Tài liệu toán casio | Tài liệu học sinh giỏi

A. ®Æt vÊn ®Ò
M¸y tÝnh ®iÖn tö lµ mét trong nh÷ng c«ng cô tÝch cùc trong viÖc d¹y vµ häc to¸n. Nhê cã m¸y tÝnh ®iÖn tö mµ nhiÒu vÊn ®Ò ®­îc coi lµ khã trong d¹y häc to¸n ( vÝ dô gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai, ph­¬ng tr×nh ba, ph­¬ng tr×nh v« tû, chuæi sè, c¸c ®Þnh lý sè häc…) ta cã thÓ gi¶ng d¹y cho häc sinh THCS mét c¸ch dÔ dµng. C¸c quy tr×nh thao t¸c trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói cã thÓ coi lµ b­íc tËp d­ît ban ®Çu ®Ó häc sinh dÇn dÇn lµm quen víi thuËt to¸n vµ lËp tr×nh trªn m¸y tÝnh c¸ nh©n. Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o ®• tæ chøc cho THCS vµ THPH c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”. Phßng Gi¸o Dôc vµ ®µo t¹o CÈm xuyªn ®• tæ chøc c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp huyÖn vµ tham gia kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp TÜnh song kÕt qu¶ cßn khiªm tèn so víi c¸c huyÖn m¹nh nh­ Can Léc,Hång lÜnh, TP Hµ TÜnh… Mét sè bµi dù thi cña häc sinh kÕt qu¶ cßn thÊp, hoÆc bµi lµm thiÕu tÝnh chÝnh x¸c, c¸ch tr×nh bµy sêi s¹c, ngÉu høng, c¸c thuËt to¸n trªn m¸y tÝnh ch­a ®­îc vËn dông vµo bµi lµm…
Víi lý do ®ã vµ niÒm ®am mª to¸n häc trªn m¸y tÝnh vµ thùc tr¹ng qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh giái, t«i m¹nh d¹n biªn so¹n tËp tµi liÖu båi d­ìng HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio nµy l­u hµnh néi bé. Môc ®Ých cña tµi liÖu ngoµi h­íng dÉn chi tiÕt c¸c thao t¸c tÝnh to¸n, C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay mµ cßn tr×nh bµy ý nghÜa to¸n häc cña c¸c bµi to¸n.V× vËy nhiÒu kiÕn thøc to¸n häc ngoµi ch­¬ng tr×nh vÉn ®­îc ®­a vµo.ViÖc tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc to¸n häc, tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ trong tõng phÐp tÝnh ®­îc ®Æc biÖt chó träng. Bëi ®ã lµ ®iÒu c¬ b¶n vµ cèt lái cña viÖc s÷ dông m¸y tÝnh. Ng­êi viªt xin ®­îc trao ®æi cïng b¹n ®äc qua ®Ò tµi: “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”
§Ò tµi gåm ba phÇn:
PhÇn I: H­íng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS
PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp: ”Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio”
PhÇn III: Mét sè ®Ò thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio ( hÖ THCS )Trong khi biªn so¹n mÆc dï ®• rÊt cè g¾ng song kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®­îc sù gãp ý ch©n thµnh cña quý thÇy c« vµ b¹n ®äc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n
CÈm xuyªn, ngµy 07/10/2010B. néi dung
PhÇn I: H­íng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS
A/.m¸y tÝnh casio Fx:500 MS
I/ C¸c phÝm vµ c¸ch bÊm m¸y sö dông chung cho c¶ m¸y Fx:500 MS vµ Fx:570 MS :
1) C¸c lo¹i phÝm:
+ PhÝm tr¾ng: BÊm trùc tiÕp ( vÝ dô: ta Ên 5 = )
+ PhÝm vµng: BÊm SHIFT + PhÝm vµng (VÝ Dô: , ta bÊm 4 SHIFT 81 = )
+ PhÝm ®á: BÊm ALPHA + PhÝm ®á (vÝ dô: A, ta bÊm ALPHA A
2) Më t¾t m¸y:
+ Më m¸y: BÊm ON
+ T¾t m¸y: BÊm SHIFT + OFF
+ Xo¸ mµn h×nh khi lµm tÝnh : – BÊm AC
– BÊm SHIFT CLR 2 =
– BÊm SHIFT CLR 3 =
+ §Ó kiÓm tra lçi ta dïng c¸c phÝm
+ §Ó s÷a lçi: – Dïng phÝm di chuyÓn.
– BÊm phÝm DEL xo¸ ký tù ®ang nhÊp nh¸y
– BÊm phÝm SHIFT + IN S chÌn ký tù ®¸nh sãt
II/ .m¸y tÝnh casio Fx:500 MS:
*) ChÕ ®é Mode: Nh»m Ên ®Þnh ngay tõ ®Çu lo¹i h×nh tÝnh to¸n, lo¹i ®¬n vÞ ®o,d¹ng sè biÓu diÔn kÕt qu¶, ch÷ sè cã nghÜa,sai sè lµm trßn…phï hîp víi gi• thiÕt cña bµi to¸n
a) BÊm Mode ( 1 lÇn)
+ BÊm Mode 1 Lµm c¸c phÐp tÝnh th­êng
+ BÊm Mode 2 Lµm thèng kª mét biÕn
+ BÊm Mode Lµm thèng kª hai biÕn
b) BÊm Mode Mode( 2 lÇn) ( gi¶i ph­¬ng tr×nh )
+ BÊm Mode Mode 1 UNKNO S ( Èn )
– BÊm tiÕp 2 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
– BÊm tiÕp 3 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn
+ BÊm Mode Mode 1 Degree (bËc)
– BÊm tiÕp 2 Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
– BÊm tiÕp 3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba mét Èn
c) BÊm Mode Mode Mode ( 3 lÇn)
+ BÊm Mode Mode Mode 1 Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ®é
+ BÊm Mode Mode Mode 2 Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ra®ian
+ BÊm Mode Mode Mode 1 Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ grad
d) BÊm Mode Mode Mode Mode ( 4 lÇn)
 BÊm Mode Mode Mode Mode 1 Cã chän sè sè lÎ thËp ph©n
 BÊm Mode Mode Mode Mode 2 Cã chän hiÖn sè d¹ng : a.10
 BÊm Mode Mode Mode Mode 3 Cã chän sè d¹ng th­êng
e) BÊm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lÇn)
BÊm tiÕp 1
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 kÕt qu¶ d­íi d¹ng hæn sè
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 kÕt qu¶ d­íi d¹ng ph©n sè+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1
Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (.)
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1
Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (,)
III/. C¸ch lµm mét bµi thi “ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”
*Quy ®Þnh:
1. Yªu cÇu c¸c em dù thi chØ dïng m¸y Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio fx 500 ES, Casio fx 570 ES ®Ó gi¶i.
2. NÕu kh«ng qui ®Þnh g× thªm th× c¸c kÕt qu¶ trong c¸c ®Ò thi ph¶iviÕt ®ñ 10 chö sè hiÖn trªn mµn h×nh m¸y tÝnh.
3. Tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸c b­íc sau :
– S¬ l­îc lêi gi¶i ( lêi gi¶i v¾n t¾t)
– Thay sè vµo c«ng thøc (nÕu cã)
– ViÕt quy tr×nh Ên phÝm
– KÕt qu¶
*NhËn xÐt : Qua c¸c ®Ò thi tØnh, khu vùc tæ chøc c¸c n¨m gÇn ®©y. Chóng ta cã thÓ nh×n ®Ò thi ‘ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio theo c¸c ®Þnh h­íng sau ®©y :
1. Bµi thi häc sinh giái” Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio ” ph¶i lµ mét bµi thi Häc sinh giái to¸n cã sù trî gióp cña m¸y tÝnh ®Ó thö nghiÖm t×m ra c¸c quy luËt to¸n häc hoÆc t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n.
2. §»ng sau c¸c bµi to¸n Gi¶i trªn m¸y tÝnh Casio Èn chøa nh÷ng ®Þnh lý, thuËt to¸n, thËm chÝ c¶ mét lý thuyÕt to¸n häc ( sè häc, d•y tru håi…)
` 3. Ph¸t huy ®­îc vai trß tÝch cùc cña to¸n häc vµ m¸y tÝnh trong gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕPhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay
I/. Mét sè d¹ng to¸n x¸c ®Þnh sè (sè häc):
1/ . Lo¹i 1. TÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ phÐp tÝnh :
.Ph­¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c tÝnh chÊt sau:
1) Sè = . 10 +
2) TÝnh chÊt cña phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD
3) KÕt hîp tÝnh trªn m¸y vµ lµm trªn giÊy.
.Môc tiªu: Chia sè lín thµnh nh÷ngsè nhámµ kh«ng trµn mµn h×nh khi thùc hiÖn trªn m¸y
vÝ dô1: tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375
b) TÝnh chÝnh x¸c A
c) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: B = 1234567892
d) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: C = 10234563
Gi¶i: a) NÕu tÝnh trªn m¸y sÏ trµn mµn h×nh nªn ta lµm nh­ sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375
= 12578.103.14375 + 963.14375
* TÝnh trªn m¸y: 12578.14375 = 180808750  12578.103.14375 = 180808750000
* TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125
Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000
+ 13843125
= 180822593125
VËy A = 12578963 x 14375 = 180822593125
b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892
TÝnh trªn m¸y:
123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521
VËy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
= 15239902500000000
+ 1676204100000
46090521
= 15241578750190521
d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
TÝnh trªn m¸y:
10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672
3.1023.4562 = 638155584; 4563 = 94818816
VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000
1431651672000000
+ 638155584000
94818816
= 1072031456922402816
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1 : TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
§¸p sè: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012
Bµi 2: TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c phÐp tÝnh sau: a) A = 1,123456789 – 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432
Bµi 3: TÝnh chÝnh x¸c tæng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +… + 16.16!
* H­íng dÉn: Ta cã n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n!
* §¸p sè: S = 355687428095999
Bµi 4: a) TÝnh b»ng m¸y tÝnh: Q = 1¬ + 2 + 3 + . . . + 10 .
b) Cã thÓ dïng kÕt qu¶ ®ã ®Ó tÝnh tæng : K = 2 mµ kh«ng dïng m¸y tÝnh .h•y tr×nh bµy lêi gi¶i Êy. §¸p sè: a) Q = 385; b) K = 1540
Bµi 5: TÝnh chÝnh x¸c cña sè A =
NhËn xÐt: lµ sè nguyªn cã (k – 1) ch÷ sè 3, tËn cïng lµ sè 4
lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k – 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng lµ 6
* Ta dÔ dµng CM ®­îc vµ tÝnh ®­îc kÕt qu¶ lµ: A = 1111111111115555555555562/. lo¹i 2: T×m sè d­ cña phÐp chia cña sè a cho sè b
* Ph­¬ng ph¸p:
1/. §èi víi sè bÞ chia tèi ®a cã 10 ch÷ sè:
Th× sè d­ cña A: B = A – B. (trong ®ã lµ phÇn nguyªn cña A cho
2/. Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè:
Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè ta ng¾t ra thµnh hai nhãm. Nhãm ®Çu 9 ch÷ sè ®Çu( kÓ tõ bª tr¸i). t×m ®­îc sè d­ nh­ phÇn 1). Råi viÕt tiÕp sau sè d­ cßn l¹i tèi ®a 9 ch÷ sè råi t×m sè d­ lÇn hai. NÕu cßn n÷a th× lµm liªn tiÕp nh­ vËy.
*§Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b  0, lu«n tån t¹i duy nhÊt mét cÆp sè nguyªn q vµ r sao cho: a = bq + r vµ 0  r < |b| * Tõ ®Þnh lÝ trªn cho ta thuËt to¸n lËp quy tr×nh Ên phÝm t×m d­ trong phÐp chia a cho b: a SHIFT STO A b SHIFT STO B ALPHA A ALPHA B = ( ) ALPHA B – ALPHA B =(Kqu¶: r =…) VÝ dô1: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d­ khi chia 18901969 cho 3041975 TÝnh sè d­ b) T×m sè d­ trong phÐp chia: 815 cho 2004 Gi¶i: a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 3041975 (6,213716089) 6 (650119) VËy sè d­ lµ: r = 650119 b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87 Ta cã: 88 1732(mod2004) 87 968(mod2004)  815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004) VËy sè d­ lµ: r = 1232 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: a) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm ®Ó t×m sè d­ khi chia 3523127 cho 2047. b) T×m sè d­ ®ã.T×m th­¬ng vµ sè d­ trong phÐp chia: 123456789 cho 23456 Bµi 2: T×m sè d­ trong phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 §¸p sè: r = 9 3/. lo¹i 3: T×m UCLN – BCNN cña a vµ b: *Ph­¬ng ph¸p: 1.Víi c¸c sè a vµ b nhá h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng tÝnh chÊt rót gän ph©n sè Trong ®ã (a ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m 2. Víi c¸c sè a vµ b lín h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng thuËt to¸n ¥LE: T×m UCLN(a;b) víi a b ta cã thuËt to¸n sau : Sè d­ cuèi cïng kh¸c 0 lµ r chÝnh lµ UCLN (a;b) hay : r = UCLN (a;b) * Chó ý: BCNN(a;b) = VÝ dô 1: T×m UCLN cña hai sè: a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i: *C 1: +) Ta cã: Trong ®ã (a ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m +) Quy tr×nh Êm m¸y: 24614205 SHIFT STO A ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311) VËy UCLN(a;b) = 21311 *C 2: +)Theo thuËt to¸n ¥le t×m sè d­ trong phÐp chia sè a cho b ta ®­îc: +) quy tr×nh Êm m¸yliªn tôc: (B¹n ®äc cã thÓ dÓ dµng lµm ®­îc vµ kÕt qu¶ UCLN(a, b) = 21311) 3. X¸c ®Þnh sè ­íc sè cña mét sè tù nhiªn n *:§Þnh lÝ : Cho sè tù nhiªn n, n > 1, gi¶ sö khi ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè ta ®­îc:víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m•n:
1 < p1 < p2 <…< pk
Khi ®ã sè ­íc sè cña n ®­îc tÝnh theo c«ng thøc:
 (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)… (ek + 1)
VÝ dô2: H•y t×m sè c¸c ­íc d­¬ng cña sè A = 6227020800.
Gi¶i:
Ph©n tÝch A ra thõa sè nguyªn tè, ta ®­îc:
A = 210.35.52.7.11.13
¸p dông ®Þnh lÝ trªn ta cã sè c¸c ­íc d­¬ng cña A lµ:
 (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
VËy sè c¸c ­íc d­¬ng cña sè A = 6227020800 lµ: 1584Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: T×m ­íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña:
a = 75125232 vµ b = 175429800
§¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) =
Bµi 2: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lµ ­íc cña:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
§¸p sè: 460804/. lo¹i 4: T×m ch÷ sè x cña sè n = m víi m N
* Ph­¬ng ph¸p: 1) Dùa vµo c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cña 2,3,4,5,6,7,8,9,11…
2) Thay x lÇn l­ît tõ 0 ®Õn 9 sao cho n mVÝ dô 1: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng chia hÕt cho 7
*S¬ l­îc lêi gi¶i:
– Sè lín nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 sÏ lµ: .
LÇn l­ît thay z = ta ®­îc sè lín nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 lµ: ,th­¬ng lµ 275622
– Sè nhá nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 sÏ lµ: .
LÇn l­ît thay z = ta ®­îc sè nhá nhÊt d¹ng chia hÕt cho 7 lµ: , th­¬ng lµ 145762VÝ dô 2: T×m tÊt c¶ c¸c sè n d¹ng: chia hÕt cho 24.
*S¬ l­îc lêi gi¶i:
V× N 24  N 3 ; N 8  (37 + x + y) 3 ; 8.
 y chØ cã thÓ lµ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dïng m¸y tÝnh, thö c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m•n: (x + y + 1) 3 vµ 8, ta cã:
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng: chia hÕt cho 13.
Sè 2: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng chia hÕt cho 25
Sè 3: T×m ch÷ sè a biÕt r»ng chia hÕt cho 2009
Sè 4: T×m ch÷ sè x biÕt r»ng chia hÕt cho 2009

* lo¹i 4: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè n = víi n N

. Ph­¬ng ph¸p: (VËn dông c¸c tÝnh chÊt sau)
1) Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 khi n©ng lªn bÊt kú luü thõa nµo còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6
2) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 2;4;6 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 6
3) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 3;7;9 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 1
4) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn).
5) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0
6) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 vµ nh©n víi sè lÎ th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 5
7) Sè chÝnh ph­¬ng chØ chøa c¸c sè tËn cïng lµ: 0;1;4;5;6;9
8) T×m 2 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d­ khi chia sè ®ã cho 10 (hoÆc béi cña 10 bÐ h¬n 100)
9) T×m 3 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d­ khi chia sè ®ã cho 100 (hoÆc béi cña 100 bÐ h¬n 1000)
10) Thö trªn m¸y lÇn l­ît c¸c sè tho¶ m•n ®iÒu kiÖn bµi to¸n th× ta chän

10 Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn).
12) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (cã ®u«i bÊt biÕn).
13) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (cã ®u«i bÊt biÕn).

VÝ dô 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè: a) 9 vµ b) 14
*S¬ l­îc lêi gi¶i::
a) Ta thÊy 9 lµ sè lÎ nªn 9 = 2.k + 1 9 = 9 nªn tËn cïng lµ sè 9
b) ta thÊy 14 ch¼n nªn 14 =2.k 14 =14 =196 nªn ch÷ sè tËn cïng lµ sè: 6

VÝ dô 2: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: 14

*S¬ l­îc lêi gi¶i:
Ta cã: 7 – 1 = 2400 7 – 1 100 7 – 1 100 7 cã 2 ch÷ sè lµ : 01
MÆt kh¸c : 14 = 2 .7
Nh­ng: 2 : 20 d­ 4 (v× : 2 – 1 = (2 ) – 1 : (2 – 1) =15; 4.(2 – 1 ): 20 )
Vµ : 7 : 20 d­ 9 ( v× :7 – 1 : 100 7 -1 : 100 7 : 20 d­ 1 7 : 20 d­ 9 )
VËy : 14 : 20 d­ 4.9 = 36 14 : 20 d­ 10 14 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ:16

VÝ dô 3: T×m C¸c sè x ; y sao cho : cã th­¬ng lµ 16 d­ r.
Cßn : cã th­¬ng lµ 16 d­ r -2000
*S¬ l­îc lêi gi¶i:
Theo bµi ra ta cã: = 16. + r
= 16 . + r – 2000
LÊy trõ ta ®­îc : = 16. + 2000
10.x = 16.y + 2
5.x = 8.y + 1 y = ( v× x; y Z ; 0 x;y 9 )
x = 5: y = 3
VÝ dô 4: T×m c¸c sè khi b×nh ph­¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè 4. Cã hay kh«ng c¸c sè khi b×nh ph­¬ng cã tËn cïng lµ bèn ch÷ sè 4 ?
*S¬ l­îc lêi gi¶i:
Ch÷ sè cuèi cïng cña x2 lµ 4 th× ch÷ sè cuèi cïng cña x lµ 2 hoÆc 8. TÝnh trªn m¸y b×nh ph­¬ng cña sè: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
ta chØ cã c¸c sè:12, 62, 38, 88.
khi b×nh ph­¬ng lªn cã tËn cïng lµ hai ch÷ sè 4. TÝnh trªn m¸y b×nh ph­¬ng cña c¸c sè:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta ®­îc: 462, 962, 38, 538 khi b×nh ph­¬ng cã tËn cïng lµ 444.
* T­¬ng tù c¸ch lµm trªn, ta cã kÕt luËn: kh«ng cã sè N nµo ®Ó N2 kÕt thóc bëi bèn ch÷ sè tËn cïng lµ : 4444.
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 5: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè tho• m•n:
1) Sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè cuèi lín h¬n sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ®Çu 1 ®¬n vÞ
2) Lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 6: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m•n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho 393 còng nh­ 655 ®Òu cã sè d­ lµ 210.
Bµi 7: T×m c¸c ch÷ sè x, y, z ®Ó chia hÕt cho 5, 7 vµ 9.
Bµi 8: T×m sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau:
1) ViÕt d­íi d¹ng thËp ph©n a cã tËn cïng lµ sè 6.
2) NÕu bá ch÷ sè 6 cuèi cïng vµ ®Æt ch÷ sè 6 lªn tr­íc c¸c ch÷ sè cßn l¹i sÏ ®­îc mét sè gÊp 4 lÇn ch÷ sè ban ®Çu.
Bµi 9: T×m sè tù nhiªn n sao cho:
a) 2n + 7 chia hÕt cho n + 1
b) n + 2 chia hÕt cho 7 – n
Bµi 10: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho n3 lµ mét sè cã 3 ch÷ sè ®Çu vµ 4 ch÷ sè cuèi ®Òu lµ sè 1.
Bµi 11: a) T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt mµ n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 vµ kÕt thóc b»ng sè 89
b) T×m sè tù nhiªn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ®ã xxxxxx lµ 6 sè cã thÓ kh¸c nhau).
Bµi 12: Víi gi¸ trÞ tù nhiªn nµo cña n th×:
1,01n – 1 < (n – 1) vµ 1,01n > n.
Bµi 13: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn: x ; x ; … ; x Sao cho =
§¸p sè – H­íng dÉn lêi gi¶i:
Bµi 1: §¸p sè: – Sè lín nhÊt lµ 129304; – Sè nhá nhÊt lµ 1020344
Sè 2: §¸p sè: – Sè lín nhÊt lµ 2939475; – Sè nhá nhÊt lµ: 1030425
Sè 3: §¸p sè: a =
Sè 4: §¸p sè: x =
Bµi 5: *S¬ l­îc lêi gi¶i:: Gäi sè cÇn t×m lµ: .
– §Æt . Khi Êy vµ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2
hay (y – 1)(y + 1) = 7.11.13x.
VËy hai trong ba sè nguyªn tè 7, 11, 13 ph¶i lµ ­íc cña mét trong hai thõa sè cña vÕ tr¸i vµ sè cßn l¹i ph¶i lµ ­íc cña thõa sè cßn l¹i cña vÕ tr¸i.
Dïng m¸y tÝnh, xÐt c¸c kh¶ n¨ng ®i ®Õn ®¸p sè:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bµi 6: *S¬ l­îc lêi gi¶i:
Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q1 + 210  x -210 chia hÕt cho 393
x = 655.q2 + 210  x -210 chia hÕt cho 655
 x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965
 x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,…) hay x = 1965k + 210
– Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000  10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790  5  k < 8.
TÝnh trªn m¸y:
Víi k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035
Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000
Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965
VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 10035, 12000, 13965
Bµi 7:
*S¬ l­îc lêi gi¶i: V× c¸c sè 5, 7, 9 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta ph¶i t×m c¸c ch÷ sè x, y, z sao cho chia hÕt cho 5.7.9 = 315.
Ta cã = 579000 + = 1838.315 + 30 +
 30 + chia hÕt cho 315. V× 30  30 + < 1029 nªn (Dïng m¸y tÝnh t×m c¸c béi cña 315 trong kho¶ng (30 ; 1029):
– NÕu 30 + = 315 th× = 315 – 30 = 285
– NÕu 30 + = 630 th× = 630 – 30 = 600
– NÕu 30 + = 945 th× = 945 – 30 = 915
VËy ta cã ®¸p sè sau:
x y z
2 8 5
6 0 0
9 1 5

Bµi 8: *S¬ l­îc lêi gi¶i:
– Gi¶ sö sè cÇn t×m cã n + 1 ch÷ sè.
– Tõ ®iÒu kiÖn 1) sè ®ã d¹ng:
– Tõ ®iÒu kiÖn 2), ta cã: = 4. (*)
– §Æt , th×: = 10a + 6
= 6.10n + a
– Khi ®ã (*) trë thµnh:
6.10n + a = 4.(10a + 6)  2.(10n – 4) = 13a (**)
§¼ng thøc (**) chøng tá vÕ tr¸i chia hÕt cho 13.
V× (2 ; 13) = 1 nªn: 10n – 4 chia hÕt cho 13.
Bµi to¸n quy vÒ: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó (10n – 4) chia hÕt cho 13, khi ®ã t×m ra sè a vµ sè cÇn t×m cã d¹ng: 10a + 6.
Thö lÇn l­ît trªn m¸y c¸c gi¸ trÞ n = 1; 2;… th× (10n – 4) lÇn l­ît lµ:
6, 96, 996, 9996, 99996,… vµ sè ®Çu tiªn chia hÕt cho 13 lµ: 99996.
Khi ®ã a = 15384  Sè cÇn t×m lµ: 153846.
Bµi 9: *S¬ l­îc lêi gi¶i::
a) LËp c«ng thøc (2n + 7) : (n + 1) trªn m¸y vµ thö lÇn l­ît n = 0, 1, 2,… ta ®­îc n = 0 vµ n = 4 th× 2n + 7 chia hÕt cho n + 1.
Chøng minh víi mäi n  5, ta ®Òu cã 2n + 7 kh«ng chia hÕt cho n + 1, thËt vËy:
(2n + 7) (n + 1)  [(2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1)  5 (n + 1)  n  5.
VËy sè n cÇn t×m lµ 0 hoÆc 4.
b) T­¬ng tù ta cã: n = 4 hoÆc n = 6.
Bµi 10: *S¬ l­îc lêi gi¶i::
NhËn xÐt: 1) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 11 th× n cã tËn cïng lµ sè 1. Thö trªn m¸y c¸c sè:11, 21, 31,…81, 91 ®­îc duy nhÊt sè 71 khi luü thõa bËc ba cã tËn cïng lµ 11.
2) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 111 th× n cã ph¶i tËn cïng lµ sè 471.
(Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 171, 271, 371,…871, 971 )
3) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 1111 th× n ph¶i cã tËn cïng lµ sè 8471.
(Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 1471, 2471, 3471,…8471, 9471 )
– Gi¶ sö m lµ sè ch÷ sè ®øng gi÷a c¸c sè 111 vµ 1111:
+ NÕu m = 3k, k Z+, th×:
111 x 103k+4 < n3 = 111…1111 < 112 x 103k+4
( )

TÝnh trªn m¸y:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do ®ã, víi k  1. Cho k = 1 ta ®­îc n b¾t ®Çu b»ng sè 103, nghÜa lµ:
n = 103…8471
 Sè nhá nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ: n = 1038471
+ NÕu m = 3k + 1 vµ m = 3k + 2, ta ®­îc c¸c sè nµy ®Òu v­ît qu¸ sè 1038471
KÕt luËn: Sè nhá nhÊt tho• m•n yªu cÇu bµi to¸n lµ: n = 1038471 khi ®ã:
(tÝnh kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy): n3 = 1119909991289361111
Bµi 11: *S¬ l­îc lêi gi¶i::
a) Tr­íc hÕt ta t×m sè n2 cã tËn cïng lµ 89:
– V× n2 cã tËn cïng lµ 9 nªn n chØ cã thÓ cã tËn cïng lµ 3 hoÆc 7.
– Thö trªn m¸y c¸c sè: 13, 23,…, 93 ; 17, 27,…, 97 ta t×m ®­îc:
®Ó n2 cã tËn cïng lµ 89 th× n ph¶i cã 2 sè tËn cïng lµ mét trong c¸c sè sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* B©y giê ta t×m sè n2 b¾t ®Çu bëi sè 19:
– §Ó n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 th× nã ph¶i cã d¹ng:
19 x 10k  n2 < 20 x 10k  (1)
+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh:

 4,3588989.10m  n < 4,472135955.10m (2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,… (tÝnh trªn m¸y):
ta ®­îc n cã thÓ lµ: 44, 436, 437, 438, 439, … , 447
+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh:

 13,78404875.10m  n < 14,14213562.10m (3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,… (tÝnh trªn m¸y):
ta ®­îc n cã thÓ lµ: 14, 138, 139, … , 141
1379, 1380, 1381, … , 1414
Tãm l¹i ®Ó n b¾t ®Çu bëi sè 19 th× n cã thÓ lµ:
14, 44, 138, 139, …, 141, 436, 437, … , 447, 1379, 1380, … , 1414 (**)
Tõ (*) vµ (**) ta nhËn thÊy trong c¸c sè trªn chØ cã sè 1383 tho¶ m•n bµi to¸n.
b) Ta cã: 2525 x 108  x2 < 2526 x 108
 50,24937811 x 104  x < 50,25932749 x 104
VËy : 502493 < x < 502593
Sè x tËn cïng ph¶i lµ: 17, 33, 67, 83 (theo c©u a), do ®ã c¸c sè tho¶ m•n lµ:
502517, 502533, 502567, 502583.
Bµi 12:*S¬ l­îc lêi gi¶i:
Ta cã: 1,01512  163,133… < 512 1,011024  26612,56.. > 1024
VËy: 512 < n < 1024
Thu hÑp kho¶ng c¸ch chøa n b»ng ph­¬ng ph¸p chia ®«i:
– Chia ®«i ®o¹n [512 ; 1024], ta cã:
VËy l¹i cã: 512 < n < 768
Sau mét sè b­íc chia ®«i nh­ thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652
Cuèi cïng ta cã: 1,01651 = 650,45… < 651 1,01652 = 656,95.. > 652
 n = 652
* Quy tr×nh trªn MT Casio fx: 500 MS
(ThuËt to¸n: XÐt hiÖu 1,01A – A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2,…
dõng l¹i khi hiÖu trªn chuyÓn tõ (-) sang (+))
– G¸n cho « nhí gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn:
0
– LËp c«ng thøc tÝnh hiÖu 1,01A – A vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí bëi sè tù nhiªn kÕ tiÕp:
1,01
1
– LÆp l¹i c«ng thøc trªn:
…
Bµi to¸n kÕt thóc khi chuyÓn tõ n = 651 sang n = 652.
Bµi 13:*S¬ l­îc lêi gi¶i:
Ta cã: 10.000.000 = 99999999
57 99
Ta ghi lªn mµ h×nh kh«ng tho¶ m•n ë vÞ trÝ x ; x
Dïng phÝm ®Ó söa vµ thö c¸c sè tõ 57; 58; …;98; 99. ta ®­îc 3 sè : 65; 86; 91
VËy ta cã 3 bé sè x ; x ; … ; x lµ : 65 = 17850625 ; 86 = 54700816 ; 91 = 68574961

II. ®a thøc:
* KiÕn thøc bæ rung:
1) Cho ®a thøc P (x) bËc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + … + a1. x +a0 (*)
Trong ®ã: an ; an-1 ; …a1; a0 /R ; an 0
Khi đã: an; an-1; an-2; an-3;… ; a1; a0 gọi c¸c hệ số
N ếu x0 mµ P(x0) = 0 th× x0 lµ nghiệm của P(x)
2) Khi chia ®a thøc P (x) cho (x – ) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th­¬ng Q(x) vµ sè d­ r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (x – ) + r

* Chó ý: (§Þnh lý Bezout)
1) N ếu x = lµ nghiệm của P(x) P(x) (x – )
2) Nếu x0 lµ nghiệm nguyªn của P(x) th× x0 ước của a0
3) N ếu tổng c¸c hệ số bằng 0 th× P(x) = 0 cã nghiệm lµ x = 1 ( Hay P(x) ( x – 1) )
4) NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch¼n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× P(x) = 0 cã
nghiÖm lµ x = -1 (Hay P(x) ( x + 1) )

* S¬ ®å Horner: (®èi víi ®a thøc mét biÕn)
Khi chia ®a thøc P(x) cho ( x – ) th­¬ng lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + … + b2 . x + b1vµ cã sè d­ lµ: r . Khi ®ã ta cã s¬ ®å nh­ sau:
an an-1 an-2 an-3 …… a1 a0

bn bn-1 bn-2 bn-3 ……. b1 r = b0
Trong đã: bn = an
bn-1 = . bn + an-1
bn-2 = . bn-1 + an-2
……………………..
b1 = . bn-1 + a1
b0 = . b1 + a0.

Khi đã: 1). P ( ) = b0
2). Nếu P ( ) = 0 th× P(x) (x – )
3). Nếu P (x) 0 th× P (x) : (x – ) cã sè dư lµ: r = P ( )
Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + … + b2 . x + b1

1/.Lo¹i 1: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a P(x,y,) khi x = x0, y = y0;

*Ph­¬ng ph¸p:
1). TÝnh trùc tiÕp (Thay trùc tiÕp c¸c gi¸ trÞ cña x, y vµo biÓu thøc råi tÝnh kÕt qu¶.
2). Sö dông s¬ ®å Horner ( chØ sö dông khi bµi to¸n yªu cÇu t×m th­¬ng vµ gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i x = ( r = P( ) = b0 )

*Trªn m¸y tÝnh: 1). – G¸n gi¸ trÞ x0 vµo biÕn nhí M. – Råi thùc hiÖn quy tr×nh
2). -TÝnh nhê vµo biÕn nhí

VÝ dô 1: TÝnh A = khi x = 1,8165
Gi¶i:
*C¸ch 1: TÝnh nhê vµo biÕn nhí
BÊm phÝm: 1 8165

KÕt qña: 1.498465582
*C¸ch 2: TÝnh nhê vµo biÕn nhí
BÊm phÝm: 1 8165
KÕt qña: 1.498465582

* Chó ý: Trong c¸c kú thi HSG th­êng vÉn hay cã d¹ng to¸n nµy. §Æc biÖt c¸c cuéc thi cÊp huyÖn. Kh¶n n¨ng tÝnh to¸n dÉn ®Õn sai sè th­êng kh«ng nhiÒu. Nh­ng biÓu thøc qu¸ phøc t¹p nªn t×m c¸ch chia nhá bµi to¸n. Tr¸nh t×nh tr¹ng phÐp tÝnh v­ît qu¸ giíi h¹n nhí cña m¸y tÝnh. SÏ dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai ( KÕt qu¶ ®• quy trßn trªn m¸y tÝnh trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn, cã tr­êng hîp kÕt qu¶ sai h¼n). Do vËy kh«ng cã ®iÓm trong tr­êng hîp nµy.

Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a. A(x) = khi x = 1,23456
b. khi x = 2,18567

2/.Lo¹i 2: T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhi thøc ax + b

*Ph­¬ng ph¸p: Khi chia ®a thøc P (x) cho (ax + b) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th­¬ng Q(x) vµ sè d­ r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (ax + b) + r
P(- ) = r
VËy sè d­ trong phÐp chia P (x) cho (ax + b) lµ r = P(- )
VÝ dô 1: T×m sè d­ trong phÐp chia: P=
Gi¶i:
§Æt Q(x) =
Khi ®ã sè d­ trong phÐp chia: P= lµ Q(1,624)

*Qui tr×nh bÊm m¸y (fx-500MS vµ fx-570 MS)

KÕt qu¶: r = 85,92136979
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: T×m sè d­ trong phÐp chia
Bµi 2: Cho .
a) T×m phÇn d­ r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 vµ x-3.
b) T×m BCNN(r1,r2)?

3/.Lo¹i 3: x¸c ®Þnh tham sè m ®Ó ®a thøc P(x)+m chia hÕt cho nhi thøc a.x+ b

*Ph­¬ng ph¸p: Khi chia ®a thøc P (x) + m cho (ax + b) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th­¬ng Q(x) vµ sè d­ r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (ax + b) +m + r
§Ó P (x) + m chia hÕt cho (ax + b) th×: m +r = 0 m =- r
m =- P(- )
VÝ dô 1: T×m a ®Ó ®a thøc A(x) = chia hÕt cho x+6.
Gi¶i: *S¬ l­îc lêi gi¶i:
§Æt P(x) =
Khi ®ã ta cã: A(x) = P(x) + a
Mµ d­ khi chia P(x) cho x+6 lµ: r = P(-6)
VËy ®Ó A(x) x+6 th× r + a = 0 a = – r = – P(-6)
*Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS
6
4 7 2 13
KÕt qu¶: a = -222
VÝ dô 2: Cho P(x) = 3×3 + 17x – 625. T×m m ®Ó P(x) + m2 chia hÕt cho x + 3 ?
Gi¶i: *S¬ l­îc lêi gi¶i:
Ta cã: d­ khi chia P(x) cho x + 3 lµ: r = P(-3) ®Ó P(x) + m2 chia hÕt cho x + 3
Th×: m2 =- P(-3) = – => m =
*Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS:

KÕt qu¶: m = 27,51363298

4/. Lo¹i 4: T×m th­¬ng vµ sè d­ khi chia ®a thøc cho ®¬n thøc:
*Ph­¬ng ph¸p: Sö dông s¬ ®å Horner
an an-1 an-2 an-3 …… a1 a0

bn bn-1 bn-2 bn-3 ……. b1 r = b0
Trong đã: bn = an
bn-1 = . bn + an-1
bn-2 = . bn-1 + an-2
……………………..
b1 = . bn-1 + a1
b0 = . b1 + a0.

Khi đã: 1). P ( ) = b0
2). Nếu P ( ) = 0 th× P(x) (x – )
3). Nếu P (x) 0 th× P (x) : (x – ) cã sè dư lµ: r = P ( )
Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + … + b2 . x + b1
Chøng minh:
Ta xÐt ®a thø bËc ba: P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 chia cho x –
Ta cã: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b3x2 + b2x + b1)(x- ) + r
= b3x3 + (b2-b3 )x2 + (b1-b2 )x + (r – b1 )
Tõ ®ã ta cã c«ng thø truy håi Horner: b3 = a3
b2= b3 + a2
b1= b2 + a1
b0 = r = b1 + a3.
VÝ dô 1: T×m th­¬ng vµ sè d­ trong phÐp chia x7 – 2×5 – 3×4 + x – 1 cho x + 5.
Gi¶i
Ta cã: = – 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
*Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS:

VËy: x7-2×5-3×4+x -1 = (x + 5)(x6 -5×5 + 23×4 -118×3 + 590×2-2590x + 14751) – 73756.

5/. Lo¹i 5: Ph©n tÝch ®a thøc theo bËc cña mét ®¬n thøc

*Ph­¬ng ph¸p: Sö dông s¬ ®å Horner cho n lÇn
¸p dông n-1 lÇn sö dông s¬ ®å Horner ta ph©n tÝch ®­îc ®a thøc P(x) bËc n theo x- : P(x)=r0+r1(x- )+r2(x- )2+…+rn(x- )n.

VÝ dô 1: Ph©n tÝch P(x) = x4 – 3×3 + x – 2 theo bËc cña x – 3.
Gi¶i:
Thùc hiÖn phÐp chia P(x)=q1(x)(x- )+r0 theo theo s¬ ®å Horner ta ®­îc q1(x) vµ r0. Sau tiÕp tôc t×m c¸c qk(x) vµ rk-1 ta ®­îc b¶ng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3×2+x-2
3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
3 1 3 9 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28
3 1 6 27 q3(x)=x+6, r0 = 27
3 1 9 q4(x)=1=a0, r0 = 9

VËy x4 – 3×3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.

6/. Lo¹i 6: X¸c ®Þnh ®a thøc & tÝnh gi¸ trÞ mét sè gi¸ trÞ cña ®a thøc khi biÕt mét sè gi¸ trÞ cña kh¸c cña nã:

*Ph­¬ng ph¸p:
1). Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tõ ®ã t×m ®­îc c¸c hÖ sè
2). T×m ®a thø phô tr­íc, råi quay l¹i t×m ®a thøc.

VÝ dô 1: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9).
Gi¶i:
§Æt A(x) = P(x) – x2 ta cã: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0;
Nªn theo ®Þnh lý Bezout ta cã: x = 1;2;3;4;5 lµ nghiÖm cña A(x) do ®ã ta cã:
k.( x – 1)(x-2)( x – 3)(x-4)(x – 5) = P(x) – x2
=> P(x) = k.( x – 1)(x-2)( x – 3)(x- 4)(x – 5) + x2
V× P(x) cã bËc lín nhÊt lµ: 5 vµ cã hÖ sè b»ng 1 nªn k = 1
VËy P(x) = ( x – 1)(x-2)( x – 3)(x- 4)(x – 5) + x2
=> .P(6) = ( 6 – 1)(6-2)(6 – 3)(6-4)(6 – 5) + 62 = 156
.P(7) = ( 7 – 1)(7-2)(7 – 3)(7-4)(7 – 5) + 72 = 769
.P(6) = ( 8 – 1)(8-2)(8 – 3)(8-4)(8- 5) + 82 = 2584
.P(6) = ( 9 – 1)(9-2)(9 – 3)(9-4)(9 – 5) + 92 = 6801

VÝ dô 2: Cho P(x) = 6×5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450. BiÕt ®a thøc P(x) chia hÕt cho c¸c nhÞ thøc (x – 2) ; (x – 3); (x – 5) . H•y t×m c¸c gi¸ trÞ a, b, c vµ c¸c nghiÖm cña ®a thøc.
*HD: Dïng chøc n¨ng gi¶i hpt ta ®­îc kÕt qu¶: a = -59; b = 161; c = – 495;
x1 = 2; x2 = 3; x3=5; x4=3/2; x5=-5/3
Bµi tËp ¸p dông :

Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = 6×3 – 7×2 – 16x + m.
a. T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho 2x + 3.
b. Víi m võa t×m ®­îc ë c©u a h•y t×m sè d­ r khi chia P(x) cho 3x-2.
c. T×m m vµ n ®Ó Q(x) = 2×3 – 5×2 – 13x + n vµ P(x) cïng chia hÕt cho x-2.
d. Víi n võa t×m ®­îc ph©n tÝch Q(x) ra tÝch c¸c thõa sè bËc nhÊt.

Bµi 2: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. BiÕt Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. TÝnh Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).

Bµi 3: Cho P(x) = x4 + 5×3 – 4×2 + 3x + m vµ Q(x) = x4 + 4×3 – 3×2 + 2x + n.
a. T×m gi¸ trÞ cña m, n cña c¸c ®a thøc P(x) vµ Q(x) chia hÕt cho x – 2.
b. Víi gi¸ trÞ cña m, n võa t×m ®­îc chøng tá r»ng ®a thøc R(x) = P(x) – Q(x) chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt

Bµi 4: Cho P(x) = x5 + 2×4 – 3×3 + 4×2 – 5x + m.
1. T×m sè d­ trong phÐp chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2010
2. T×m gÝa trÞ m ®Ó P(x) chia hÕt cho x – 2,5
3. P(x) cã nghiÖm x = 2. T×m m?

Bµi5. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).

Bµi 6: Cho ®a thøc P(x) = x10 + x8 – 7,589×4 + 3,58×3 + 65x + m.
a. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó P(x) cã nghiÖm lµ: x = 0,3648
b. Víi m võa t×m ®­îc, t×m sè d­ khi chia P(x) cho (x -23,55)

Bµi 7: 1.Cho x=2,1835 vµ y= -7,0216. TÝnh
2.T×m sè d­ r cña phÐp chia :
3. Cho . T× m m ®Ó P(x) chia hÕt cho ®a thøc x+2

Bµi 8:
a. T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho (x -13) biÕt P(x) = 4×5 + 12×4 + 3×3 + 2×2 – 5x – m + 7 b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biÕt P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3)=107. TÝnh P(12)?

Bµi 9: Cho ña thöùc P(x) = x3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. TÝnh:
a. c¸c hÖ sè b, c, d cña ®a thøc P(x).
b. T×m sè d­ r1 khi chia P(x) cho x – 4.
c. T×m sè d­ r2 khi chia P(x) cho 2x +3.

Bµi 10: Cho ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx + c. BiÕt P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. TÝnh:
a. C¸c hÖ sè a, b, c cña ®a thøc P(x).
b. T×m sè d­ r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. T×m sè d­ r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. T×m sè d­ r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).

Bµi 11: Cho ®a thøc P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. TÝnh P(2010)?

Bµi 12: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 ®­îc sè d­ lµ 5. Chia P(x) cho x – 2 ®­îc sè d­ lµ – 4. H•y t×m cÆp (M,N) biÕt r»ng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hÕt cho (x-1)(x-2)

3: Liªn ph©n sè:
Cho a, b (a>b) lµ hai sè tù nhiªn. Dïng thuËt to¸n ¬clÝt chia a cho b, ph©n sè cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: V× b0 lµ ph©n d­ cña a khi chia cho b nªn b > b0. Do vËy ta ®­îc
TiÕp tôc nh­ vËy ta ®­îc sau n b­íc ta ®­îc: .
C¸ch biÓu diÓn nµy gäi lµ c¸ch biÓu diÓn sè höu tØ d­íi d¹ng liªn ph©n sè. Mäi sè höu tØ cã mét biÓu diÓn duy nhÊt d­íi d¹ng liªn ph©n sè, nã ®­îc viÕt gän lµ .

VÊn ®Ò ®Æt ra lµ: h•y biÓu diÓn liªn ph©n sè vÒ d¹ng vµ ng­îc l¹i
Víi sù trî gióp cña m¸y tÝnh ta cã thÓ tÝnh mét c¸ch nhanh chãng.

* Qui tr×nh bÊm m¸y fx-500MS:
1). TÝnh tõ d­íi lªn trªn:
BÊm lÇn l­ît c¸c phÝm:
2). TÝnh tõ trªn xuèng d­íi:
BÊm lÇn l­ît c¸c phÝm:

VÝ dô1: TÝnh gi¸ trÞ cña:
Gi¶i:
Qui tr×nh bÊm trªn m¸y fx-500MS
*C¸ch 1: BÊm c¸c phÝm:
*C¸ch 2: BÊm c¸c phÝm:
VÝ dô 2: BiÕt trong ®ã a vµ b lµ c¸c sè d­¬ng. T×m a,b?
Gi¶i:
Ta cã: . VËy a = 7, b = 2.
Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: TÝnh vµ viÕt kÕt qu¶ d­íi d¹ng ph©n sè:

Bµi 2:
T×m c¸c sè tù nhiªn a vµ b biÕt:
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ cña x, y cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a. b.
Bµi 6: Cho
H•y viÕt l¹i A d­íi d¹ng ?

4.D•y sè:
1. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D•y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
d•y sè (un) cho bëi
trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña n cho tr­íc.
C¸ch lËp quy tr×nh:
– Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí : 1
– LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí 1
– LÆp dÊu b»ng: … …
Gi¶i thÝch:
1 : ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí
1 : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc hiÖn g¸n gi¸ trÞ « nhí thªm 1 ®¬n vÞ: 1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai).
* C«ng thøc ®­îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu
VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d•y sè (un) cho bëi:

Gi¶i:
– Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh­ sau:
1
1 5 1 5 2 1 5 2 1
– LÆp l¹i phÝm: … …
kÕt qu¶: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.

2. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D•y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:
d•y sè (un) cho bëi
trong ®ã f(un) lµ biÓu thøc cña
un cho tr­íc.

C¸ch lËp quy tr×nh:
– NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a
– NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng )
– LÆp dÊu b»ng:
Gi¶i thÝch:
– Khi bÊm: a mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ l­u kÕt qu¶ nµy
– Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm , bÊm dÊu lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i l­u kÕt qu¶ nµy.
– TiÕp tôc bÊm dÊu ta lÇn l­ît ®­îc c¸c sè h¹ng cña d•y sè u3, u4…
VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d•y sè (un) cho bëi:

Gi¶i:
– LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d•y sè nh­ sau:
1 (u1)
2 1 (u2)
…
– Ta ®­îc c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi 9 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu ph¶y:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =…= u20 = 1,414213562
VÝ dô 2: Cho d•y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:

T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó un lµ sè nguyªn.
Gi¶i:
– LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d•y sè nh­ sau:
3 (u1)
3 (u2)
(u4 = 3)
VËy n = 4 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt ®Ó u4 = 3 lµ sè nguyªn.

3. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D•y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:
D•y sè (un) cho bëi

C¸ch lËp quy tr×nh:
* C¸ch 1:
BÊm phÝm: b A B a C
Vµ lÆp l¹i d•y phÝm:
A B C
A B C

Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn
b A B a C
trong « nhí lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thùc hiÖn: A B C m¸y tÝnh tæng u4 := Au3 + Bu2 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u4 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí (trong « nhí vÉn lµ u3).
Sau khi thùc hiÖn: A B C m¸y tÝnh tæng u5 := Au4 + Bu3 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u5 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí (trong « nhí vÉn lµ u4).
TiÕp tôc vßng lÆp ta ®­îc d•y sè un+2 = Aun+1¬ + Bun + C
*NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng ®Ó lËp l¹i d•y lÆp bëi quy tr×nh sau (gi¶m ®­îc 10 lÇn bÊm phÝm mçi khi t×m mét sè h¹ng cña d•y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau:
BÊm phÝm: b A B a C
A B C
A B C

LÆp dÊu b»ng: … …
* C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc
BÊm phÝm: a b
A B C

LÆp dÊu b»ng: … …

VÝ dô : Cho d•y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:

H•y lËp quy tr×nh tÝnh un.
Gi¶i:
– Thùc hiÖn quy tr×nh:
2 3 4 1 5
3 4 5
3 4 5

… …
ta ®­îc d•y: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671…
HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh:
1 2
3 4 5

… …
ta còng ®­îc kÕt qu¶ nh­ trªn.

4.D•y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng:
D•y sè (un) cho bëi

* ThuËt to¸n ®Ó lËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d•y:
– Sö dông 3 « nhí: : chøa gi¸ trÞ cña n
: chøa gi¸ trÞ cña un
: chøa gi¸ trÞ cña un+1
– LËp c«ng thøc tÝnh un+1 thùc hiÖn g¸n = + 1 vµ := ®Ó tÝnh sè h¹ng tiÕp theo cña d•y
– LÆp phÝm :
VÝ dô : Cho d•y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:

H•y lËp quy tr×nh tÝnh un.
Gi¶i:
– Thùc hiÖn quy tr×nh:
1 0
1
1
1
… … ta ®­îc d•y:

5. LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
– LËp quy tr×nh trªn MTCT ®Ó tÝnh mét sè sè h¹ng cña d•y sè
– T×m quy luËt cho d•y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t
– Chøng minh c«ng thøc t×m ®­îc b»ng quy n¹p
VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt:

Gi¶i:
– Tr­íc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d•y (an), quy tr×nh sau:
1 0
1
2 3
1
1
– Ta ®­îc d•y:
– Tõ ®ã ph©n tÝch c¸c sè h¹ng ®Ó t×m quy luËt cho d•y trªn:
a1 = 0
a2 =  dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
a3 =
a4 = * DÔ dµng chøng minh c«ng thøc (1) ®óng
…


VÝ dô 2: XÐt d•y sè:

Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Gi¶i:
– Ta co sè sè h¹ng ®Çu cña d•y (an) b»ng quy tr×nh:
– Ta ®­îc d•y: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,…
– T×m quy luËt cho d•y sè:

 dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:

* Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1)
…
Tõ ®ã: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
 A lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
C¸ch gi¶i kh¸c: Tõ kÕt qu¶ t×m ®­îc mét sè sè h¹ng ®Çu cña d•y,ta thÊy:
– Víi n = 1 th× A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 – 1)2
– Víi n = 2 th× A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 – 1)2
– Víi n = 3 th× A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 – 1)2
Tõ ®ã ta chøng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 – 1)2 (*)
B»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p ta còng dÔ dµng chøng minh ®­îc (*).
Bµi tËp ¸p dông
Bµi 1: Cho d•y sè (un), (n = 0, 1, 2,…):

a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn.
b) T×m tÊt c¶ n nguyªn ®Ó un chia hÕt cho 3.
Bµi 2: Cho d•y sè (an) ®­îc x¸c ®Þnh bëi:

a) X¸c ®Þnh c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t an.
b) Chøng minh r»ng sè: biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n  1.
Bµi 3: Cho d•y sè (un) x¸c ®Þnh bëi:

T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n sao cho un lµ sè nguyªn tè.
Bµi 4: Cho d•y sè (an) x¸c ®Þnh bëi:

Chøng minh r»ng:
a) D•y sè trªn cã v« sè sè d­¬ng, sè ©m.
b) a2002 chia hÕt cho 11.
Bµi 5: Cho d•y sè (an) x¸c ®Þnh bëi:

Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn.
Bµi 6: D•y sè (an) ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:
; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè ).
Chøng minh r»ng d•y (an) lµ d•y c¸c sè nguyªn lÎ.

5.H×nh Häc:
1/. Gi¶i tam gi¸c:
* Mét sè c«ng thøc: 1/. C¸c hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng:
2/. TØ sè l­îng gi¸c cña gãc nhän:
3/ C¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c:

* C¸c d¹ng to¸n:
VÝ dô 1: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC, biÕt:
AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
HD: Ta cã : S =
Tõ ®ã ta cã: ; ;
Bµi 2: TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt:
AB = 11,52 ; AC = 19,67 vµ gãc 54o35’12’’
§¸p sè: BC = ; ;
Bµi 3: TÝnh c¹nh AB, AC, gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt:
BC = 4,38 ; 54o35’12’’ ; 101o15’7’’
§¸p sè: AB= ; AC = ;
Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
§iÓm M n»m trªn c¹nh BC sao cho: BM = 2,142
1) TÝnh ®é dµi AM?
2) TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM
3) TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM.
§¸p sè: 1) AM = 2) R = 3) r =
Bµi 5: Tam gi¸c ABC cã: 49o27’ ; 73o52’ vµ c¹nh BC = 18,53.
TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c ?
§¸p sè: S =
Bµi 6: Tam gi¸c ABC cã chu vi 58 (cm) ; 57o18’ vµ 82o35’
TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC, CA ?
§¸p sè: AB = ; BC = ; CA =
Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90o < < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.
TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tuyÕn AM ?
2) Gãc ?
3) DiÖn tÝch tam gi¸c S = ?
§¸p sè: BC = ; AM = ; ; S =
Bµi 8: Tam gi¸c ABC cã 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).
TÝnh ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ?
§¸p sè: AD = ; AE =

2. §a gi¸c, h×nh trßn:
1/. §a gi¸c ®Òu n c¹nh, ®é dµi c¹nh lµ a:
+ Gãc ë t©m: (rad), hoÆc: (®é)
+ Gãc ë ®Ønh: (rad), hoÆc (®é)
+ DiÖn tÝch:
2/. H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn:
+ H×nh trßn b¸n kÝnh R:
– Chu vi: C = 2R
– DiÖn tÝch: S = R2
+ H×nh vµnh kh¨n:
– DiÖn tÝch: S = (R2 – r2) = (2r + d)d
+ H×nh qu¹t:
– §é dµi cung: l = R ; (: rad)
– DiÖn tÝch: (: rad)
(a: ®é)
Bµi 9: Ba ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh 3 cm ®«i mét tiªp xóc ngoµi (H×nh vÏ)
TÝnh diÖn tÝch phÇn xen gi÷a ba ®­êng trßn ®ã ?
H.DÉn:
SBµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a = 5,35. Dùng c¸c ®­êng trßn t©m A, B, C, D cã b¸n kÝnh R = . TÝnh diÖn tÝch xen gi÷a 4 ®­êng trßn ®ã.
H.DÉn: Sg¹ch = SABCD – 4Squ¹t
Squ¹t = SH.trßn = R2
 Sg¹ch = a2 – 4. R2 = a2 – a2
= a2(1 – ) 6,142441068
Bµi 11: Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 3,15 cm. Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn vÏ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm thuéc (O) ). TÝnh diÖn tÝch phÇn giíi h¹n bëi hai tiÕp tuyÕn vµ cung trßn nhá BC. BiÕt OA = a = 7,85 cm.
H.DÉn:
– TÝnh :

SOBAC = 2SOBA = aRsin
Squ¹t =
Sg¹ch = SOBAC – Squ¹t = aRsin – 11,16 (cm2)
Bµi 12: TÝnh diÖn tÝch phÇn ®­îc t« ®Ëm trong h×nh trßn ®¬n vÞ (R = 1) (Xem h×nh 1)
§¸p sè:
Bµi 13: TÝnh tû lÖ diÖn tÝch cña phÇn ®­îc t« ®Ëm vµ diÖn tÝch phÇn cßn l¹i trong h×nh trßn ®¬n vÞ (Xem h×nh 2)
§¸p sè:

PhÇn III: mét sè ®Ò thi ( hÖ THCS )
SỞ GDĐT QUẢNG NGÃI THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
TRƯỜNG THCS – DTNT BA TƠ BẬC TRUNG HỌC NĂM HỌC 2008-2009

Đề chính thức

Họ và tênhọc sinh: ………………………………………………………………
Lớp: ……………………… cấp THCS.
Thờii gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 13/12/2008.
Chú ý: – Đề này gồm: 4 trang.
– Thí sinh làm bài trực tiếp trên bài thi này.

ĐIỂM TOÀN BÀI THI CHỮ KÝ CỦA GIÁM KHẢO

Bằng số Bằng chữ GK1 GK2

Quy định: Nếu không giaỉ thích gì thêm, hãy tính kết quả chính xác đến 10 chữ số.
Bài 1: (10 điểm)
Tính giá trị của các biểu thức sau và điền kết quả vào ô vuông:
a) A = KQ:
b) B =
c) d)

e) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351.
Tính : E = cotg(A + B – C) ?
Bài 2: (6 điểm)
Tìm giá trị của x, y, z dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau rồi điền kết quả vào ô vuông :
a)

b)

c)

Bài 3: (10 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng:

b) Tìm ƯCLN và BCNN của 170586104 và 157464096.

c) Tìm số dư của phép chia: 987654312987654321 cho 123456789.

d) Tìm chữ số hàng chục của 172008
e) Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 13

Bài 4: (1điểm)

Cho u1 = 2008; u2 = 2009 và un+1 = un + un-1 với mọi n 2. Xác định u13 ?

Bài 5: (3,5 điểm )
Cho đa thức : P (x) = x3 + bx2 + cx + d và cho biết: P(1) = -15; P(2) = -15; P( 3) = -9.
a) Lập hệ phương trình tìm các hệ số b, c, d của P(x).

Giải: b, c, d là nghiệm của hệ phương trình sau:

b = c = d =

b) Tìm số dư r và đa thức thương Q(x) trong phép chia P (x) cho (x – 13).

Bài 6: (1điểm)
Cho đa thức : F(x) = x5 + 2×4 – 3×3 + 4×2 – 5x + m – 2008. Tìm giá trị của m để phương trình F(x) = 0 có một nghiệm là x = -1,31208.

Bài 7: ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 3AB . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = AB. Tính tổng số đo ?

Bài 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM. Từ B, kẻ BH vuông góc với AC taïi H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC tại K (H, K  AC). Tính độ dài đường trung tuyến AM.

• Điền kết quả vào ô vuông:

Bài 9: (3điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và . (Tính chính xác đến 3 chữ số thập phân).
a) Độ dài đường cao BH.
b) Diện tích tam giác ABC.
c) Độ dài cạnh BC.

• Điền kết quả vào ô vuông:

BH = SABC = BC =

Bài 10: (2điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (BC // AD ; ) có AB = 12,35cm ; BC = 10,55cm ; .
a) Tính chu vi của hình thang ABCD.
b) Tính diện tích của hình thang ABCD.
c) Tính các góc của tam giác ADC.
( Làm tròn đến độ )

• Điền kết quả vào ô vuông:
C ABCD = SABCD = = ; =

SỞ GDĐT QUẢNG NGÃI THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
TRƯỜNG THCS – DTNT BA TƠ BẬC TRUNG HỌC NĂM HỌC 2008-2009

Đề chính thức ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài 1: (10 điểm)
Tính giá trị của các biểu thức sau và điền kết quả vào ô vuông:
Mỗi câu đúng 2 điểm
a) A = KQ:
b) B =
c) d)

e) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351.
Tính : E = cotg(A + B – C) ?
Bài 2: (6 điểm)
Tìm giá trị của x, y, z dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau rồi điền kết quả vào ô vuông : Mỗi câu đúng 2 điểm
a)

b)

c)

Bài 3: (10 điểm) Mỗi câu đúng 2 điểm
a) Tìm ccác số tự nhiên a và b biết rằng:

b) Tìm ƯCLN và BCNN của 170586104 vaø 157464096.

c) Tìm số dư của phép chia: 987654312987654321 cho 123456789.

d)Tìm chữ số hàng chục của 172008
e)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất ntrong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 13

Bài 4: (1điểm)

Cho u1 = 2008; u2 = 2009 và un+1 = un + un-1 với mọi n 2. Xác định u13 ?

Bài 5: (3,5 điểm )
Cho đa thức : P (x) = x3 + bx2 + cx + d và cho biết: P(1) = -15; P(2) = -15; P( 3) = -9.
a) Lập hệ phương trình tìm các hệ số b, c, d của P(x). ( 2 điểm)

Giải: b, c, d là nghiệm của hệ phương trình sau:

b = -3 c = 2 d = -15

b) Tìm số dư r và đa thức thương Q(x) trong phép chia P (x) cho (x – 13). (1,5 điểm)

Bài 6: (1điểm)
Cho đa thức : F(x) = x5 + 2×4 – 3×3 + 4×2 – 5x + m – 2008. Tìm giá trị của m để phương trình F(x) = 0 có một nghiệm là x = -1,31208.

Bài 7: ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 3AB . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = AB. Tính tổng số đo ?

Bài 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM. Từ B, kẻ BH vuông góc với AC taïi H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC tại K (H, K  AC). Tính độ dài đường trung tuyến AM.

• Điền kết quả vào ô vuông:

Bài 9: (3điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và . (Tính chính xác đến 3 chữ số thập phân).
a) Độ dài đường cao BH.
b) Diện tích tam giác ABC.
c) Độ dài cạnh BC
Mỗi câu đúng 1 điểm

• Ñieàn keát quaû vaøo oâ vuoâng:

BH = 8,474 cm SABC = 43,726 cm2 BC = 11,361 cm

Bài 10: (2 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (BC // AD ; ) có AB = 12,35cm ; BC = 10,55cm ; .
a) Tính chu vi của hình thang ABCD.
b) Tính diện tích của hình thang ABCD.
c) Tính các góc của tam giác ADC.
( Làm tròn đến độ )
Giải:
a) Ta có AD = ; DH = AH. cotg = 10,55.cotg570 (1 đ) Nên CABCD = 2AB + BC +DH +AD = 2.12,35 + 10,55 +10,55.cotg570 + = 54,68068285 cm
b) SABCD = cm2
(0,5 đ)
c) Ta có : tg Suy ra . Do đó
(0,5 đ)
• Điền kết quả vào ô vuông:
C ABCD = 54,68068285 cm SABCD = 166,4328443 cm2 = 820 ; = 410

CÁCH XẾP GIẢI KỲ THI MTCT CASIO CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2008 – 2009

– Giải nhất: Từ 36 đến 40 điểm
– Giải nhì: Từ 32 đến 36 điểm
– Giải ba: Từ 28 đến 32 điểm
– Giải KK: Từ 20 28 điểm

C. KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ:
øng dông cña m¸y tÝnh trong viÖc gi¶i to¸n lµ mét vÊn ®Ò lín, ®ßi hái ng­êi häc ph¶i cã tÝnh s¸ng t¹o, cã t­ duy tèt vµ kü n¨ng vËn dông lý thuyÕt mét c¸ch linh ho¹t. ChÝnh v× lÏ ®ã, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ng­êi gi¸o viªn cÇn chuÈn bÞ chu ®¸o, tØ mØ, râ rµng tõng thÓ lo¹i bµi tËp cô thÓ ®Ó häc sinh hiÓu s©u b¶n chÊt vµ c¸ch vËn dông. X©y dùng cho c¸c em niÒm ®am mª, høng thó trong häc tËp, t«n träng nh÷ng suy nghÜ, ý kiÕn vµ s¸ng t¹o cña c¸c em. CÇn th­êng xuyªn kiÓm tra, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ häc tËp, bæ sung thiÕu sãt kÞp thêi, d¹y s©u, d¹y ch¾c vµ kÕt hîp nhuÇn nhuyÔn, l«gic gi÷a c¸c bµi kh¸c nhau.
Trong qu¸ tr×nh biªn so¹n: “C¸c d¹ng to¸n thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” kh«ng chØ gióp cho häc sinh yªu thÝch häc bé m«n to¸n, mµ cßn lµ c¬ së gióp cho b¶n th©n cã thªm kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y vµ ng­êi biªn so¹n nhËn ra c¸c nhËn xÐt ®Æc tr­ng sau :
1. M¸y tÝnh ®iÖn tö gióp còng cè c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n t¨ng tèc ®é lµm to¸n.
2.M¸y tÝnh ®iÖn tö gióp më rénh c¸c kiÕn thøc to¸n häc
3. M¸y tÝnh ®iÖn tö gióp liªn kÕt kiÕn thøc to¸n häc víi thùc tÕ
MÆc dï ®• rÊt cè g¾ng khi biªn so¹n, song kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt vÒ cÊu tróc l«gÝc, ng«n ng÷ vµ kiÕn thøc khoa häc. V× vËy mét lÇn n÷a t«i rÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng gãp ý kiÕn gãp ý ch©n thµnh cña thÇy c« vµ b¹n ®äc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!

.