.

Vậy
số n có 9 chữ số.

b) Ta có:

Số  gồm
 theo
sau là  chữ
số  nên
số này có tất cả  chữ
số.                                      

Vậy
số m có  chữ
số.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lời giải

a)
chia hết cho

 

b)
chia hết cho

 

 

c)
 chia hết cho

 

d)
chia hết cho  

Ta
có: nên
 (đpcm)
(tính chất chia hết của một tổng)

e)
chia hết cho

 

f)
 chia hết cho

Ta
thấy:

Ta
có:

vì
tổng các chữ số bằng

vì
có tận cùng là

Mà
nên
 (đpcm)

g)
 chia hết cho

 

 

h)
 chia hết cho

Ta
có:

Ta
có:

 

Ta
có:

 

Vậy
 chia hết
cho .

i)
 chia cho  và

Ta
có:

 

 

Ta
có:

 

 

Vậy
 chia hết
cho

k)
 chia hết cho

Ta
có:

 

 

 

Ta có:

 chia hết cho

 chia hết cho  

 chia hết cho  

 

 

 

 

BÀI TẬP TỰ
LUYỆN

Lời giải:

a)
Ta có: ;

Vì
.

b)
.
Vì .

Lời giải:

a)
Ta thấy:

Vì
            

b)
Ta có : ,
.

Vì
  nên

c)
Ta có:

Vì
 nên
           

d)
Ta có:            (1)                                

   (2)

Từ
(1)  và  (2)  suy ra:

Lời giải:

a)
Ta có: .
Vì

b)
Ta có :  

,
   

Vì
                      

c)
Ta có: ,

Vì

.

d)
Ta có :

Vì
 nên

Lời giải:

Vì
.

Lời giải:

a)
Ta có:

Vì
.

b)
Ta có:  và

Lời giải:

Ta
có:

Vì
.

Lời giải:

Ta
có:                         (1)

Lại
có:                       (2)

Từ
(1) và (2)

Lời giải:

Ta
có:

Nhận
xét:  nên
cần so sánh  và

Có:

Có:
,
cần so sánh  với
số  như
sau:

Do
đó:

Mà

Lời giải:

Ta
có:

                                            (1)

Xét:
 (vì
3⁵<2⁸)

                                                            (2)

Từ
(1) và (2) ta có:

 

Lời giải:

Ta
có:  mà

Lời giải:

Ta
có:                                      (1)

                                      (2)

Mà
                                                         (3)

Từ
(1), (2), và (3) suy ra:

Lời giải:

a)
Ta có:

b)
Ta có:

Lời giải:

                                     (1)

(2)

                                            (3)

Từ
(1), (2), và (3) suy ra:

Lời giải:

 Ta có:

Vì

Lời giải:

Số
có 9 chữ số là  trong
đó các chữ số  và
có thể giống nhau. Từ tập hợp số  mỗi
chữ số a_i có 9 cách chọn. Do đó ta có số
các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là  số.

Từ
đó:

Lời giải:

Ta
có:

Vậy
A < B.

Lời giải:

Vậy
B = C.

Lời giải:

Ta
có:

Vì

Lời giải:

 nên

 nên
 

Vì

 hay
19M > 19N

Lời giải:

Nếu
n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:

Áp
dụng vào bài toán ta được:

Vậy

Lời giải:

A
là tích của 99 số âm. Do đó:

Để
dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích
các số tự nhiên liên tiếp như sau:

Vậy
A <

Lời giải:

a)

n
nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.

b)

nhận
các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7

Lời giải:

Ta
có:

Lời giải:

Có

Mà
theo đề bài ta có 2A + 3 = 3ⁿ

Lời giải:

Ta
có:                            (1)

Dễ
thấy ,
ta xét 2 trường hợp:

Trường
hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:

2ⁿ.(2
– 1) = 2⁸ => 2ⁿ = 2⁸ => n = 8 và m = 9

Trường
hợp 2: Nếu m – n

 là
một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của
(1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa
số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa
thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1)
mâu thuẫn nhau.

Vậy
và
 là đáp số duy nhất.

Lời giải:

a)
Ta có: 64 < 2ⁿ < 256  mà
 nguyên
dương nên.

b)
Ta có: 243 > 3ⁿ  mà
 nguyên dương nên .

 

Lời giải:

Ta
có: n²⁰⁰ = (n²)¹⁰⁰; 6³⁰⁰ = (6³)¹⁰⁰
= 216¹⁰⁰

n²⁰⁰ < 6³⁰⁰  (*)

Suy
ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14.

 

Lời giải:

a)

Suy
ra  

Vậy
 

b)
Với  ,
ta xét:

Nhận
thấy:  nên

Nhận
thấy:
 nên

Do
đó: .