Cách 1:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \). Khi đó:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

b) \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Cách 2:

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình lần lượt là:

\({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\) (I).

Khi đó:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) \({\Delta _1}\) // \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

c) \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

1) Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) \({\Delta _1}:2x – y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: – x + 2y + 2 = 0\).

b) \({\Delta _3}:x – y – 1 = 0\) và \({\Delta _4}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 + 2t}\end{array}} \right.\).

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u_1} = (1;2)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u_2} = ( – 2; – 1)\).

Do \(\frac{1}{{ – 2}} \ne \frac{2}{{ – 1}}\) nên \({\overrightarrow u_1}\), \({\overrightarrow u_2}\) không cùng phương, suy ra \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _3}\), \({\Delta _4}\) lần lượt có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u_3} = (1;1)\), \({\overrightarrow u_4} = (2;2)\). Suy ra \({\overrightarrow u_4} = 2{\overrightarrow u_3}\). Chọn \(t = 0\), ta có điểm \(M(1;3) \in {\Delta _4}\). Do \(1 – 3 – 1 \ne 0\) nên \(M(1;3) \notin {\Delta _3}\).

Vậy \({\Delta _3}\) song song với \({\Delta _4}\).

2) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:x – 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x – 4y + 2 = 0\).

Toạ độ giao điểm của đường thẳng \({\Delta _1}\) và đường thẳng \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 2y + 1 = 0}\\{2x – 4y + 2 = 0.}\end{array}} \right.\)

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vô số điểm chung, tức là \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\).

3) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:2x + y – 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x – 2 = 0\);

b) \({\Delta _1}:2x + y – 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x – y – 1 = 0\);

c) \({\Delta _1}:2x + y – 2 = 0\) và \({\Delta _2}:4x + 2y + 3 = 0\);

d) \({\Delta _1}:2x + y – 2 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = 2 – 6t}\end{array}} \right.\);

e) \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 – 2t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t’}\\{y = t’}\end{array}} \right.\)

Giải:

a) \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n_1} = (2;1)\) và \({\overrightarrow n_2} = (1;0)\).

Ta có: \({a_1}{b_2} – {a_2}{b_1} = 2.0 – 1.1 =  – 1 \ne 0\), suy ra \({\overrightarrow n_1}\) và \({\overrightarrow n_2}\) là hai vectơ không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tại một điểm \(M\). Giải hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y – 2 = 0}\\{x – 2 = 0}\end{array}} \right.\) ta được \(M(2; – 2)\).

b) \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n_1} = (2;1)\) và \({\overrightarrow n_2} = (1; – 1)\).

Ta có: \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{{ – 1}}\), suy ra \({\overrightarrow n_1}\) và \({\overrightarrow n_2}\) là hai vectơ không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tại một điểm \(M\). Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y – 2 = 0}\\{x – y – 1 = 0}\end{array}} \right.\) ta được \(M(1;0)\).

c) \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n_1} = (2;1)\) và \({\overrightarrow n_2} = (4;2)\).

Ta có \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2}\), suy ra \({\overrightarrow n_1}\) và \({\overrightarrow n_2}\) là hai vectơ cùng phương. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm \(M(1;0)\) thuộc \({\Delta _1}\), thay toạ độ của \(M\) vào phương trình \({\Delta _2}\), ta được \(4 + 0 + 3 = 7 \ne 0\), suy ra \(M\) không thuộc \({\Delta _2}\). Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

d) \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n_1} = (2;1)\) và \({\overrightarrow n_2} = (6;3)\).

Ta có \(\frac{2}{1} = \frac{6}{3}\), suy ra \({\overrightarrow n_1}\) và \({\overrightarrow n_2}\) là hai vectơ cùng phương. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(P(0;2)\) thuộc \({\Delta _2}\), thay toạ độ của \(P\) vào phương trình \({\Delta _1}\), ta được \(0 + 2 – 2 = 0\), suy ra \(P\) thuộc \({\Delta _1}\). Vậy \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\).

e) \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình tổng quát lần lượt là \(2x + y – 2 = 0\) và \(x – 2y – 1 = 0\), có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\overrightarrow n_1} = (2;1)\) và \({\overrightarrow n_2} = (1; – 2)\).

Ta có \({\overrightarrow n_1}.{\overrightarrow n_2} = 2.1 + 1.( – 2) = 0\) nên \({\overrightarrow n_1}\) và \({\overrightarrow n_2}\) là hai vectơ vuông góc, suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y – 2 = 0}\\{x – 2y – 1 = 0}\end{array}} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M(1;0)\).