PHẦN I:  CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9

 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

1. Kiến thức cần nhớ:
   • Kiến thức cơ bản

• Căn bậc hai
  1. Căn bậc hai số học
• Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a
• Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
• Một cách tổng quát:
  1. So sánh các căn bậc hai số học

– Với hai số a và b không âm ta có:

• Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
  1. Căn thức bậc hai
• Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
• xác định (hay có nghĩa)  A  0
  1. Hằng đẳng thức
• Với mọi A ta có
• Như vậy: +  nếu  A  0

+  nếu A < 0

• Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
  1. Định lí: + Với A 0 và B  0 ta có:

+  Đặc biệt với A  0 ta có

1. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó

• Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
  1. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:
  2. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
  3. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
• Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
  1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
• Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là

+ Nếu A  0 và B  0 thì

+ Nếu A < 0 và B  0 thì

1. Đưa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A  0 và B  0 thì

+ Nếu A < 0 và B  0 thì

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

– Với các biểu thức A, B mà A.B  0 và B  0, ta có

1. Trục căn thức ở mẫu

– Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
– Với các biểu thức A, B, C mà   và , ta có
– Với các biểu thức A, B, C mà  và , ta có

• Căn bậc ba
  1. Khái niệm căn bậc ba:
• Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a
• Với mọi a thì
  1. Tính chất
• Với a < b thì
• Với mọi a, b thì
• Với mọi a và thì

• Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên

• Căn bậc n
  1. Căn bậc n () của số a là một số mà lũy thừa n bằng a

1. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
   • Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
   • Căn bậc lẻ của số dương là số dương
   • Căn bậc lẻ của số âm là số âm
   • Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

1. Căn bậc chẵn (n = 2k )
   • Số âm không có căn bậc chẵn
   • Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
   • Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là và

1. Các phép biến đổi căn thức.

• xác định với
  xác định với
• với A
  với A
• với A, B
  với A, B mà
• với A, B
  với A, B mà
• với A, B mà B 0
  với A, B mà B 0,
• với A, mà
• với A, mà

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.

Bài 1: Tính:

2. B = +
3. C = 5.+ . +

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. .

1. B = + =

= =  = 3

5. C = 5.+ .+  = 5.  + . +

=  +  +  = 3

Bài 2: Cho biểu thức A =

1. Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
2. Tim giá trị của x để A = .
3. Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A – 9

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện

Với điều kiện đó,  ta có:

b). Để A =  thì  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy  thì A =

c). Ta có P = A – 9 =

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:

Suy ra:  . Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  khi

Bài 3: 1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36

          2) Rút gọn biểu thức   (với )

          3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có :  A =

2) Với x  0, x ¹ 16 ta có :

B =  =

3)  Ta có:  .

Để  nguyên, x nguyên  thì  là ước của 2, mà Ư(2) =

Ta có bảng giá trị tương ứng:

Kết hợp ĐK , để  nguyên thì

Bài 4: Cho biểu thức:  

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.

b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phư­ơng trình P = 2.

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện để P xác định là :;  .

Vậy P =

1. b) ĐKXĐ:

P = 2 = 2

Ta có: 1 +  Þ   Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị  x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).

Bài 5:Cho biểu thức M =

1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
2. Tìm x để M = 5
3. Tìm x Z để M  

HƯỚNG DẪN GIẢI:

M =

a.ĐK          0,5đ

Rút gọn M =

Biến đổi ta có kết quả:  M =

M =

Đối chiếu ĐK:         Vậy x = 16 thì M = 5

1. M =

Do M nên là ­ước của 4   nhận các giá trị: -4;  -2; -1; 1; 2; 4

Lập bảng giá trị ta được:

vì

Bài 6: Cho biểu thức P = ( – )² . ( – ) Với a > 0 và a ≠ 1

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm a để P < 0

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. P = (- )² . ( – ) Với a > 0 và a ≠ 1

Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1

1. Tìm a để P < 0

Với a > 0 và a ≠ 1 nên  > 0

• P = < 0 ó 1 – a < 0 ó a > 1 ( TMĐK)

Bài 7: Cho biểu thức:  Q =  – ( 1 + ) :

1. Rút gọn Q
2. Xác định giá trị của Q khi a = 3b

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. Rút gọn:

Q =  – ( 1 + ) :

=  – .

=  –  =

=  =

1. Khi có a = 3b ta có: Q =  =  =

Bài 8: Cho biểu thức

  a ) Rút gọn A;

16. b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Đkxđ : x > 0 , y > 0

1. a)

1. b) Ta có

Do đó    ( vì xy = 16 )

Vậy min A = 1 khi

Bài 9: Cho biểu thức:

1. a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
2. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với .

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
2. b) Đkxđ :

1. c) Thay vào biểu thức , ta có:

Bài 10: Cho biểu thức:

           P =

1. a) Rút gọn P
2. b) Tìm giá trị của x để P = -1
3. c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. Ta có:

• ĐKXĐ:
• Với x > 0 và   ta có:

P =

( Đk: x9)

Với x > 0 , x  thì P =

1. P = – 1

( ĐK: x > 0,  )

Đặt  đk y > 0

Ta có phương trình:     Các hệ số:  a + b + c = 4- 1-3 =0

( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),    ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)

Với  thì x =  ( thoả mãn đkxđ)

                                                                            Vậy với x = thì P = – 1

1. c) (đk: x > 0; )

( Do 4x  > 0)

• Xét

Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)

( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)

Theo kết quả phần trên ta có :

Kết luận: Với   thì

1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1 Cho biểu thức :

• Tim điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
• Rút gọn biểu thức A .
• Giải phương trình theo x khi A = -2 .

Câu2  Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức .
2. Tính giá trị của  khi

Câu3 Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức A .
2. Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .

Câu4 Cho biểu thức :

1. a) Rút gọn biểu thức A .
2. b) Tính giá trị của A khi x =
3. c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .

Câu 5 Cho biểu thức : A =