10 chuyên đề học sinh giỏi toán lớp 9. Blogtailieu.com.

Dạng 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC

DẠNG II :                      ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG III:    PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT

DẠNG IV:                                    HỆ PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG V:               PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

DẠNG VI:          PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

CHUYÊN ĐỀ VII: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

CHUYÊN ĐỀ VIII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

CHUYÊN ĐỀ IX: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

DẠNG X:                           HÌNH HỌC

 

Câu 1: (4 điểm)  Cho biểu thức:

P =

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
2. Tìm giá trị  của  x  khi  P = 1.

Câu 2: (4,0 điểm). Cho biểu thức:

1. a) Rút gọn A;
2. b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;
3. c) Tính giá trị của A với .

Bài 3: (4,0 điểm)

     Cho biểu thức:

1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
3. Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2.

Bài 4: (4,0 điểm)     Cho

1. a) Rút gọn biểu thức A.
2. b) Tìm giá trị của x để A = .

Câu 5: (4,0 điểm). Cho biểu thức:

1. a) Rút gọn A;
2. b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;
3. c) Tính giá trị của A với .

Bài 6: (4,0 điểm).

          Cho biểu thức .

1. a) Tìm các giá trị của x để .
2. b) Chứng minh rằng  với mọi x thoả mãn .

Bài 7: (4,0 điểm).Cho biểu thức :

1. a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P .
2. b) Tìm x thoả mãn :

Bài 8: (4,0 điểm).Cho biểu thức:

1. a) Rút gọn biểu thức P.
2. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.

Bài 9: (4,0 điểm).

Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức .
2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức  nhận giá trị nguyên.

Bài 10: (4,0 điểm).

   Cho biểu thức: A =

a.Rút gọn biểu thức A.

b.Tính giá trị biểu thức A khi .

Bài 11: (4 điểm) Cho biểu thức:

1. a) Rút gọn biểu thức .
2. b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Bài 12: (4 điểm)Cho biểu thức:

A =

1. Rút gọn biểu thức.
2. Cho Tìm Max A.

Bài 13. Cho biểu thức :

 

a.Rút gọn A.

b.Tính A biết

c.Tìm x để A > 1.

Bài 14. Cho biểu thức :

a.Rút gọn P.

b.Tìm m để

c.Tìm m  N để P  N.

Bài15. Cho biểu thức :   P =

a.Rút gọn P

b.Chứng minh   0  P   1.

Bài 16. Cho biểu thức:   M =

a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.

b.Rút gọn M.

c.Chứng minh M

Bài 17. Cho biểu thức :           D =  :

1. a) Rút gọn biểu thức D.
2. b) Tính giá trị của D khi = 2.

Bài 18. Cho biểu thức :           A =

a.Rút gọn A.

b.Tính A với  :      a =

Bài 19. Cho :         A =

a.Rút gọn A.

b.Tìm a để A < 1.

b.Tìm a để A  Z.

Bài 20. Cho :                 A =

a.Rút gọn A.

b.So sánh : A với .

          Bài 21. Cho :           A =

Tính A biết :          2x² + y² – 4x – 2xy + 4 = 0

Bài 22. Cho : A = .

a.Rút gọn A.

b.Cho xy = 16. Tìm  minA.

 23: Cho biểu thức :    N =

a, Rút gọn biểu thức N.

b, Tính N khi a =  , b =

c, CMR nếu Thì N có giá trị không đổi.

 

  24: Cho biểu thức :    M =

a, Rút gọn biểu thức M.

b, Tính M khi  a =  và b =

c, Tìm a, b trong trường hợp   thì M = 1.

 25:  Cho biểu thức :    H =

a, Rút gọn biểu thức H.

b, Tính H khi x =  .

c, Tìm x  khi  H = 16.

 

 

 

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Lời giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

Ð CEH = 90⁰ ( Vì BE là đường cao)

Ð CDH = 90⁰ ( Vì AD là đường cao)

=> Ð CEH + Ð CDH = 180⁰

 

Mà Ð CEH  và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEC = 90⁰.

CF là đường cao => CF ^ AB => ÐBFC = 90⁰.

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90⁰ => E và F cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC.

Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: Ð AEH = Ð ADC = 90⁰ ; Â là góc chung

=> D AEH ~ DADC =>  => AE.AC = AH.AD.

* Xét hai tam giác  BEC và ADC ta có: Ð BEC = Ð ADC = 90⁰ ; ÐC là góc chung

=> D BEC ~ DADC =>  => AD.BC = BE.AC.

4. 4. Ta có ÐC₁ = ÐA₁ ( vì cùng phụ với góc ABC)

ÐC₂ = ÐA₁ ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> ÐC₁ = Ð C₂ => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân tại C

=> CB cũng là đương trung trực của HM  vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

5. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

=> ÐC₁ = ÐE₁ ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

• ÐC₁ = ÐE₂ ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
• ÐE₁ = ÐE₂ => EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  DEF.

 

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh ED =
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Lời giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

Ð CEH = 90⁰ ( Vì BE là đường cao)

Ð CDH = 90⁰ ( Vì AD là đường cao)

=> Ð CEH + Ð CDH = 180⁰

Mà Ð CEH  và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp

2. 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC.   Theo trên  ta có ÐBEC = 90⁰ .

Vậy tam giác  BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ÐE₁ = ÐA₁ (1).

Theo trên DE = BC => tam giác  DBE cân tại D => ÐE₃ = ÐB₁ (2)

Mà ÐB₁ = ÐA₁ ( vì cùng phụ với góc ACB) => ÐE₁ = ÐE₃ => ÐE₁ + ÐE₂ = ÐE₂ + ÐE₃

Mà ÐE₁ + ÐE₂ = ÐBEA = 90⁰ => ÐE₂ + ÐE₃ = 90⁰ = ÐOED => DE ^ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn  (O) tại E.

5. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED² = OD² – OE² ó ED² = 5² – 3²  ó ED = 4cm

Bài 3  Cho  nửa đường tròn  đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn  kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh ÐCOD = 90⁰.

3.Chứng minh AC. BD = .

4.Chứng minh   OC // BM

5.Chứng minh AB  là tiếp tuyến của đường tròn  đường kính CD.

5.Chứng minh MN ^ AB.

6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải: