Công thức tính góc trong không gian – Từ điển Toán 12 Cách tính góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ – Toán 12
Cách tính góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ
1. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n’} = (A’;B’;C’)\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:
\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n’} } \right|}} = \frac{{\left| {AA’ + BB’ + CC’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}\).
Lưu ý:
+ \({0^o} \le \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) \le {90^o}\).
+ Nếu \((\alpha )\)//\((\beta )\) hoặc \((\alpha ) \equiv (\beta )\) thì \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {0^o}\).
+ \((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {90^o}\).
2. Ví dụ minh hoạ
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: :\((\alpha )\) \(2x + 2y – 4z + 1 = 0\) và \((\beta )\): \(x – z – 5 = 0\).
Giải:
Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (2;2; – 4)\) và \(\overrightarrow {n’} = (1;0; – 1)\).
Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n’} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + ( – 4).( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( – 4)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {30^o}\).
