Mục lục
- 1 Số nguyên tố 5
- 1.1 Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số có dạng $a^m + b^n + c^p$ . . . . . . . . . . . . . 5
- 1.2 Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng số $A^n$ có $N$ ước số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- 1.3 Tính tổng các ước lẻ của số tự nhiên $N$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- 1.4 Tính tổng tất cả các ước của một số tự nhiên $N$ có chữ số tận cùng là $k$ với $k$ là một chữ số từ 0 đến 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- 1.5 Tìm tổng các ước nguyên tố của số $A$ có dạng $a^m + b^n + c^p$ . . . . . . . . . . . . 5
- 2 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 7
- 2.1 Tìm chữ số thập phân thứ $n$ sau dấu phẩy của tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
- 3 Chữ số tận cùng 8
- 3.1 Tìm hai chữ số tận cùng của số nguyên dương $a^n$ hoặc biểu thức số học chứa các số nguyên dương $a^n$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
- 3.2 Tìm $k$ chữ số tận cùng của tích các số lẻ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
- 3.3 Tìm $k$ chữ số tận cùng của tổng $S_n = \bar{a} + \overline{aa} + \overline{aaa} + \dots + \underbrace{\overline{aa \dots a}}_{n}$ . . . . . . . . 8
- 4 Đa thức 9
- 4.1 Tính giá trị của đa thức bậc ba $f(x)$ tại một điểm cho trước, biết $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện về phép chia đa thức cho hai đa thức bậc hai khác nhau . . . . . . 9
- 4.2 Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại một điểm cho trước, biết $P(x)$ thỏa mãn các điều kiện về phép chia đa thức cho các đa thức khác cùng với một vài giá trị của đa thức tại một số điểm cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
- 4.3 Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại một điểm cho trước, biết các hệ số của $P(x)$ là các số nguyên dương nằm trong khoảng nhất định và giá trị của đa thức tại một điểm khác đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
- 4.4 Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại một điểm cho trước, biết $P(x)$ thỏa mãn một quy luật về các giá trị tại một số điểm cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
- 5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 11
- 5.1 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức, với tử thức và mẫu thức là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
- 5.2 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số có chứa căn thức bậc hai 11
- 5.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng căn bậc hai của một tam thức bậc hai 11
- 6 Số tự nhiên 13
- 6.1 Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất có $n$ chữ số, biết $x$ thỏa mãn một hệ phương trình đồng dư với các số chia khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
- 6.2 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho $n^3$ có $k$ chữ số tận cùng là một số $A$ cho trước 14
- 6.3 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có $n$ chữ số cuối cùng là 1 và chia hết cho một số tự nhiên $k$ cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
- 6.4 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất là bội của $k$ và có $m$ chữ số tận cùng đều là chữ số $d$ . 14
- 6.5 Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất sao cho $\sqrt{an + b} – \sqrt{an + c} < \epsilon$ . . . . . . . . . . . . 14
- 6.6 Tìm số tự nhiên $N$ có $n$ chữ số, sao cho $N$ là luỹ thừa bậc $p$ của một số $B$ có $m$ chữ số, với các chữ số tạo nên số $B$ được lấy từ các vị trí xác định trong chính số $N$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 6.7 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện về các chữ số đầu và chữ số cuối của $n^k$, với $k$ là một số nguyên dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 6.8 Tìm số chính phương $N$ có $k$ chữ số biết khi chia $N$ cho tổng các chữ số của nó được thương là $q$ và số dư là $r$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 6.9 Cho các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$. Tìm số tự nhiên $m$ lớn nhất sao cho khi chia các số này cho $m$ thì đều nhận được cùng một số dư . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 6.10 Tìm số nguyên $n$ sao cho $n + a = x^2$ và $n + b = y^2$ . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 6.11 Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $An^2 + Bn + C = k^2$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- 6.12 Tìm các chữ số chưa biết $a, b, \dots$ trong số $N$ để $N$ chia hết cho một số $M$ cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
- 6.13 Tìm các số tự nhiên có $n$ chữ số $\overline{a_1 a_2 \dots a_n}$ sao cho số đó bằng một hàm số $f$ của các chữ số của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
- 6.14 Tìm cặp $(x, y)$ sao cho số $N$ được xác định bởi công thức và có tính chất $\mathcal{P}$ . . . 16
- 6.15 Đếm số các số tự nhiên trong một khoảng cho trước thỏa mãn các điều kiện về số chữ số và tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
- 7 Hình học 17
- 7.1 Các bài toán sử dụng công thức hình học cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
- 7.2 Các bài toán về hình học phẳng tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
- 7.3 Các bài toán hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
- 8 Số dư 21
- 8.1 Tìm số dư của một tích các số nguyên liên tiếp khi chia cho một tích khác của các số nguyên liên tiếp có chứa một số hạng chung . . . . . . . . . . . . . . . . 21
- 8.2 Tìm số dư khi chia số $A = \sum_{n=1}^k n^{n+1}$ cho một số nguyên $m$ . . . . . . . . . . . 21
- 8.3 Tìm số dư khi chia số $A = (a + \sqrt{b})^n + (a – \sqrt{b})^n$ cho số nguyên $M$ . . . . . . . . 21
- 8.4 Tìm số dư trong phép chia $a^b$ cho $m$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
- 9 Dãy số 22
- 9.1 Các hệ số không phụ thuộc vào $n$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
- 9.2 Ít nhất một trong các hệ số phụ thuộc vào $n$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
- 10 Phương trình nghiệm nguyên 23
- 10.1 Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình đa thức $P(x, y) = c$ 23
- 10.2 Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình có dạng $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
- 11 Giá trị biểu thức 24
- 11.1 Biến đổi biểu thức có chứa căn thức về dạng $A\sqrt{P} + B\sqrt{Q}$ . . . . . . . . . . . . 24
- 11.2 Tính giá trị của tích các số nguyên liên tiếp cách đều nhau . . . . . . . . . . . . 24
- 11.3 Tính tổng các chữ số của một số nguyên dương $a^n$ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
- 11.4 Tính tổng của dãy số, mỗi số hạng có tử số là 1 và mẫu số là tích của ba số chẵn liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
- 11.5 Tính tổng của dãy số, mỗi số hạng là hàm sàn hoặc hàm trần của căn bậc hai của một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
- 11.6 Tính tổng của một dãy số, mỗi số hạng là căn bậc hai của $1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}$ . . . . 25
- 12 Phương trình 26
- 12.1 Tính giá trị của tổng lũy thừa bậc cao của các nghiệm của một phương trình đa thức bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
- 12.2 Phương trình đa thức với các hệ số là số hữu tỉ hoặc số nguyên và một nghiệm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
- 12.3 Cho $x$ thỏa mãn một phương trình. Tính giá trị của đa thức $P(x)$ . . . . . . . . 26
- 12.4 Phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
- 12.5 Phương trình $f(x, y) = g(x, y)$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
- 13 Liên phân số 28
- 13.1 Biểu diễn phân số thành liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
- 14 Hình học tọa độ 29
- 14.1 Giao điểm của đường thẳng và đường cong Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . 29
- 15 Hàm sàn, Hàm trần 30
- 15.1 Tìm $k$ chữ số cuối cùng của số nguyên lớn nhất không vượt quá $A = (a + b\sqrt{c})^n$ 30
Chương 1
Số nguyên tố
- 1.1 Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số có dạng $a^m + b^n + c^p$ . . . . . . 5
- 1.2 Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng số $A^n$ có $N$ ước số . . . . . . . . . . . . 5
- 1.3 Tính tổng các ước lẻ của số tự nhiên $N$ . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- 1.4 Tính tổng tất cả các ước của một số tự nhiên $N$ có chữ số tận cùng là $k$ với $k$ là một chữ số từ 0 đến 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- 1.5 Tìm tổng các ước nguyên tố của số $A$ có dạng $a^m + b^n + c^p$ . . . . . 5
1.1 Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số có dạng $a^m + b^n + c^p$
[2013] Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số $303265^2 + 307852^2 + 31047^2$.
[2016] Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số $3689^3 + 9478777^2$.
1.2 Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng số $A^n$ có $N$ ước số
[2013] Tìm số tự nhiên $n$ biết $83151900^n$ có $5267025$ ước số.
1.3 Tính tổng các ước lẻ của số tự nhiên $N$
[2016] Tính tổng các ước lẻ của số $21077548$.
[2017] Tính tổng các ước lẻ của số $722311904$.
1.4 Tính tổng tất cả các ước của một số tự nhiên $N$ có chữ số tận cùng là $k$ với $k$ là một chữ số từ 0 đến 9
[2018] Tính tổng tất cả các ước của số $71500021$ có chữ số tận cùng là 7.
1.5 Tìm tổng các ước nguyên tố của số $A$ có dạng $a^m + b^n + c^p$
[2021] Tìm tổng tất cả các ước nguyên tố của số $A = 8533^2 + 6307^3 + 10759^2$.
[2023] Tính tổng các ước nguyên tố của số $A = 18343^3 + 98774^4 + 4233^5$.
[2025] Tính tổng các ước nguyên tố của số $1994096512$.
Chương 2
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
2.1 Tìm chữ số thập phân thứ $n$ sau dấu phẩy của tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn
[2013] Tìm chữ số thập phân thứ 2013 sau dấu phẩy của số $A = 2,(085) + 1,2(915)$.
[2021] Tìm chữ số thập phân thứ 2021 sau dấu phẩy của số $A = 2,31(25) + 1,2(125)$.
Chương 3
Chữ số tận cùng
- 3.1 Tìm hai chữ số tận cùng của số nguyên dương $a^n$ hoặc biểu thức số học chứa các số nguyên dương $a^n$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
- 3.2 Tìm $k$ chữ số tận cùng của tích các số lẻ liên tiếp . . . . . . . . . . 8
- 3.3 Tìm $k$ chữ số tận cùng của tổng $S_n = \bar{a} + \overline{aa} + \overline{aaa} + \dots + \bar{a}\dots\bar{a}$ . . 8
3.1 Tìm hai chữ số tận cùng của số nguyên dương $a^n$ hoặc biểu thức số học chứa các số nguyên dương $a^n$
[2013] Tìm hai chữ số tận cùng của số $19^{2013}$.
[2015] Tìm hai chữ số tận cùng của tích $P = 73^{2014} \cdot 37^{2015}$.
[2016] Tìm hai chữ số tận cùng của $P = 23^{2015} + 47^{2016}$.
[2020] Tìm hai chữ số tận cùng của số $A = 3^{2019} + 3^{2020} + 3^{2021}$.
3.2 Tìm $k$ chữ số tận cùng của tích các số lẻ liên tiếp
[2014] Tìm ba chữ số tận cùng của tích $P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 2013 \cdot 2015$.
3.3 Tìm $k$ chữ số tận cùng của tổng $S_n = \bar{a} + \overline{aa} + \overline{aaa} + \dots + \overline{aa \dots a}$
[2018] Cho $M = 7 + 77 + 777 + 7777 + \dots + 77 \dots 77$ (có 2018 số hạng) và $N = 3 – 33 + 333 – 3333 + \dots + 33 \dots 33$ (có 2017 số hạng). Tìm ba chữ số tận cùng của tích $M \cdot N$.
Chương 4
Đa thức
4.1 Tính giá trị của đa thức bậc ba $f(x)$ tại một điểm cho trước, biết $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện về phép chia đa thức cho hai đa thức bậc hai khác nhau
[2013] Cho đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(x)$ chia cho $x^2 + 1$ dư $2x – 3$, chia cho $x^2 + 2x$ dư $-3x + 2$. Tính $f(2013)$.
[2021] Tìm đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(x)$ chia cho $x^2 – x + 2$ dư $2x – 1$, chia cho $x^2 + x$ dư $16x – 3$. Tính $f(2021)$.
[2022] Tìm đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(x)$ chia cho $x^2 – x + 3$ dư $2x – 5$, chia cho $x^2 + x + 1$ dư $16x – 1$. Tính $f(2022)$.
[2023] Cho đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(x)$ chia cho $3x^2 – x – 1$ dư $5x – 7$, chia cho $2x^2 + x$ dư $8x – 6$. Tính $f(2023)$.
[2024] Xét đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(x)$ chia cho $2x^2 – x + 1$ dư $5x + 2$, chia cho $x^2 + x + 1$ dư $14x + 12$. Tính $f(2024)$.
4.2 Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại một điểm cho trước, biết $P(x)$ thỏa mãn các điều kiện về phép chia đa thức cho các đa thức khác cùng với một vài giá trị của đa thức tại một số điểm cụ thể
[2014] Cho đa thức bậc năm $P(x)$ có hệ số bậc năm là 3 thỏa $P(x)$ chia hết cho $(x^2 + 1)$, $P(0) = -1$, $P(1) = 4$, $P(2) = 85$. Tìm dư khi chia $P(100)$ cho $P(5)$.
[2017] Cho $P(x)$ là một đa thức bậc bốn thỏa các điều kiện: $P(x)$ chia cho $(x^2 + 1)$ dư $2x – 1$; $P(x)$ chia cho $(x^2 + 2)$ dư $3x – 1$ và $P(1) = 2015$. Tính $P(2)$.
[2019] Cho đa thức bậc bốn $P(x)$ biết $P(x)$ chia hết cho $x^2 – 1$, $P(x)$ chia cho $(x^2 + 2)$ dư $3x – 1971$ và $P(2) = 2019$. Tính $P(5)$.
4.3 Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại một điểm cho trước, biết các hệ số của $P(x)$ là các số nguyên dương nằm trong khoảng nhất định và giá trị của đa thức tại một điểm khác đã biết
[2015] Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn 5, thỏa mãn điều kiện $P(5) = 259$. Tính $P(2015)$.
4.4 Tính giá trị của đa thức $P(x)$ tại một điểm cho trước, biết $P(x)$ thỏa mãn một quy luật về các giá trị tại một số điểm cụ thể
[2016] Đa thức bậc năm $P(x)$ có hệ số cao nhất là $-1$ và $P(k) = 2k^2 – k$ với $k = 1, 2, 3, 4, 5$. Tính $P(15)$.
[2018] Cho $P(x)$ là một đa thức bậc ba có $P(1) = \frac{1}{2}; P(2) = \frac{2}{3}; P(3) = \frac{3}{4}; P(4) = \frac{4}{5}$. Tính chính xác giá trị của $P(39)$.
[2020] Cho đa thức bậc năm $P(x)$ có hệ số bậc cao nhất (bậc 5) là 2 thỏa $P(k) = k(k – 1)$ với $k = 1, 2, 3, 4, 5$. Tính $P(5)$.
[2021] Cho đa thức bậc ba $P(x)$ có $P(k) = \frac{k}{3k-1}, k = 1, 2, 3, 4$. Tính $P(24)$.
[2025] Cho đa thức $g(x) = 8x^3 – 23x^2 + 19x + 43$ và đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho $f(1) = g(1)$; $f(2) = \frac{1}{2}g(2)$; $f(3) = \frac{1}{3}g(3)$; $f(4) = \frac{1}{4}g(4)$. Tính $f(5)$.
Chương 5
Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
5.1 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức, với tử thức và mẫu thức là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai
[2013] Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{2,5x-3,2}{0,2x^2+1,9}$.
[2014] Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{1,4x-5,3}{3,7x^2+0,2x+\sqrt{3}}$.
[2018] Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{2,3x^2-3,4x+5,6}{0,3x^2+1,9}$.
5.2 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số có chứa căn thức bậc hai
[2016] Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân) giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1,2x+5,9}{\sqrt{2,3x-7,4}}$.
[2019] Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân) giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{\sqrt{3,7x-8,2}}{1,2x+2,3}$.
5.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng căn bậc hai của một tam thức bậc hai
[2017] Tìm giá trị nhỏ nhất (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) của biểu thức: $A = \sqrt{2,3x^2 – (\sqrt{5} + 0,4)x + (4 + 3\sqrt{2})^2}$.
[2022] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt{2,9x^2 – \sqrt{3}x + 17,4}$.
Chương 6
Số tự nhiên
6.1 Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất có $n$ chữ số, biết $x$ thỏa mãn một hệ phương trình đồng dư với các số chia khác nhau
[2013] Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất có 11 chữ số biết $x$ chia cho 13 dư 3, chia cho 37 dư 3 và chia cho 29 dư 4.
[2014] Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất có 11 chữ số biết $x$ chia cho 17 dư 3, chia cho 23 dư 1 và chia cho 29 dư 4.
[2015] Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất có 10 chữ số, biết $x$ chia cho 19 dư 1, chia cho 23 dư 21 và chia cho 41 dư 34.
[2016] Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất có 10 chữ số, biết $x$ chia cho 17 dư 5, chia cho 29 dư 11 và chia cho 43 dư 25.
6.2 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho $n^3$ có $k$ chữ số tận cùng là một số $A$ cho trước
[2014] Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là 0824.
[2016] Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là bốn chữ số 1.
[2017] Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là bốn chữ số 8.
[2018] Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là 0824.
6.3 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có $n$ chữ số cuối cùng là 1 và chia hết cho một số tự nhiên $k$ cho trước
[2015] Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có tận cùng tám chữ số 1 chia hết cho 17.
6.4 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất là bội của $k$ và có $m$ chữ số tận cùng đều là chữ số $d$
[2020] Tìm bội số nhỏ nhất của 2019 có tận cùng là bảy chữ số 1.
6.5 Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất sao cho $\sqrt{an + b} – \sqrt{an + c} < \epsilon$
[2015] Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất sao cho $\sqrt{5n} – \sqrt{5n – 4} < 0,01$.
6.6 Tìm số tự nhiên $N$ có $n$ chữ số, sao cho $N$ là luỹ thừa bậc $p$ của một số $B$ có $m$ chữ số, với các chữ số tạo nên số $B$ được lấy từ các vị trí xác định trong chính số $N$
[2016] Tìm số tự nhiên $\overline{abcde}$ biết $\overline{abcde} = (db)^3$.
[2021] Tìm các số có 4 chữ số $\overline{abcd}$ biết số $\overline{773abcd9}$ là một số chính phương.
6.7 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện về các chữ số đầu và chữ số cuối của $n^k$, với $k$ là một số nguyên dương
[2017] Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất biết $n^2$ có hai chữ số đầu là 98 và hai chữ số cuối là 89.
[2020] Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất mà $n^3$ bắt đầu bởi số 10 và kết thúc bằng số 43 ($n^3 = 10 \dots 43$).
6.8 Tìm số chính phương $N$ có $k$ chữ số biết khi chia $N$ cho tổng các chữ số của nó được thương là $q$ và số dư là $r$
[2019] Tìm số chính phương có ba chữ số biết rằng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 64 và dư là 9.
6.9 Cho các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$. Tìm số tự nhiên $m$ lớn nhất sao cho khi chia các số này cho $m$ thì đều nhận được cùng một số dư
[2018] Tìm số tự nhiên $Q$ lớn nhất sao cho khi chia các số $A = 8381947; B = 83814526; C = 838147105$ cho $Q$ thì ta được cùng một số dư.
[2022] Tìm số tự nhiên $m$ lớn nhất sao cho khi chia lần lượt các số 208209, 438603, 725585 cho $m$ có cùng một số dư.
[2024] Tìm số tự nhiên $N$ lớn nhất mà khi chia các số $a = 379327840, b = 3928167, c = 324059827$ cho $N$ thì ta được cùng một số dư.
6.10 Tìm số nguyên $n$ sao cho $n + a = x^2$ và $n + b = y^2$
[2018] Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $n + 1930$ và $n + 2539$ đều là số chính phương.
6.11 Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $An^2 + Bn + C = k^2$
[2022] Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $\sqrt{n^2 + 6n + 2022}$ là số nguyên.
[2023] Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n^2 + 2023}$ cũng là số tự nhiên.
6.12 Tìm các chữ số chưa biết $a, b, \dots$ trong số $N$ để $N$ chia hết cho một số $M$ cho trước
[2019] Cho số $\overline{2354ab241}$ chia hết cho 99. Tính $a^2 + b^2$.
[2023] Cho số $B = 111 \dots 111 * 333 \dots 333$ (với $*$ là một chữ số nào đó), trong đó có 10 chữ số 1 ở bên trái dấu $*$ và 10 chữ số 3 ở bên phải dấu $*$. Tìm giá trị của chữ số $*$ để $B$ chia hết cho 7.
[2024] Xác định $a, b$ biết $\overline{274a369b6}$ chia hết cho 2024.
[2025] Biết số $\overline{72a76765}$ chia hết cho 2025. Tính $a^2 + b^2$?
6.13 Tìm các số tự nhiên có $n$ chữ số $\overline{a_1 a_2 \dots a_n}$ sao cho số đó bằng một hàm số $f$ của các chữ số của nó
[2019] Tính tổng tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số $\overline{abc}$ với $\overline{abc} = c^5 + 20(a + b + c)$.
[2021] Tìm tất cả các số có ba chữ số $\overline{abc}$ biết rằng $\overline{abc} = a^2 + 2b^2 + 19c^2$.
[2022] Tìm các số có 3 chữ số $\overline{abc}$ sao cho $\overline{abc} = a^3 + b^3 + 4c$.
6.14 Tìm cặp $(x, y)$ sao cho số $N$ được xác định bởi công thức và có tính chất $\mathcal{P}$
[2023] Gọi $(x, y)$ là các cặp chữ số sao cho $N = \overline{4xy} + x^2$ là một số chính phương. Tìm giá trị lớn nhất của $x + y$.
6.15 Đếm số các số tự nhiên trong một khoảng cho trước thỏa mãn các điều kiện về số chữ số và tính chia hết
[2024] Gọi $m$ là số các số tự nhiên chia hết cho 2 (mỗi số có 4 chữ số); $n$ là số các số tự nhiên chia hết cho 3 (mỗi số có 5 chữ số); $p$ là các số tự nhiên chia hết cho 7 (mỗi số có 6 chữ số). Tính $m + n + p$.
[2025] Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số và không chia hết cho 3.
a) Hỏi tập hợp $S$ có bao nhiêu số?
b) Tính tổng tất cả các số thuộc $S$?
Chương 7
Hình học
7.1 Các bài toán sử dụng công thức hình học cơ bản
[2013] Cho tam giác $ABC$ có góc $\hat{C} = 56^\circ$, đường cao $BH = 2,9$, trung tuyến $AM = 3,5$. $BH$ cắt $AM$ tại $I$. Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) độ dài các đoạn thẳng $AB, BC, CA, IA, IB, IC$.
[2014] Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 4,2; BC = 7,2; CA = 6,5$. Đường trung tuyến $AM$ cắt phân giác $BD$ tại $I$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy) độ dài $IA, IB$, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$, diện tích tứ giác $CDIM$.
[2015] Cho $\triangle ABC$ có $AB = 3,5, BC = 4,9, CA = 5,7$, đường cao $BH$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $MC = 2MB$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BH$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy) độ dài $IA, IB$, bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $IBM$.
[2016] Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3,7, BC = 5,2, CA = 4,8$. Đường cao $BH$ cắt trung tuyến $AM$ tại $I$.
a) Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân) $IA, IB, IC$, bán kính đường tròn ngoại tiếp $IBM$.
b) Đường tròn ngoại tiếp $\triangle IBM$ cắt $AB$ tại $J$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân) $AJ$.
[2017] Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2,9; BC = 4,1$ và $CA = 3,6$. Trên các cạnh $AB, BC, CA$ lần lượt lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $AD = 1,4; BE = 1,8$ và $CF = 1,2$. $AE$ cắt $DF$ tại $M$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy):
a) Diện tích tam giác $DEF$.
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DEF$.
c) Độ dài đoạn thẳng $MD$.
[2018] Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB = 5,7; BC = 8,3; CA = 7,6$. Đường trung tuyến $AM$ cắt phân giác $BD$ tại $I$. Tính (chính xác đến 2 chữ số thập phân):
a) $IA, IB, IC$.
b) Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$.
c) Bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $CDM$.
d) Diện tích $S$ của tứ giác $CDIM$.
[2019] Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, C$ nhọn; $BC = 3,5$; đường cao $BH = 2,7$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,8. Gọi $K$ là giao điểm của $BH$ và trung tuyến $AM$. Tính (chính xác đến 2 chữ số thập phân):
a) Độ dài các cạnh $AB, AC$ và trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$.
b) Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$.
c) Diện tích $S$ của tứ giác $CHKM$.
[2021] Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4,7$, trung tuyến $AM = 5,4$ và đường cao $BH = 3,7$. Gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $BH$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân):
a) Độ dài các đoạn $AC, BC, OA$.
b) Diện tích $S$ của tam giác $BMO$.
c) Bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $BMO$.
[2023] Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2,2$ cm, $AC = 3,2$ cm, $BC = 2,8$ cm. Đường cao $BH$ và phân giác trong $AD$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $K$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy):
a) Độ dài các đoạn thẳng $AK, CK$.
b) Diện tích tam giác $CKD$.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKD$.
[2025] Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4,9; BC = 7,2; CA = 6,8$; đường cao $BH$ và phân giác trong $AD$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $BH$. Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
a) Độ dài các đoạn thẳng $BH, AD, HD$.
b) Diện tích tam giác $BFD$.
7.2 Các bài toán về hình học phẳng tổng hợp
[2017] Cho tam giác $ABC$ có $BC = 15; CA = 17$ và $AB = 14$. Hình vuông $MNPQ$ có $M$ và $N$ thuộc cạnh $BC$; $P$ và $Q$ lần lượt thuộc cạnh $AB$ và $AC$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy):
a) Diện tích hình vuông $MNPQ$.
b) Khoảng cách từ $A$ đến tâm $O$ của hình vuông $MNPQ$.
[2024] Có 15 quả bi-a hình cầu có cùng bán kính nằm trên mặt bàn sao cho chúng được dồn khít trong một khung hình tam giác đều có chu vi bằng 834 mm. Tính bán kính của mỗi quả bi-a (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
[2024] Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 3,7 cm. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 1,8$ cm, $BN = 2,8$ cm. Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $DM$. Tính $IA, IB, IC, ID$ và diện tích tam giác $IDN$ (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
[2024] Tính (chính xác đến 3 chữ số thập phân) diện tích phần tô đen, biết hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $AB = 4$ cm, $BC = 8$ cm và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với ba cạnh của hình chữ nhật.
[2025] Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng 6. Vẽ ba đường tròn có tâm lần lượt là $A, B, C$ và có cùng bán kính bằng 3. Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
a) Diện tích hình phẳng nằm trong tam giác $ABC$ và nằm ngoài ba đường tròn trên.
b) Diện tích hình tròn tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn trên.
[2025] Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 2025. Vẽ bốn đường tròn có tâm lần lượt là $A, B, C, D$ và có cùng bán kính bằng 2025. Tính diện tích $S$ (phần gạch sọc)? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
7.3 Các bài toán hình học giải tích
[2020] Cho tam giác $ABC$ có 3 đường trung tuyến $AM = 4,3; BN = 2,7; CP = 3,9$ và $G$ là trọng tâm. Tính (chính xác đến 2 chữ số thập phân):
a) Độ dài các cạnh $AB, AC$ của tam giác $ABC$.
b) Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BGC$.
c) Bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$.
[2022] Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = 9,8$. Quay tam giác $ABC$ quanh đỉnh $A$ một góc $36^\circ$ theo chiều kim đồng hồ, ta được tam giác $ADE$. Tính (chính xác đến 2 chữ số thập phân):
a) Độ dài các đoạn thẳng $AM, BM$.
b) Diện tích tứ giác $AMNP$.
Chương 8
Số dư
8.1 Tìm số dư của một tích các số nguyên liên tiếp khi chia cho một tích khác của các số nguyên liên tiếp có chứa một số hạng chung
[2014] Cho $A = 2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014$ và $B = 2014 \cdot 2015$. Tìm số dư khi chia $A$ cho $B$.
[2024] Cho $A = 2018 \cdot 2019 \cdot 2020 \cdot 2021 \cdot 2022 \cdot 2023$ và $B = 2023 \cdot 2024$. Tìm số dư khi chia $A$ cho $B$.
8.2 Tìm số dư khi chia số $A = \sum_{n=1}^k n^{n+1}$ cho một số nguyên $m$
[2023] Tìm số dư khi chia số $A = 1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 + \dots + 10^{11}$ cho số 19.
8.3 Tìm số dư khi chia số $A = (a + \sqrt{b})^n + (a – \sqrt{b})^n$ cho số nguyên $M$
[2015] Tìm dư khi chia số $A = (2 + \sqrt{3})^{37} + (2 – \sqrt{3})^{37}$ cho 2015.
[2017] Tìm dư khi chia số $(2 + \sqrt{3})^{24} + (2 – \sqrt{3})^{24}$ cho 2017.
[2022] Tìm dư khi chia số $(2 + \sqrt{3})^{28} + (2 – \sqrt{3})^{28}$ cho 2022.
8.4 Tìm số dư trong phép chia $a^b$ cho $m$
[2020] Tìm số dư khi chia số $23^{2020}$ cho 2019.
[2021] Tìm dư trong phép chia $7^{2020} : 2021$.
[2022] Tìm dư trong phép chia $2023^{2022} : 2021$.
Chương 9
Dãy số
9.1 Các hệ số không phụ thuộc vào $n$
[2014] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 2$ và $x_n = -x_{n-1} + x_{n-2} + n^2$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 3$). Tính $x_{29}, \dots$
[2015] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 2$ và $x_n = -3x_{n-1} + 2x_{n-2} + n^3 + 2n$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 3$). Tính (ghi kết quả chính xác): $x_{18}, x_{19}, x_{20}, \dots$
[2016] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 3$ và $x_n = 2x_{n-1} – 3x_{n-2} + n^2$ ($n \ge 3$). Tính (ghi kết quả chính xác): $x_{39}, x_{40}, x_{41}, \dots$
[2023] Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = 1, u_2 = 2$ và $u_n = 2u_{n-1} + 3u_{n-2} + n^2$ ($n \ge 3$). Tính $u_{20}, u_{21}, u_{22}, \dots$
[2024] Cho dãy số $(un)$ biết $u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 3$ và $u_n = 2u_{n-1} + 3u_{n-2} – u_{n-3} + n^3$ ($n \ge 4$). Tính chính xác: $u_{30}, u_{31}, u_{32}, \dots, u_{39}$.
[2025] Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 3$ và $u_n = 3u_{n-1} + 4u_{n-2} + 2u_{n-3} + n^3$ ($n \ge 4$). Tính (ghi kết quả chính xác): $u_{18}, u_{19}, \dots$
9.2 Ít nhất một trong các hệ số phụ thuộc vào $n$
[2017] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 2$ và $x_n = nx_{n-1} – x_{n-2}$ ($n \ge 3$). Tính (ghi kết quả chính xác): $x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{15}, \dots$
[2018] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 2$ và $x_n = nx_{n-1} – x_{n-2} + n^2$ ($n \ge 3$). Tính (ghi kết quả chính xác): $x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{15}, \dots$
[2019] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 1$ và $x_n = x_{n-1} – nx_{n-2} + 2n^2$ ($n \ge 3$). Tính (ghi kết quả chính xác): $x_{18}, x_{19}, x_{20}, \dots$
[2020] Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $x_1 = 1, x_2 = 1$ và $x_n = 2x_{n-1} – nx_{n-2} + n^2$ ($n \ge 3$). Tính (ghi kết quả chính xác): $x_{20}, x_{21}, x_{22}, \dots$
Chương 10
Phương trình nghiệm nguyên
10.1 Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình đa thức $P(x, y) = c$
[2015] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn phương trình: $3x^2 + xy + 2y^5 = 35362$
[2018] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $4x^2(2x + 3y^2) + y^4(6x + y + y^2) = 3193330$
[2019] Cho hai số tự nhiên $x, y$ thỏa mãn $y^3 = x^3 + 2x^2y + 11xy + 11x^2$. Biết $y$ có hai chữ số, tìm giá trị lớn nhất của $y$.
[2021] Tìm các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn phương trình: $x^3 + 3xy^2 + y^2 = 144861$
10.2 Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình có dạng $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$
[2016] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn phương trình: $x^2 + 2y = y^2 + 8x + 874$
[2020] Tìm tất cả cặp số nguyên $x, y$ thỏa mãn $5x^2 + 5y^2 + 2x + 6y = 3794$.
Chương 11
Giá trị biểu thức
11.1 Biến đổi biểu thức có chứa căn thức về dạng $A\sqrt{P} + B\sqrt{Q}$
[2013] Tìm các số hữu tỉ $a, b$ (ghi kết quả dưới dạng phân số) biết:
$$\frac{17}{3\sqrt{7} + 2\sqrt{11}} + \frac{25}{4\sqrt{7} + 3\sqrt{11}} = a\sqrt{7} + b\sqrt{11}$$
11.2 Tính giá trị của tích các số nguyên liên tiếp cách đều nhau
[2015] Tính chính xác kết quả của tích sau: $2011 \cdot 2013 \cdot 2015 \cdot 2017 \cdot 2019$.
11.3 Tính tổng các chữ số của một số nguyên dương $a^n$
[2017] Tính tổng các chữ số của số $43^7$.
11.4 Tính tổng của dãy số, mỗi số hạng có tử số là 1 và mẫu số là tích của ba số chẵn liên tiếp
[2020] Cho biết
$$\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6} + \frac{1}{4 \cdot 6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{2018 \cdot 2020 \cdot 2022} = \frac{A}{B}$$
(là phân số tối giản). Tính $A + B$.
11.5 Tính tổng của dãy số, mỗi số hạng là hàm sàn hoặc hàm trần của căn bậc hai của một số nguyên
[2022] Tính giá trị của biểu thức sau:
$$\lfloor\sqrt{101}\rfloor + \lfloor\sqrt{102}\rfloor + \lfloor\sqrt{103}\rfloor + \dots + \lfloor\sqrt{2022}\rfloor$$
[2025] Tính $S = \lceil\sqrt[3]{1}\rceil + \lceil\sqrt[3]{2}\rceil + \dots + \lceil\sqrt[3]{2025}\rceil$.
Kí hiệu $\lceil x \rceil$ là số nguyên nhỏ nhất mà lớn hơn hoặc bằng $x$, chẳng hạn: $\lceil 1,4 \rceil = 2; \lceil 1,6 \rceil = 2; \lceil 3 \rceil = 3$
11.6 Tính tổng của một dãy số, mỗi số hạng là căn bậc hai của $1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}$
[2023] Cho biết giá trị của biểu thức:
$$\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2022^2} + \frac{1}{2023^2}} = \frac{a}{b}$$
với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản; $a, b \in \mathbb{N}^*$. Tính $a + b$.
Chương 12
Phương trình
12.1 Tính giá trị của tổng lũy thừa bậc cao của các nghiệm của một phương trình đa thức bậc cao
[2014] Biết $x_1, x_2, x_3, x_4$ là 4 nghiệm của phương trình $x^4 + x^3 – 7x^2 – 4x + 6 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $S = x_1^{10} + x_2^{10} + x_3^{10} + x_4^{10}$.
[2015] Biết $x_1, x_2, x_3, x_4$ là 4 nghiệm của phương trình: $3x^4 – 10x^3 – x^2 + 4x + 1 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $S = x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 + x_4^7$ (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
12.2 Phương trình đa thức với các hệ số là số hữu tỉ hoặc số nguyên và một nghiệm vô tỉ
[2019] Biết phương trình $x^5 + ax^2 + bx – 1 = 0$ có một nghiệm là $x = 1 – \sqrt{2}$ và $a, b$ đều là những số nguyên. Tính $a^2 + b^2$.
[2022] Biết phương trình $x^3 + ax^2 + bx + 22 = 0$ ($a, b \in \mathbb{Q}$) có ba nghiệm thực là $x_1 = \sqrt[3]{2022 + \sqrt{4043}} – \sqrt[3]{2022 – \sqrt{4043}}, x_2, x_3$. Tính: $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4$.
12.3 Cho $x$ thỏa mãn một phương trình. Tính giá trị của đa thức $P(x)$
[2019] Tính giá trị của biểu thức $2x^4 – 5x^3 – 10x^2 + 14x + 13$ biết $\frac{x+1}{x^2-x+1} = \frac{1}{2}$
[2025] Biết nghiệm của phương trình: $\frac{0,23x-2,35}{3,7-6,9x} = \frac{0,19x+3,41}{2,9-5,7x}$ là $x = \frac{m}{n}$ với $m, n \in \mathbb{N}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $m + n$.
12.4 Phương trình vô tỉ
[2021] Tìm nghiệm gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân) của phương trình: $\sqrt{2,7x – 3,4} = 4,5 – 1,9x$
12.5 Phương trình $f(x, y) = g(x, y)$
[2023] Gọi $x, y$ là hai số thỏa mãn phương trình: $x\sqrt{2021y – 1} + y\sqrt{2023x – 1} = 2022xy$. Tính giá trị của biểu thức $C = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{4}{xy}$.
Chương 13
Liên phân số
13.1 Biểu diễn phân số thành liên phân số
[2017] Cho biết
$$\frac{210}{5689} = \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}}$$
với $x, y, z$ là các số tự nhiên. Tính giá trị của biểu thức $A = (x – y)(y – z)(z – x)$.
Chương 14
Hình học tọa độ
14.1 Giao điểm của đường thẳng và đường cong Parabol
[2020] Trong hệ trục $Oxy$, tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng
$$d : y = \frac{2,9 – \sqrt{2}}{3,1 – \sqrt{3}}x + \frac{1,2 – \sqrt{3}}{0,6 + \sqrt{2}}$$
và parabol $P : y = \sqrt{1,2}x^2$ (ghi chính xác đến 2 chữ số thập phân).
Chương 15
Hàm sàn, Hàm trần
15.1 Tìm $k$ chữ số cuối cùng của số nguyên lớn nhất không vượt quá $A = (a + b\sqrt{c})^n$
[2024] Gọi $A$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $(2 + \sqrt{3})^{32}$. Tìm ba chữ số cuối của $A$.
