Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\).

Để lập phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với d và đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), ta thực hiện:

Bước 1: Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chính là vecto chỉ phương của d:

\(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{u_d}}  = (A;B;C)\).

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến:

\(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\).

Ví dụ minh hoạ:

Lập phương trình tổng quát của (P) đi qua điểm K(0;-3;4) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 4}}{{ – 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 7}}{2}\).

Giải:

Đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương \(\vec u = \left( { – 1;3;2} \right)\).

Vì \(\left( P \right) \bot \Delta \) nên \(\vec u = \left( { – 1;3;2} \right)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\( – 1\left( {x – 0} \right) + 3\left( {y + 3} \right) + 2\left( {z – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  – x + 3y + 2z + 1 = 0\).