Nội dung

Phần I: Các vấn đề cơ bản Toán 9

Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn

– Kiến thức cần nhớ

– Một số bài toán có lời giải

– Một số bài tập tự luyện

Vấn đề 2: Phương trình bậc hai một ẩn số

– Kiến thức cần nhớ

– Một số bài tập có lời giải

– Một số bài tập tự luyện

Vấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc nhất – Bậc hai

– Một số kiến thức cần nhớ

– Một số bài tập có lời giải

– Một số bài tập tự luyện

Vấn đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình–Hệ PT

– Kiến thức cần nhớ

– Một số bài tập có lời giải

– Một số bài tập tự luyện

Vấn đề 5: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

– Kiến thức cần nhớ

– Một số bài tập có lời giải

– Một số bài tập tự luyện

Vấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max của biểu thức

– Một số bài tập tiêu biểu có lời giải

Vấn đề 7: Hình học phẳng và không gian

– Kiến thức cần nhớ

– Một số bài tập có lời giải

Phần II : Một số đề thi tiêu biểu có đáp án và biểu điểm

Phần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp

Mục lục

 

 

 

 

PHẦN I:  CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9

 

VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

1. Kiến thức cần nhớ:
   • Kiến thức cơ bản

• Căn bậc hai
  1. Căn bậc hai số học
• Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a
• Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
• Một cách tổng quát:
  1. So sánh các căn bậc hai số học

– Với hai số a và b không âm ta có:

• Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
  1. Căn thức bậc hai
• Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
• xác định (hay có nghĩa)  A  0
  1. Hằng đẳng thức
• Với mọi A ta có
• Như vậy: +  nếu  A  0

+  nếu A < 0

• Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
  1. Định lí: + Với A 0 và B  0 ta có:

+  Đặc biệt với A  0 ta có

1. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó

• Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
  1. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:
  2. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
  3. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
• Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
  1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
• Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là

+ Nếu A  0 và B  0 thì

+ Nếu A < 0 và B  0 thì

1. Đưa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A  0 và B  0 thì

+ Nếu A < 0 và B  0 thì

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

– Với các biểu thức A, B mà A.B  0 và B  0, ta có

1. Trục căn thức ở mẫu

– Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
– Với các biểu thức A, B, C mà   và , ta có
– Với các biểu thức A, B, C mà  và , ta có

• Căn bậc ba
  1. Khái niệm căn bậc ba:
• Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a
• Với mọi a thì
  1. Tính chất
• Với a < b thì
• Với mọi a, b thì
• Với mọi a và thì

 

 

 

 

 

 

 

 

• Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên

• Căn bậc n
  1. Căn bậc n () của số a là một số mà lũy thừa n bằng a

 

1. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
   • Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
   • Căn bậc lẻ của số dương là số dương
   • Căn bậc lẻ của số âm là số âm
   • Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

 

1. Căn bậc chẵn (n = 2k )
   • Số âm không có căn bậc chẵn
   • Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
   • Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là và

 

1. Các phép biến đổi căn thức.

 

• xác định với
  xác định với
• với A
  với A
• với A, B
  với A, B mà
• với A, B
  với A, B mà
• với A, B mà B 0
  với A, B mà B 0,
• với A, mà
• với A, mà

 

 

 

 

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.

Bài 1: Tính:

2. B = +
3. C = 5.+ . +

HƯỚNG DẪN GIẢI:

 

1. .

 

 

 

 

1. B = + =

= =  = 3

5. C = 5.+ .+  = 5.  + . +

=  +  +  = 3

Bài 2: Cho biểu thức A =

1. Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
2. Tim giá trị của x để A = .
3. Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A – 9

 

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện

Với điều kiện đó,  ta có:

b). Để A =  thì  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy  thì A =

c). Ta có P = A – 9 =

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:

Suy ra:  . Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  khi

Bài 3: 1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36

          2) Rút gọn biểu thức   (với )

          3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có :  A =

2) Với x  0, x ¹ 16 ta có :

B =  =

3)  Ta có:  .

Để  nguyên, x nguyên  thì  là ước của 2, mà Ư(2) =

Ta có bảng giá trị tương ứng:

	1		2
x	17	15	18	14

Kết hợp ĐK , để  nguyên thì

Bài 4: Cho biểu thức:  

       

 

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.

b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phư­ơng trình P = 2.

 

HƯỚNG DẪN GIẢI:

 

a). Điều kiện để P xác định là :;  .

 

Vậy P =

 

1. b) ĐKXĐ:

P = 2 = 2

 

 

Ta có: 1 +  Þ   Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị  x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).

 

 

Bài 5:Cho biểu thức M =

1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
2. Tìm x để M = 5
3. Tìm x Z để M  

HƯỚNG DẪN GIẢI:

M =

a.ĐK          0,5đ

Rút gọn M =

Biến đổi ta có kết quả:  M =

M =

 

Đối chiếu ĐK:         Vậy x = 16 thì M = 5

1. M =

Do M nên là ­ước của 4   nhận các giá trị: -4;  -2; -1; 1; 2; 4

Lập bảng giá trị ta được:

vì

Bài 6: Cho biểu thức P = ( – )² . ( – ) Với a > 0 và a ≠ 1

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm a để P < 0

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. P = (- )² . ( – ) Với a > 0 và a ≠ 1

Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1

1. Tìm a để P < 0

Với a > 0 và a ≠ 1 nên  > 0

• P = < 0 ó 1 – a < 0 ó a > 1 ( TMĐK)

Bài 7: Cho biểu thức:  Q =  – ( 1 + ) :

1. Rút gọn Q
2. Xác định giá trị của Q khi a = 3b

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. Rút gọn:

Q =  – ( 1 + ) :

=  – .

=  –  =

=  =

1. Khi có a = 3b ta có: Q =  =  =

Bài 8: Cho biểu thức

   

  a ) Rút gọn A;

16. b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Đkxđ : x > 0 , y > 0

1. a)

 

 

 

1. b) Ta có

 

Do đó    ( vì xy = 16 )

Vậy min A = 1 khi

Bài 9: Cho biểu thức:

1. a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
2. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với .

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
2. b) Đkxđ :

 

 

 

 

 

1. c) Thay vào biểu thức , ta có:

 

Bài 10: Cho biểu thức:

           P =

1. a) Rút gọn P
2. b) Tìm giá trị của x để P = -1
3. c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:

 

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. Ta có:

• ĐKXĐ:
• Với x > 0 và   ta có:

P =

( Đk: x9)

Với x > 0 , x  thì P =

1. P = – 1

( ĐK: x > 0,  )

Đặt  đk y > 0

Ta có phương trình:     Các hệ số:  a + b + c = 4- 1-3 =0

( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),    ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)

Với  thì x =  ( thoả mãn đkxđ)

                                                                            Vậy với x = thì P = – 1

1. c) (đk: x > 0; )

( Do 4x  > 0)

• Xét

Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)

( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)

Theo kết quả phần trên ta có :

Kết luận: Với   thì

1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1 Cho biểu thức :

 

• Tim điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
• Rút gọn biểu thức A .
• Giải phương trình theo x khi A = -2 .

 

Câu2  Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức .
2. Tính giá trị của  khi

 

Câu3 Cho biểu thức :

1. Rút gọn biểu thức A .
2. Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .

 

Câu4 Cho biểu thức :

1. a) Rút gọn biểu thức A .
2. b) Tính giá trị của A khi x =
3. c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .

Câu 5 Cho biểu thức : A =

1. Tìm ĐKXĐ
2. b) Rút gọn biểu thức A
3. c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.

Câu 6 Cho biểu thức

1. a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
2. b) Tìm giá trịn nguyên của x để nhậ giá trị nguyên.

Câu 7 Cho

1. a) Rút gọn P.
2. b) Tìm a biết P > .
3. c) Tìm a biết P = .

Câu 8 Cho

1. a) Chứng minh
2. b) Tính P khi

2.Tính

Câu 9 Cho biểu thức

1. a) Rút gọn B.
2. b) Tính giá trị của B khi .
3. c) Chứng minh rằng với mọi gía trị của x thỏa mãn .

Câu 10 Cho

1. a) Tìm TXĐ
2. b) Rút gọn biểu thức M.
3. c) Tính giá trị của M tại .

Câu 11 Cho biểu thức: .

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a²

Câu 12  Cho biểu thức: .

1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.

Câu 13 Cho biểu thức: .

1. Chứng minh
2. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.

Câu 14 Cho biểu thức: .

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.

Câu 15 Rút gọn biểu thức: .

Câu 16 Cho biểu thức: .

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và  x≠1  luôn có T<1/3.

 

Câu 17 Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.

Bài 18: Cho biểu thức :

với m ≥ 0 ; n ≥ 1

1. a) Rút gọn biểu thức A.
2. b) Tìm giá trị của A với .
3. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 19: Cho biểu thức

1. a) Rút gọn P.
2. b) Tìm a để

Bài 20: Cho biểu thức

1. a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
2. b) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên.

 

 

 

 

 

 

 

 

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
2. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

 

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và

1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :

Phương trình bậc hai

 

*) Nếu  phương trình có hai nghiệm phân biệt :

 

*) Nếu  phương trình có nghiệm kép :

*) Nếu  phương trình vô nghiệm.

 

III. Công thức nghiệm thu gọn :

Phương trình bậc hai và

 

*) Nếu  phương trình có hai nghiệm phân biệt :

*) Nếu  phương trình có nghiệm kép :

*) Nếu  phương trình vô nghiệm.

1. Hệ thức Vi – Et và ứng dụng :
2. Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình thì :

 

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :

 

(Điều kiện để có u và v là )

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm :

 

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình  có hai nghiệm :

 

IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a ¹ 0) có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) Û D ³ 0
2. Vô nghiệm Û D < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Û D > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Û a.c < 0 và S < 0

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Û a.c < 0 và S > 0

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:

Bài 1. Giải các phương trình sau :

 

Giải

Vậy phương trình có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm

Nhẩm nghiệm :

Ta có : a – b + c = – 2 – 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm :

Đặt . Ta có phương trình :

a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0

=> phương trình có nghiệm :  (thỏa mãn);    (loại)

Với:

Vậy phương trình có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm

(ĐKXĐ : )

Phương trình :

=> phương trình có hai nghiệm : (thỏa mãn ĐKXĐ)

(thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m :    (1)

a/ Giải phương trình với m = – 2.

b/ Gọi x₁; x₂ là các nghiệm của phương trình. Tính  theo m.

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn :  .

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn : 2x₁ + 3x₂ = 5.

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x₁ = – 3. Tính nghiệm còn lại.

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a/ Thay m = – 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :

 

Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b/ Phương trình :    (1)     Ta có:

Phương trình có nghiệm

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

*)

*)

c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm

Khi đó

Do đó

 

=> phương trình có hai nghiệm :

Thử lại :      +) Với     => loại.

+) Với     => thỏa mãn.

Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn :  .

d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

Hệ thức : 2x₁ + 3x₂ = 5        (c)

Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình :

 

Thay  vào (b) ta có phương trình :

 

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Thử lại :      +) Với            => thỏa mãn.

+) Với     => thỏa mãn.

Vậy với  phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn : 2x₁ + 3x₂ = 5.

e/ Phương trình (1) có nghiệm

Khi đó :

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x₁ = x₂ = – 3.

 

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

 

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂  không phụ thuộc vào m là: x₁.x₂ + (x₁ + x₂ ) – 3 = 0

 

Bài 3:   

   Cho phương trình  (m-1)x² + 2x – 3 = 0   (1) (tham số m)

1. a) Tìm m để (1) có nghiệm
2. b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
3. c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

 

HƯỚNG DẪN GIẢI:

 

1. a) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 Û x = (là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D^’=1²– (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm Û D^’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ³  thì phương trình có nghiệm

1. b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 Û x = (là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D^’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm duy nhất Û D^’ = 3m-2 = 0 Û m =  (thoả mãn m ≠ 1)

Khi đó x =

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất  x =

với m =  thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3

 

1. c) Do phương trình có nghiệm x₁ = 2 nên ta có:

(m-1)2² + 2.2 – 3 = 0  Û 4m – 3 = 0 Û m =

Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)

Theo đinh lí Viet ta có:  x₁.x₂ =

Vậy m =  và nghiệm còn lại là x₂ = 6

 

Bài 4:    Cho phương trình:  x² -2(m-1)x  – 3 – m = 0

1. a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x₁, x₂ với mọi m
2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
3. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
4. d) Tìm m sao cho nghiệm số x₁, x₂ của phương trình thoả mãn x₁²+x₂²
5. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m
6. f) Hãy biểu thị x₁ qua x₂

 

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. a) Ta có: D^’ = (m-1)² – (– 3 – m ) =

Do  với mọi m;  Þ D > 0 với mọi m

Þ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

1. b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu Ûc < 0 Û – 3 – m < 0 Û m > -3

Vậy  m > -3

1. c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x₁ + x₂ = 2(m-1) và P = x_1.x₂ = – (m+3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm Û S < 0 và P > 0

 

Vậy m < -3

1. d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: S = x₁ + x₂ = 2(m-1) và P = x_1.x₂ = – (m+3)

Khi đó A = x₁²+x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ =² –²= 4(m-1)²+2(m+3) = 4m² – 6m + 10

Theo bài A ³ 10 Û 4m² – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0

 

Vậy m ³  hoặc m £ 0

1. e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có:

Þ x₁ + x₂+2x₁x₂ = – 8

Vậy  x₁+x₂+2x₁x₂+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc m

1. f) Từ ý e) ta có: x₁ + x₂+2x₁x₂ = – 8 Û x­₁(1+2x₂) = – ( 8 +x₂) Û

Vậy      ()

Bài 5:   Cho phương trình:  x² + 2x + m-1= 0  ( m là tham số)

1. a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn 3x₁+2x₂ = 1
3. c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x₁; x₂ là nghiệm của phương trình ở trên

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1. a) Ta có D^’ = 1² – (m-1) = 2 – m

Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

 

Vậy m = 2

1. b) Ta có D^’ = 1² – (m-1) = 2 – m

Phương trình có nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m £ 2 (*)

Khi đó theo định lí Viet ta có: x₁+ x₂ = -2  (1);  x₁x₂ = m – 1 (2)

Theo bài: 3x₁+2x₂ = 1 (3)

Từ (1) và (3) ta có:

Thế vào (2) ta có:   5(-7) = m -1 Û m = – 34 (thoả mãn (*))

Vậy m = -34 là giá trị cần tìm

1. d) Với m £ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: x₁+ x₂ = -2  (1) ;    x₁x₂ = m – 1 (2)

Khi đó:  (m≠1)

(m≠1)

Þ y₁; y₂ là nghiệm của phương trình: y² – .y +  = 0  (m≠1)

Phương trình ẩn y cần lập là:  (m-1)y² + 2my + m² = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 

Bài 1Cho phương trình (m – 1)x² – 2mx + m + 1  = 0   (1).

Tìm tất cả các số nguyên m để  phương trình (1) có nghiệm nguyên.

HDẫn : *  m = 1 : -2x + 2 = 0

*  m :       m – 1 + (-2m) +m +1 = 0  ;

 

Bài 2: Cho phương trình x² + (2m – 5)x – 3n  = 0 .

Xác định m và n để phương trình có 2  nghiệm là 3 và -2.

 

HDẫn :        

Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là  :

mx² + (mn + 1)x + n  = 0

 

HDẫn :         

Bài 4: Cho  hai phương trình : x² – 3x + 2m + 6 = 0   (1)  và  x² + x – 2m – 10 = 0   (2)

CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .

 

HDẫn :  26 > 0  có 1 biệt số không âm .

 

Bài 5: Cho  hai phương trình : x² + (m – 2)x += 0                            (1)

và  4x² – 4(m – 3)x + 2m² – 11m + 13 = 0   (2)

CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .

 

HDẫn :  ;

 có 1 biệt số không âm .

Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.

x² + 2x + m = 0

x² + mx + 2 = 0

 

HDẫn :  (m -2)x= m – 2     : + m =2 : hai phương trình có dạng : x² + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)

+ m 2 : x= 1 ; m = -3

Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.

x² + (m – 2)x + 3 = 0

2x² + mx + (m + 2) = 0

 

            HDẫn :  (m – 4)x= m – 4     : + m = 4  : hai phương trình có dạng : x² + 2x +3 = 0  ( vô nghiệm)

+ m 4 : x= 1 ; m = -2

Bài 8 : Gọi  và  là những nghiệm của phương trình : 3x² – (3k – 2)x  – (3k + 1) = 0   (1)

Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn :

HDẫn :         *             *     (t/m)

Bài 9 : Cho  phương  trình  : x² – (2m + 1)x  + m² + 2 = 0.   Xác  định m  để  giữa hai  nghiệm                  ta  có hệ thức :

 

HDẫn :         *                   *     loại m =

Bài 10: Cho phương trình . Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương

trình. Tìm giá trị của m để

 

HDẫn :       *=

*

Bài 11:  Cho phương trình   (1)

Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x₁, x₂ . hãy tìm m để

 

HDẫn :       *=

*

Bài 11: Cho phương trình x² – ( 2m + 1)x + m² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm thoả mãn: – 2<x₁<x₂<4

 

HDẫn :       *= 1>0   * x₁= m , x₂= m + 1  x₁ < x₂Do đó:

 

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình: x² + 2ax + 4 = 0  (1)  có các nghiệm x₁, x₂    thoả mãn điều kiện

 

            HDẫn :       *= a² –  4  0                                             

*

 

( vì  nên 4a² – 8 > 0 )

 

Bài 13: Cho phương trình bậc hai

1-Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.                              ( m =)

2-Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.

Bài 14: Tìm giá trị m để phương trình:

1. a) 2x² + mx + m – 3 = 0

Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. ( 0<m <3)

1. b) x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.                                (m = 1)

Bài 15: Xác định m để phương trình x² – (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao

cho x₁, x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

 

 

Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai :  .

Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứngvới cạnh huyền là .

 

HD GIẢI*       *  khi đó x₁ = 1; x₂ = 2

 

Bài 17: Cho hai phương trình  (1) và  (2)

Tìm m và n để các phương trình (1) và (2) tương đương.

 

H.DẪN       *Phương trình (2) có ac = – 6<0 (2) có 2 nghiệm phân biệt.

                   *

                   * Thử lại, rút kết luận.

 

 

Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương :

(1) và  (2)

 

H.DẪN       *Phương trình (1) có ac = – 9<0 (1) có 2 nghiệm phân biệt.

                   *

* Thử lại, rút kết luận.

Bài 19: Cho phương trình . Tìm m sao cho A =

đạt giá trị nhỏ nhất.

 

*

*

 

Bài 20: Cho phương trình  (1). Gọi  là các nghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

 

*

* =

Bài 21: Cho phương trình  có hai nghiệm .

Chứng minh rằng biểu thức H =  không phụ thuộc vào m.

 

HƯỚNG DẪN: *

*

Bài 22: Cho phương trình  có hai nghiệm .

Chứng minh rằng biểu thức Q =  không phụ thuộc vào giá trị của m.

HƯỚNG DẪN:  *

*

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT)

 

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
2. Hàm số bậc nhất
3. Khái niệm hàm số bậc nhất

– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0

1. Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

• Đồng biến trên R khi a > 0
• Nghịch biến trên R khi a < 0

1. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
• Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bước 1.  Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó

+

+

+

+

1. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
   • Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.

– Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b  và có tung độ dương

• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

-Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b

1. Hàm số bậc hai

1. Định nghĩa

– Hàm số có dạng y = ax² (a 0)

1. Tính chất

– Hàm số y = ax² (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a  > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a  < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

1. Đồ thị của hàm số y = ax² (a 0)

– Đồ thị hàm số y = ax² (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Kiến thức bổ xung

Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂). Khi đó

• Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
• Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức

Quan hệ giữa Parabol y = ax² (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)

Cho Parabol (P): y = ax² (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó

• Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
• Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax²= mx + n (*)
• Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)

• Đồ thị (C₁): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn vị
• Đồ thị (C₂): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị
• Đồ thị (C₃): y = f(|x|) gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy

+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy

• Đồ thị (C₄): y = |f(x)| gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox

+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên trên Ox qua Oy.

III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai.

Cho Parabol (P): y = ax² (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó:

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax²= mx + n (*)

• Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:

Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) và đường thẳng (d) y=(m-2)x+1 và (d’)y=-x+3 (m là tham số ) . Xác định m để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung .

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’):

2x²=-x+32x²+x-3=0 (a+b+c=0)

+Khi x=1 thì y=2

+Khi thì

Vậy (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung thì

Vậy với m=3 hay m=thì (P) ,(d) và (d’) có 1 điểm chung

Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : và đường thẳng (d) : y=mx+1 (m là tham số ).Xác định m để :

1. a) (d) tiếp xúc (P) b)(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
2. c) (d) và (P) không có điểm chung .

Giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x²+mx+1=0 (*)

 

1. a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) có nghiệm kép

 

1. b) (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt
2. c) (d) và (P) không có điểm chung khi (*) vô nghiệm

 

Bài tập 3: Cho (P) : và (d) :

Xác định m để (d) cắt (P)tại 2 điểm A(x_A; y_A) ; B(x_B; y_B) sao cho :

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)là :

 

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là x_A ; x_B

Theo Viét ta có :

Vậy với thì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A;B

Bài tập 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : , điểm M(0;2).

Đường thẳng (D) đi qua M và không trùng với Oy . Chứng minh rằng (d) cắt (P)tại 2 điểm phân biệt sao cho

Giải:

– Vì (D) đi qua M(0;2) và không trùng với Oy nên có dạng y=ax+b

– nên: 2=a.0+b b=2 và (D): y=ax+2

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là :

Vì phương trình (*) có hệ số a=1 ; c—4 (a.c<0) nên (*) có 2 nghiệm phân biệt

A(x_A; y_A) ; B(x_B; y_B)               Theo hệ thức Viét ta có:

 

 

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x

1. Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
2. Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB

Bài 2: Cho hàm số y = – 2x và .

1. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
2. Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng và y = – 2x lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.

Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 4)x – m + 6 (d).

1. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
2. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.
3. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4: Cho ba đường thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1.

1. Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
2. Gọi giao điểm của đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đường thẳng y = -1 với hai đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
3. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 5: Cho đường thẳng (d): ;y = – 2x + 3.

1. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d.
2. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đường thẳng d.

 

Bài 6: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng:

y = 2x + 7 (d₁)                (d₂)              (d₃)

đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.

 

Bài 7: Cho hai đường thẳng: y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4.

1. Chứng minh rằng khi thì hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

 

Bài 8: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

1. Khi , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng .
2. Khi a = – 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3).
3. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6).
4. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng và đi qua điểm .

 

Bài 9: Cho đường thẳng: y = 4x (d).

10. Viết phương trình đường thẳng (d₁) song song với đường thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10.
11. Viết phương trình đường thẳng (d₂) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8.
12. Viết phương trình đường thẳng (d₃) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.

 

Bài 10: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d₁)          (d₂).

1. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
2. Gọi giao điểm của đường thẳng (d₁) với trục Oy là A, giao điểm của đường thẳng (d₂) với trục Ox là B, còn giao điểm của đường thẳng (d₁) và (d₂) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
3. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 11: Cho các hàm số sau:   y = – x – 5 (d₁)       ;    (d₂)        ;   y = 4x (d₃)

1. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
2. Gọi giao điểm của đường thẳng (d₁) với đường thẳng (d₂) và (d₃) lần lượt là A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B.
3. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao?
4. Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 12: Cho hai đường thẳng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d₁) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d₂).

Tìm các giá trị của k để:

1. (d₁) và (d₂) cắt nhau.
2. (d₁) và (d₂) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
3. (d₁) và (d₂) song song với nhau.
4. (d₁) và (d₂) vuông góc với nhau.
5. (d₁) và (d₂) trùng nhau.

 

Bài 13: Cho hàm số bậc nhất: y = (m + 3)x + n (d).

Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng (d):

1. Đi qua điểm A(1; – 3) và B(- 2; 3).
2. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ .
3. Cắt đường thẳng 3y – x – 4 = 0.
4. Song song với đường thẳng 2x + 5y = – 1.
5. Trùng với đường thẳng y – 3x – 7 = 0.

Bài 14: Cho hàm số: y = (m² – 6m + 12)x².

1. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005).
2. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = – 2.
3. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết và .

Bài 15. Cho đường thẳng (d): y = (k – 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

1. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)
2. Cắt trục tung tại điểm có tung độ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
3. Cắt đường thẳng -2y + x – 3 = 0
4. Song song với đường thẳng 3x + 2y = 1

 

Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x²/4 và đường thẳng (d): y = mx + n. Tìm các giá trị của m và n biết đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

1. Song song với đường thẳng y = x và tiếp xúc với (P)
2. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P).

Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trường hợp trên.

Bài 17. Cho hàm số: .

1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là – 2; 1. Viết phưong trình đường thẳng MN.
3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.

Bài 18. Cho hàm số: y = x² và y = x + m (m là tham số).

1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x² và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B.
2. Tìm phưong trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
3. a). Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.

b). áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là .

Bài 19. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax² và (D) là đồ thị hàm số          y = – x + m.

1. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được.
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A

 

Bài 20. Cho parabol (P):  và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là  – 2 và 4.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Viết phưong trình của (D).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hoành độ) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bài 21. Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):  và đường thẳng (D):

y = mx – 2m – 1.

1. Vẽ (P).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
3. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).

Bài 22.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P):  và đường thẳng (D) qua điểm  có hệ số góc m.

1. Vẽ (P) và viết phưong trình của (D).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
3. Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt.

 

Bài 23. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P):  và đường thẳng (D):.

1. Vẽ (P) và (D).
2. Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D).
3. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (D).

Bài 24. Cho họ đường thẳng có phưong trình: mx + (2m – 1)y + 3 = 0 (1).

1. Viết phưong trình đường thẳng đi qua A(2; 1).
2. Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M.

Bài 25. Cho parabol (P): y = x² – 4x + 3.

1. Chứng minh đường thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với (P).
2. Giải bằng đồ thị bất phưong trình: x² – 4x + 3 > 2x – 4.

Bài 26. Cho parabol  (P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m khác 0.

1. Vẽ (P).
2. Viết phưong trình đường thẳng (D) đi qua hai điểm M, I.
3. Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m khác 0.
4. Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông.
5. Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m khác 0.

 

Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P):  và điểm I(0; -2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc m.

1. Vẽ đồ thị (P).
2. Chứng tỏ rằng với mọi m, (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB.
3. Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

 

Bài 28. Cho hàm số y = x² có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

1. Vẽ (P).
2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông.
3. Viết phưong trình đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P).
4. Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số).

1. Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
2. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn: . Vẽ (d) với m tìm được.

Bài 29. Cho hàm số: y = 2x² (P).

1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P).

 

Bài 30. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = – x² + 4x – 3 và đường thẳng (D); 2y + 4x – 17 = 0.

1. Vẽ (P) và (D).
2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.

Bài 31. Cho parabol (P): y = – x² + 6x – 5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc m.

1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đường thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C.
2. Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 32. Cho parabol (P):   và đường thẳng (d) có phưong trình: .

1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.

Bài 33. Cho hai đường thẳng (d₁): y = (m² + 2m)x và (d₂): y = ax (a  0).

1. Định a để (d₂) đi qua A(3; -1).
2. Tìm các giá trị m để cho (d₁) vuông góc với (d₂) ở câu 1).

Bài 34. Cho hàm số: y = ax + b.

1. Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d₁) của hàm số với a, b tìm được.
2. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m² – m)x + m² + m là một đường thẳng song song với (d₁). Vẽ (d₂) vừa tìm được.
3. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d₁) có hoành độ x = 2. Tìm phưong trình đường thẳng (d₃) đi qua A vuông góc với cả hai đường thẳng (d₁) và (d₂). Tính khoảng cách giữa (d₁) và (d₂).

 

Bài 35. Cho hàm số: y = mx – 2m – 1 (1) (m  0).

1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d₁) vừa tìm được.
2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các trục Ox và Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t).
3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.

Bài 36. Cho parabol (P): y = ax² và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0).

1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm được.
2. Tìm phưong trình đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng này với (P) (ở câu 1).
3. Gọi C là giao điểm có hoành độ dương. Viết phưong trình đường thẳng qua C và có với (P) một điểm chung duy nhất.

Bài 37:

1. Cho parabol (P): y = ax²; cho biết A(1; -1) (P). Xác định a và vẽ (P) với a tìm được.
2. Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2mx – m + 2.
3. Chứng tỏ rằng, thuộc (d) với mọi m. Tìm phưong trình các đường thẳng đi qua I và có với (P) điểm chung duy nhất.

Bài 38.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (d): .
2. Chứng minh rằng (d) là một tiếp tuyến của (P).
3. Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x – m bằng hai cách (đồ thị và phép toán).

Bài 39. Cho parabol (P): y = ax² và hai điểm A(- 2; – 5) và B(3; 5).

1. Viết phưong trình đường thẳng AB. Xác định a để đường thẳng AB tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.
3. Một đường thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và N. Xác định vị trí của (D) để .

Bài 40. Cho hàm số: y = x² – 2x + m – 1 có đồ thị (P).

1. Vẽ đồ thị (P) khi m = 1.
2. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với trục hoành.
3. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đường thẳng (d) có phưong trình:

y = x + 1 tại hai điểm phân biệt.

Bài 41. Cho đường thẳng        (D₁): y = mx – 3.

(D₂): y = 2mx + 1 – m.

1. Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đường thẳng (D₁) và (D₂) ứng với

m = 1. Tìm tọa độ giao điểm B của chúng. Qua O viết phưong trình đường thẳng vuông góc với (D₁) tại A. Xác định A và tính diện tích tam giác AOB.

2. Chứng tỏ rằng các đường thẳng (D₁) và (D₂) đều đi qua những điểm cố định. Tìm tọa độ của điểm cố định.

 

Bài 42. Cho hai đường thẳng (d₁) và (d₂) có phưong trình:

(d₁):  và  (d₂): .

1. Chứng minh rằng (d₁) và (d₂) đi qua các điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định.
2. Viết phưong trình các đường thẳng (d₁) và (d₂); cho biết (d₁) thẳng góc với (d₂).
3. Viết phưong trình các đường thẳng (d₁) và (d₂); cho biết (d₁) song song với (d₂).

 

Bài 43. Cho parabol (P): .

1. Viết phưong trình đường thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1, đường thẳng này gọi là (D).
2. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và (D).
3. Viết phưong trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
4. Trong trường hợp (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
5. Tìm trên (P) các điểm mà đường thẳng (D) không đi qua với mọi m.

 

Bài 44.

Cho parabol (P): y = x² – 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc m.

1. Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
2. Xác định m để MN ngắn nhất.

VẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Phương pháp chung:

Bước 1: Gọi ẩn phù hợp, đơn vị tính, điều kiện cho ẩn nếu có.

Bước 2: Biểu đạt các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình lập được ở bước 3.

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây . Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.

HD Giải:

+/ Gọi x (m/s)là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga  (x>0)

Gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0)

+/ Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây.

Ta có phương trình : y=7x (1)

+/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất  25giây .

Ta có phương trình : y+378=25x (2)

+/ Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình :

+/ Giải ra ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT)

Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s

Chiều dài của đoàn tàu là : 147m

 

Bài 2: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút . Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km . Tính vận tóc dòng nước ?

HD Giải:

+/ Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.

Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0)

+/ Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình :

+/ Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (=h) nên ta có phương trình :

Ta có hệ phương trình :

+/ Giải ra ta có : x=18 ; y= 2

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h

Bài 3: Trên một đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy 1 điểm cố định A. Hai đim chuyển động M , N chạy trên đường tròn , cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi . Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt Nđúng 1 vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc mỗi điểm M, N ?

 

HD Giải:

+/ Gọi x(m/s) là vận tốc của điểm M

Gọi y(m/s) là vận tốc của điểm N (x>y>0)

+/ Khi chúng di chuyển trái chiều nhau , chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1)

+/ Khi M,N di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-60y=1 (2)

Ta có hệ phương trình :

+/ Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)

Vậy vận tốc điểm M là : 0,05m/s và vận tốc điểm N là : 0,03m/s

 

Bài 4: Một chiếc môtô và ôtô cùng đi từ M đến K với vận tốc khác nhau .Vận tốc môtô là 62 km/h còn vận tốc ôtô là 55 km/h . Để 2 xe đến đích cùng 1 lúc người ta đã cho ôtô chạy trước 1 thời gian . Nhưng vì 1 lí do đặc biệt nên khi chạy được 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h .Vì vậy khi còn cách K 124km  thì môtô đuổi kịp ôtô . Tính khoảng cách từ M đến N .

 

HD Giải:

+/ Gọi khoảng cách MK là x km

Gọi thời gian dự định ôtô đi trước môtô là y (giờ)

+/ Ta có :

+/ Giải hệ này ta rút ra : x= 514km ;

 

Bài 5: Cho 3 vòi A,B,C cùng chảy vào 1 bể . Vòi A và B chảy đầy bể trong 71 phút Vòi A và C chảy đầy bể trong 63 phút .Vòi C và B chảy đầy bể trong 56 phút .

1. Mỗi vòi làm đầy bể trong bao lâu ? Cả 3 vòi cùng mở 1 lúc thì đầy bể trong bao lâu ?
2. Biết vòi C chảy 10lít ít hơn mỗi phút so với vòi A và B cùng chảy 1 lúc . Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi ?

 

HD Giải:

1. a) Vòi A làm đầy bể trong x phút ( mỗi phút làm đầy 1/x bể )

Vòi B làm đầy bể trong y phút ( mỗi phút làm đầy 1/y bể )

Vòi C làm đầy bể trong z phút ( mỗi phút làm đầy 1/z bể )

Ta có hệ phương trình :

+/ Giải hệ phương trình ta được : x=168  ;  y=126  ;   z=504/5

Nếu 3 vòi cùng mở 1 lúc thì sau mỗi phút đầy bể.

3 vòi cùng làm đầy bể sau : phút

b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy 5/504.t lít , vòi A và B chảy lít .Theo đề bài ta có  phương trình :

Sức chảy vòi A :

Tương tự sức chảy vòi B :

sức chảy vòi C :

 

Bài 6: Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo .Số kẹo này được chia hết va chia đều cho các đội viên .Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy , phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà như sau:

    Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và 1/11 số kẹo còn lại .Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận nhận n cái kẹo và .

     Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên ? Mỗi đội viên nhận được bao nhiêu cái kẹo ?

HD Giải:

+/ Gọi số người trong phân đội là a

Số kẹo trong phân đội được tặng là x  (a,x>0)

+/ Người thứ nhất nhận được : (kẹo )

Người thứ hai nhận được : (kẹo )

+/ Vì hai số kẹo bằng nhau và có a người nên ta có :

+/ Giải hệ này ta được x=100 ; a=10

 

 

 

 

Bài 7: 12 người ăn 12 cái bánh .Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc , mỗi người đàn bà ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi có bao nhiêu người đàn ông , đàn bà và trẻ em ?

 

HD Giải:

+/ Gọi số đàn ông , đàn bà và trẻ em lần lượt là x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z là số nguyên dương và nhỏ hơn 12)

+/ Số bánh họ lần lượt ăn hết là : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh)

+/ Theo đề bài ta có hệ phương trình :

+/ Lấy (2) trừ (1) ta được : 6x-z=24 (3)

Vì x, z , 6x và 24 chia hết cho 6 , z cũng chia hết cho 6 .Kết hợp với điều kiện  0<z<12 z=6.

Thay z=6 vào (3) ta được x=5 , từ đó y=1

Vậy có 5 đàn ông , 1 đàn bà và 6 trẻ em

 

Bài 8: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric?

 

HD Giải:

+/ Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch  loại 1 và 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0)

Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch  loại 1 là và loại 2 là

+/ Ta có hệ phương trình :

+/ Giải hệ này ta được : x=20 ;y=80

 

Bài 9:Hai người cùng làm chung một công việc trong  giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

 

 

HD Giải:

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được(cv), người thứ  hai làm được(cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được=(cv)

Do đó ta có phương trình

 

Û 5x² – 14x – 24 = 0

D’ = 49 + 120 = 169,

=>  (loại) và (TMĐK)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,

người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ.

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

DẠNG 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH:

Bài 1: Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30 km.

Bài 2: Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5h30p một ca nô đuổi theo và đuổi kịp thuyền tại một địa điểm cách bến sông A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền biết vận tốc của ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12km/h.

Bài 3: Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A, B cách nhau 54 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h. Tính vận tốc của hai người đó biết rằng vận tốc của người đi từ A bằng  vận tốc của người đi từ B.

Bài 4: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1h30p, một người đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến B trước người đi xe đạp 1h. Tính vận tốc của mỗi xe biết vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

Bài 5: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường 120km. Đi được nửa quãng đường, xe nghỉ 3p nên để đến nơi đúng giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường.

Bài 6: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 km, người đó nhận thấy rằng sẽ đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đạng đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì sẽ đến B sớm nửa giờ. Tính vận tốc của xe trên quãng đường đi lúc đầu.

Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A người ấy đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi 1h30p.

Bài 8: Hai bến sông A, B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi bến từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến bến B, ca nô trở về bến A ngay và gặp bè khi đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc riêng của ca nô không đổi.

Bài 9: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi lại chạy ngược dòng từ bến B trở về bến A mất tất cả 4h. tính vận  tốc của canô khi nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30km và vận tốc của dòng nước là 4km/h.

Bài 10: Một hình chữ nhật có chu vi là 134m. nếu giảm mỗi kích thước của vườn đi 1m thì diện tích của vườn bằng diện tích của hình vuông có cạnh bằng 28m. Tính các kích thước của hình chữ nhật đó.

Bài 11: Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi là 48 cm. Người ta cắt bỏ mỗi góc một hình vuông có cạnh 2cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích 96 cm³. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu.

Bài 12: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m, nếu tăng chiều dài 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.

Bài 13: Một tam giác vuông có  chu vi là 30m, cạnh huyền 13 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Bài 14: Một sân hình chữ nhật có diện tích là 240 m². Nếu tăng chiều rộng thêm 3m, giảm chiều dài 4m thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng.

 

Bài 15: Hai máy cày cùng cày một đám ruộng. Nếu cả hai máy cùng làm thì sẽ cày song trong 4 ngày. Nếu cày riêng thì máy 1 sẽ cày song nhanh hơn máy 2 là 6 ngày. Hỏi nếu cày riêng thì mỗi máy cày song đám ruộng sau bao nhiêu ngày.

Bài 16: Một tổ may mặc định may 600 áo trong thời gian đã định. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên năng suất tăng lên, mỗi ngày làm thêm 4 áo, nên thời gian sản xuất giảm 5 ngày. Hỏi mỗi ngày tổ dự định may bao nhiêu áo.

Bài 17:  Một tổ may mặc định may 150 bộ quần áo trong thời gian đã định. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên năng suất tăng lên, mỗi ngày làm thêm 5 bộ quần áo, nên thời gian sản xuất giảm 1 ngày so với dự định. Hỏi mỗi ngày tổ dự định may bao nhiêu áo.

Bài 18: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì  sau 4h đầy bể. Nếu cho chảy riêng đầy bể thì vòi 1 cần ít thời gian hơn vòi 2 là 6h. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể sau bao lâu.

Bài 19: Một tổ may mặc cố kế hoạch may 720 bộ quần áo theo năng xuất dự kiến. Thời gian làm theo năng xuất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng xuất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày ( tăng, giảm so với năng xuất dự kiến ). Tính năng xuất dự kiến.

 

DẠNG 2: LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

 

      Bài 1:  Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Bài 2: Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
Bài 3: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m2. Tính kích thước của hình chữ nhật đó.

Bài 5: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Bài 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
Bài 8: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.

Bài 9: Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định. Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà còn sản xuất thêm 10 tấn ngoài kế hoạch. Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ?
Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân đều các phòng. Nếu xếp mỗi phòng thi thêm 4 thí sinh thì số phòng thi sẽ giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu mỗi phòng thi dự định xếp bao nhiêu thí sinh ?
Bài 11: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
Bài 12: Một hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi 5 mét thì diện tích chỉ còn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều?
Vận tốc điểm A hơn điểm B là 2,5cm/phút. Tìm vận tốc của mỗi điểm?
Tính các chiều của công viên?
Bài 13: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuông góc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h.
Bài 14: Một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 150km. Nếu mỗi giờ xe tăng thêm 10km thì đến B sớm hơn thời gian dự định là 30 phút. Tìm vận tốc ban đầu?
Bài 15: Hai tỉnh A và B cách nhau 42km. Một chiếc tàu đi từ tỉnh nọ đến tỉnh kia. Khi đi ngược dòng sông từ A tới B thì vận tốc của nó nhỏ hơn vận tốc lúc xuôi dòng là 4km/h. Tính vận tốc của chiếc tàu khi xuôi dòng và khi ngược dòng, biết rằng thời gian ngược dòng nhiều hơn thời gian xuôi dòng là 1 giờ 12 phút.

Bài 16: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
Bài 18: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

 

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

A.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
   • Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c  R (a² + b²  0)
   • Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

• Nếu a 0, b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số
• Nếu a 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu a = 0, b 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
  1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’  R
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

• (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
• (d) (d’) = thì hệ có nghiệm duy nhất
• (d) (d’) thì hệ có vô số nghiệm

• Hệ phương trình tương đương

Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

• Quy tắc thế
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
  • Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn
  • Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

• Quy tắc cộng
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
• áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
• Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

A.2 Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai

– Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S²  4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình: x² + SX + P = 0

A.3 Kiến thức bổ xung

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
   1. Định nghĩa:
      Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi
   2. Cách giải
      • Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S² 4P
      • Giải hệ để tìm S và P
      • Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình:
        t² – St + P = 0
   3. Ví dụ

• Giải hệ phương trình

 

A.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2

1. Định nghĩa

Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại

1. Cách giải

• Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
• Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
• Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
• Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ
  1. Ví dụ
• Giải hệ phương trình

 

A.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

1. Định nghĩa

– Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:

1. Cách giải

• Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
• Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
• Khử x rồi giải hệ tìm t
• Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
• Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự

1. Ví dụ

Giải hệ phương trình

 

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

+/ Đặt . Hệ đã cho trở thành

+/ Ta được hệ phương trình:

Vậy

1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (-2; 2)

Bài  2: (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:
2. Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

   ( m là tham số)

HD Giải:

1. Giải hệ phương trình:

Vậy, hệ phương trình có một nghiệm là: (1;1)

1. Hệ phương trình vô nghiệm khi:

Vậy m = -5/ 2 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3:

1. Giải hệ phương trình
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.

 

Giải:

Bài 3: (1,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.

Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0.

Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.

 

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình , với

1. Giải hệ đã cho khi m = –3
2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

HD Giải:

Bài 4. a. Giải hệ đã cho khi m = –3 Ta được hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm  với

b. Điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình:       Vậy phương trình có nghiệm khi  và Giải hệ phương trình  khi . Vậy hệ có nghiệm (x; y) với

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình:         ( m là tham số)

1. a) Giải hệ phương trình với
2. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: .

HD Giải:

a) 1,0 điểm

Với m1 ta có hệ phương trình:

b) 1,0 điểm

Giải hệ:   Có: Tìm được:  và

 

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải các hệ phương trình

a.	b.	c.
d.	e.	f.
g.	h.	i.
k.	l.	m.

 

Bài 2. Giải các hệ phương trình

 

a.	b.	c.
d.	e.	f.
g.	h.	i.
k.	l.	m.
n.	p.	q.

 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Bài 1. Cho hệ phương trình

 

1. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình
3. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình

 

Có nghiệm thỏa mãn điều kiện . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.

Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình

 

Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.

Bài 4. Cho hệ phương trình

 

1. Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị
2. Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = – 8 không ?
3. Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?

Bài 5. Cho hai đường thẳng (d₁): 2x – 3y = 8 và (d₂): 7x – 5y = -5

Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d₁) và (d₂)

Bài 6. Cho ba đường thẳng

(d₁): y = 2x – 5         (d₂): y = 1          (d₃): y = (2m – 3)x -1

Tìm các giá trị của m để  ba đường thẳng đồng quy

Bài 7. Cho hệ phương trình

Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 8. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)

Bài 9. Tìm các giá trị của m để

1. Hệ phương trình: có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
2. Hệ phương trình: có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0

Bài 10. Cho hệ phương trình

 

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x, y là các số nguyên

Bài 11. Cho hệ phương trình

 

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 12. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức

P(x) = mx³ + (m + 1)x² – (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x – 1) và (x + 2).

Bài 13. Cho hệ phương trình

 

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất

Bài 14. Cho hệ phương trình

m, n là các tham số

1. Giải và biện luận hệ phương trình
2. trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 15. Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m

 

Bài 16. Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Bài 17. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).

Bài 18. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.

Bài 19. Cho hệ phương trình:

Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.

 

Bài 20. Cho hệ phương trình:

1. Giải và biện luận theo tham số m.
2. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.

Bài 21. Cho hệ phương trình:  (m là tham số).

1. Giải và biện luận theo m.
2. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương.

Bài 22. Cho hệ phương trình:

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 23 Cho hệ phương trình:

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.

Bài 24. Cho hệ phương trình:

1. Giải hệ khi m = -1.
2. Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.

 

Bài 25. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:

Bài 26. Cho hệ phương trình:

2. Giải hệ khi m = 2.
3. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
4. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.

Bài 27. Cho hệ phương trình:

3. Giải hệ khi m = – 3.
4. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.

Bài 28. Cho hệ phương trình:  (m là tham số nguyên).

Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.

Bài 29. Cho hệ phương trình:

1. Giải và biện luận hệ đã cho.
2. Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: .

Bài 30. Cho hệ phương trình:

1. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
2. Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
3. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .

Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình:  có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.

Bài 32. Cho hệ phương trình:

1. Giải và biện luận theo m.
2. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
3. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
4. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .

 

 

Bài 33. Giải và biện các hệ phương trình:

1. b. c.

Bài 34. Cho hệ phương trình:

1. Giải hệ phương trình lúc m = 1.
2. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số.

Bài 35. Cho hệ phương trình (m là tham số ):

1. Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm.
2. Giải hệ lúc m khác 1.

Bài 36. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau:

4x² + 9y² + 16z² – 4x – 6y – 8z +3 = 0.

 

Bài 37. Với giá trị nào của m, hệ phương trình:  có nghiệm?

Bài 38. Cho hệ phương trình: . Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.

Bài 39. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ phương trình có nghiệm kép.

Bài 40. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.

Bài 41. Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho: . Tìm giá trị của biểu thức: M = x² +y².

Bài 42. Cho hệ phương trình:

1. Giải và biện luận hệ phương trình trên.
2. Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

 

 

Bài 43. Cho hệ phương trình:  (a là tham số).

2. Giải hệ phương trình với a = 2.
3. Giải và biện luận hệ phương trình.
4. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
5. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.

Bài 44. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:

A(-1; 1), B(-1; 3).

A(1; 2), B(3; 2).

A(1; 5), B(4; 3).

Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.

Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.

Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 48. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:

Bài 49. Cho hệ phương trình: (m là tham số).

1. Giải hệ phương trình trên.
2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn

x < 0, y < 0.

Bài 50. Cho hệ phương trình: (m là tham số)

1. Giải hệ phương trình.
2. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
3. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.

Bài 51. Cho hệ phương trình: (m là tham số)

1. Giải hệ phương trình.
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.

 

Bài 52. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

 

 

Bài 53.

1. Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phương trình có nghiệm là số dương, số âm.

;

1. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau: có nghiệm

x > 0 và y < 0.

1. Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phương trình: có nghiệm thỏa mãn

Bài 54.

1. Cho hệ phương trình:
2. Giải hệ phương trình với a = 2.
3. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
4. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VẤN ĐỀ 6:

BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC

Bài 1: ” x, y, z chứng minh rằng :

1. a) x+ y + z   xy+ yz + zx
2. b) x+ y + z 2xy – 2xz + 2yz

                         _­c) x + y + z+3  2 (x + y + z)

 

Giải:

 

1. a) Ta xét hiệu

x + y + z- xy – yz – zx

=.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)

=đúng với mọi x;y;z

Vì (x-y)² 0  với”x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)² 0  với”x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)² 0  với” z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x + y + z   xy+ yz + zx

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu

x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )

= x + y + z-  2xy +2xz –2yz

=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z

Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz   đúng với mọi x;y;z

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

1. c) Ta xét hiệu

x + y + z+3 – 2( x+ y +z )

= x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1

= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0

Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Bài 2: chứng minh rằng :

1. a)                                  b)

Giải

1. a) Ta xét hiệu

=

=

=

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi  a=b

b)Ta xét hiệu

 

=

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi  a = b =c

Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

1. a)

b)

c)

 

Giải:

1. a)

(bất đẳng thức này luôn đúng)

Vậy    (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

1. b)

Bất đẳng thức cuối đúng.

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

1. c)

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

 

 

Bài 4: Chứng minh rằng:

Giải:

 

 

a²b²(a²-b²)(a⁶-b⁶) 0     a²b²(a²-b²)²(a⁴+ a²b²+b⁴)   0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Bài 5: Cho x.y =1 và x.y   

Chứng minh 

Giải:

vì :xy  nên  x- y  0   x²+y² ( x-y)

x²+y²–  x+y 0 x²+y²+2-  x+y -2 0

x²+y²+()²–  x+y -2xy 0  vì x.y=1  nên 2.x.y=2

(x-y-)²    0   Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh

 

• Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng:

 

1. a)
2. b) dấu( = ) khi x = y = 0
3. c)

d)

2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi):      Với

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS)

 

4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép:

Nếu

Nếu

Dấu bằng xảy ra khi

Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng

                                (a+b)(b+c)(c+a)8abc

 

 

Giải:

Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:

Tacó     ;       ;

 

(a+b)(b+c)(c+a)8abc

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

VËy

Bài 7: Cho a>b>c>0   và chứng minh rằng

 

Giải:

Do a,b,c đối xứng  ,giả sử abc

áp dụng BĐT  Trê- bư-sép ta có

==

Vậy        Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

 

Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1   .Chứng minh rằng :

                         

Giải:

Ta có

 

Do abcd =1 nên cd =

Ta có    (1)                                                                Mặt khác:

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

=

Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

                              

Giải:

Ta có:

 

Dùng bất đẳng thức  Bunhiacopski

Tacó    ac+bd

 

Bài 10: Chứng minh rằng

                                 

Giải:

 

Dùng bất đẳng thức  Bunhiacopski

Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c)  ta có:

 

3

 

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

 

Bài 11: Cho a,b,c,d > 0  .Chứng minh rằng

        

Giải :

 

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

(1)

Mặt khác :                (2)

Từ (1) và (2) ta có

 

< <      (3)

Tương tự ta có

(4)

(5)

(6)

cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6)  ta có

điều phải chứng minh

 

 

Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác  chứng minh rằng

a,  a²+b²+c²< 2(ab+bc+ac)

b,  abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

                                                       Giải

a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có

Þ

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

a²+b²+c²< 2(ab+bc+ac)

1. b) Ta có a > êb-c ï Þ > 0

                 b > êa-c ï   Þ  > 0

                 c > êa-b ï   Þ

Nhân vế các bất đẳng thức ta được

 

Bài 12: Cho a,b,c > 0  Chứng minh rằng (1)

Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a  ;z= a+b  ta có a=  ;   b =  ; c =

ta có (1)

 

(

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì   (    ;  nên ta có điều phải chứng minh

 

Bài 13: Cho a,b,c > 0  và a+b+c <1 Chứng minh rằng:

                          (1)

 

Giải:

Đặt x =   ;  y =   ;  z =

Ta có

(1)           Với x+y+z < 1  và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

4. .

 

 

Mà x+y+z < 1

Vậy          (đpcm)

Bài 14: Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng

                               

Giải :

Ta có         (vì xy = 1)

 

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với

 

 

 

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 15: Cho xy  1 .Chứng minh rằng

                              

Giải :

Ta có

 

 

 

 

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 16: a. Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

              Chứng minh rằng 

1. Cho a,b,c là các số dương

Chứng minh rằng

Giải :

 

1. áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

Ta có

 

(vì a+b+c =1 )  (đpcm)

 

 

 

 

áp dụng BĐT phụ      Với x,y > 0

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng

Vậy            (đpcm)

Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

                T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

Giải :

 

Ta có   |x-1| + |x-4|  =  |x-1| + |4-x|    |x-1+4-x|  =  3       (1)

Và               (2)

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|    1+3 = 4

Ta có từ  (1)   Dấu bằng xảy ra khi

(2)   Dấu bằng xảy ra khi

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi

 

Bài 18:

             Tìm giá trị lớn nhất của

               S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x)      với x,y,z > 0  và x+y+z =1

 

Giải :

 

Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có

x+ y + z

 

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z  ;  x+z ta có

 

 

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=

Vậy  S

Vậy  S có giá trị lớn nhất là   khi x=y=z=

Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của   

Giải :

 

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số  (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta có

(1)

Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)

 

Ta có

Từ (1) và (2)

 

Vậy   có giá trị nhỏ nhất là   khi  x=y=z=

Bài 20: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn

               

Giải :

 

Vì x,y,z là các số nguyên nên:

 

 

(*)

Mà

 

 

Các số x,y,z phải tìm là

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VẤN ĐỀ 7: HÌNH HỌC

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

—***—

Phần I: Lý thuyết cần nhớ:

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

 

Trong một tam giác vuông: Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền.   Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng.   Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu tương ứng của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.   Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.   II. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. 1. Các tỉ số lượng giác.   Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Không – Hư, tg Đoàn – Kết, Cotg Kết – Đoàn”

A           B H                       C                         A   Cạnh kề Cạnh đối   B Cạnh huyền

 

2. Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ:
3. Với góc nhọn () thì
6. (Các bạn nhớ chỉ được lấy giá trị dương vì tuân theo tính chất a ở mục này)
7. Với góc nhọn và
8. (Công thức này thầy đã chứng minh cho các bạn)

 

3. Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau.

Nếu thì các giá trị lượng giác của  và  chéo nhau, tức là:

4. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. A

c                    b

Vậy: Trong một tam giác vuông:                      B           a                     C

1. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với sin góc đối hoặc cos góc kề.
2. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh góc vuông còn lại với tg góc đối hoặc cotg góc kề.

 

Note: Giải tam giác là khái niệm của việc đi tính số đo của các góc nhọn, độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

 

1. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Đường tròn:

1,Định nghĩa:

Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đường tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)

2, Vị trí tương đối:

* Của một điểm với một đường tròn :

xét (0 ; R ) và điểm M bất kì

Vị trí tương đối	Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R )	OM > R
M nằm trên( O ; R ) hay M thuộc( O ; R)	OM = R
M nằm trong ( O ; R )	OM < R

* Vị trí của một đường thẳng với một đường tròn :

xét ( O; R) và đường thẳng a bất kì (với d là khoảng cách từ  tâm O đến đường thẳng a)

vị trí tương đối	Số điểm chung	Hệ thức
a cắt ( O ; R )	2	d < R
a tiếp xúc ( O ; R )	1	d = R
a và ( O ; R ) không giao nhau	0	d > R

* Của hai đường tròn :

xét ( O;R) và (O’; R’) ( với d = O O’ )

vị trí tương đối	Số điểm chung	Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau	2	R – r < d < R- r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau : + tiếp xúc ngoài : + tiếp xúc trong :	1	d = R + r d = R – r
Haiđường tròn không giao nhau : +hai đường tròn ở ngoài nhau : +đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ :	0	d > R + r   d < R -r

3 . Tiếp tuyến của đường tròn :

1. Định nghĩa :

đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường đó .

 

b, Tính chất :

+ Tính chất 1 : Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua  tiếp điểm .

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .

c, Cách chứng minh :

• Cách 1 : chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó .
• Cách 2 : chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn .

4 . Quan hệ giữa đường kính và dây cung :

* Định lí 1 : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau .

* Định lí 2 : Đường kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.

5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .

* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .

Góc trong đường tròn:

1, Các loại góc trong đường tròn:

– Góc ở tâm

– Góc nội tiếp

– Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn

– Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:

a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau.

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:

a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b, Dây lớn hơn trương cung lớn hơn.

3, Tứ giác nội tiếp:     a, Định nghĩa:

Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn . Đương tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

b, Cách chứng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180⁰

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc.

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

1. 1. Các vị trí tương đối:

a.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

* a // b Û a , b Ì (P), a và b không có điểm chung.

* a cắt b Û a , b Ì (P), a và b có một điểm chung.

* a và b chéo nhau Û a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (P):

* a // (P) Û a và (P) không có điểm chung.

* a cắt (P) Û a và (P) có một điểm chung.

* a Ì (P) Û a và (P) có vô số điểm chung.

1. c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):

* (P) // (Q) Û  không có điểm chung.

* (P) Ç (Q) = a Û có một đường thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).

* (P)  º (Q).

2. 2. Một số cách chứng minh:
3. a. Chứng minh hai đường thẳng song song:

C₁: a và b cùng thuộc một mặt phẳng.

a và b không có điểm chung.

C₂: a // c và b // c.

C₃ :

 

b.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:

d.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

e.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

 

g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

 

 

Một số hình không gian:

1.     Hình lăng trụ: Sxq = P . h                 với P: chu vi đáy V = B . h                         h : chiều cao B: diện tích đáy	1.     Hình trụ: Sxq = P.h = 2pR.h với R: bán kính đáy V = B.h = pR2.h          h: chiều cao.
2.     Hình chóp: với d: đường cao mặt bên	2.     Hình nón:   d: đường sinh; h: chiều cao.
3.     Hình chóp cụt:	3.     Hình nón cụt:
4.     Hình cầu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

HD GIẢI:

1.     Xét tứ giác CEHD ta có: Ð CEH = 900 ,Ð CDH = 900 ( Vì BE,  AD là đường cao) => Ð CEH + Ð CDH = 1800 Mà Ð CEH  và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp 2.     Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEC = 900. CF là đường cao => CF ^ AB => ÐBFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: Ð AEH = Ð ADC = 90⁰ ; Â là góc chung

=> D AEH ~ DADC =>  => AE.AC = AH.AD.

* Xét hai tam giác  BEC và ADC ta có: Ð BEC = Ð ADC = 90⁰ ; ÐC là góc chung

=> D BEC ~ DADC =>  => AD.BC = BE.AC.

4. 4. Ta có ÐC₁ = ÐA₁ ( vì cùng phụ với góc ABC)

ÐC₂ = ÐA₁ ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> ÐC₁ = Ð C₂ => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM

=> D CHM cân tại C

=> CB cũng là đương trung trực của HM  vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

5. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

=> ÐC₁ = ÐE₁ ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

• ÐC₁ = ÐE₂ ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
• ÐE₁ = ÐE₂ => EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  DEF.

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1.     Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2.     Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3.     Chứng minh ED = BC. 4.     Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn  (O). 5.     Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

HD GIẢI:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

Ð CEH = 90⁰ ( Vì BE là đường cao)

Ð CDH = 90⁰ ( Vì AD là đường cao)

=> Ð CEH + Ð CDH = 180⁰

Mà Ð CEH  và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp

2. 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC.   Theo trên  ta có ÐBEC = 90⁰ .

Vậy tam giác  BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ÐE₁ = ÐA₁ (1).

Theo trên DE = BC => tam giác  DBE cân tại D => ÐE₃ = ÐB₁ (2)

Mà ÐB₁ = ÐA₁ ( vì cùng phụ với góc ACB) => ÐE₁ = ÐE₃ => ÐE₁ + ÐE₂ = ÐE₂ + ÐE₃

Mà ÐE₁ + ÐE₂ = ÐBEA = 90⁰ => ÐE₂ + ÐE₃ = 90⁰ = ÐOED => DE ^ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn  (O) tại E.

5. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED² = OD² – OE² ó ED² = 5² – 3²  ó ED = 4cm

 

Bài 3  Cho  nửa đường tròn  đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn  kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.     Chứng minh AC + BD = CD. 2.     Chứng minh ÐCOD = 900. 3.     Chứng minh AC. BD = . 4.     Chứng minh   OC // BM 5.     Chứng minh AB  là tiếp tuyến của đường tròn  đường kính CD. 6.     Chứng minh MN ^ AB. 7.     Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

HD GIẢI:

1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ÐAOM và ÐBOM là hai góc kề bù => ÐCOD = 90⁰.
3. Theo trên ÐCOD = 90⁰ nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).

áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM² = CM. DM,

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R² => AC. BD = .

4. Theo trên ÐCOD = 90⁰ nên OC ^ OD .(1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).

5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  COD đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

=> IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn  đường kính CD

6. 6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra

=> MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB.

7. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.

Bài 4  Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn  nội tiếp, K là tâm đường tròn  bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1.     Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2.     Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn  (O). 3.     Tính bán kính đường tròn  (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

HD GIẢI:

1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn  bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B

Do đó BI ^ BK hayÐIBK = 90⁰ .

Tương tự ta cũng có ÐICK = 90⁰ như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn  đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

2. Ta có ÐC₁ = ÐC₂ (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.

ÐC₂ + ÐI₁ = 90⁰ (2) ( vì ÐIHC = 90⁰ ).

ÐI₁ = Ð ICO (3) ( vì tam giác  OIC cân tại O)

Từ (1), (2) , (3) => ÐC₁ + ÐICO = 90⁰ hay AC ^ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn  (O).

3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.

AH² = AC² – HC² => AH =  = 16 ( cm)

CH² = AH.OH => OH =  = 9 (cm)

OC =  = 15 (cm)

Bài 5 Cho đường tròn  (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA,  gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1.     Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2.     Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3.     Chứng minh   OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4.     Chứng minh OAHB là hình thoi. 5.     Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6.     Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

HD GIẢI:

 

1. (HS tự làm).
2. Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính

Và dây cung) => ÐOKM = 90⁰. Theo tính chất tiếp tuyến ta có  ÐOAM = 90⁰; ÐOBM = 90⁰. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc  90⁰ nên cùng nằm trên đường tròn  đường kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R

=> OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .

Theo tính chất tiếp tuyến ta có  ÐOAM = 90⁰ nên tam giác  OAM vuông tại A có AI là đường cao.

áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA² hay OI.OM = R²; và OI. IM = IA².

4. 4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.

5. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R

 

Bài 6  Cho tam giác  ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn  tâm A bán kính AH. Gọi HD là  đường kính của đường tròn  (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn  tại D cắt CA ở E. 1.     Chứng minh tam giác  BEC cân. 2.     Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3.     Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến  của đường tròn  (A; AH). 4.     Chứng minh BE = BH + DE.

HD GIẢI:

1. D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).

Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => BEC là tam giác  cân.  => ÐB₁ = ÐB₂

2. 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ÐB₁ = ÐB₂ => D AHB = DAIB

=> AI = AH.

3. 3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

 

Bài 7  Cho đường tròn  (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1.     Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. 2.     Chứng minh BM // OP. 3.     Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

 

 

HD GIẢI:

1. (HS tự làm).
2. Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM;  é AOM là góc ở tâm

chắn cung AM  => é ABM = (1) OP là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) =>  é AOP =   (2)

Mà é ABM và é AOP  là hai góc đồng vị nên suy ra  BM // OP. (4)

3. Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : éPAO=90⁰ (vì PA là tiếp tuyến ); éNOB = 90⁰ (gt NO^AB).

=> éPAO = éNOB = 90⁰; OA = OB = R; éAOP = éOBN  (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5)

Từ  (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ

Ta  cũng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác  POJ. (6)

Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có éPAO = éAON = éONP = 90⁰ => K là trung điểm của PO  ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)

AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP ( so le) (7)

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8).

Từ  (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)

Từ  (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.

 

Bài 8  Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM  cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3)  Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác  AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí  M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

 

HD GIẢI:

1. 1. Ta có : éAMB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> éKMF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

éAEB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> éKEF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

=> éKMF + éKEF = 180⁰ . Mà éKMF và éKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

2. Ta có éIAB = 90⁰ ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).

áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI² = IM . IB.

3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => éIAE = éMAE => AE =  ME

=> éABE =éMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)

Theo trên ta có éAEB = 90⁰ => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).

Từ  (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .

4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)

Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác éHAK  (5)

Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).

Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang.

Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân.

AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => éABM = éMAI = 45⁰ (t/c góc nội tiếp ). (7)

Tam giác  ABI vuông tại A có éABI = 45⁰ => éAIB = 45⁰ .(8)

Từ  (7) và (8) => éIAK = éAIF = 45⁰ => AKFI  là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

 

Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến  Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).     HD GIẢI: 1.                 C thuộc nửa đường tròn  nên ÐACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn  ) => BC ^ AE. ÐABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác  ABE vuông tại B có BC là đường cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.

1.     Chứng minh AC. AE không đổi. 2.     Chứng minh  Ð ABD = Ð DFB. 3.     Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

 

2. D ADB có ÐADB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

=> ÐABD + ÐBAD = 90⁰ (vì tổng ba góc của một tam giác  bằng 180⁰)(1)

D ABF có ÐABF = 90⁰ ( BF là tiếp tuyến ).

=> ÐAFB + ÐBAF = 90⁰ (vì tổng ba góc của một tam giác  bằng 180⁰) (2)

Từ  (1) và (2) => ÐABD = ÐDFB ( cùng phụ với ÐBAD)

3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ÐABD + ÐACD = 180⁰ .

ÐECD + ÐACD = 180⁰ ( Vì là hai góc kề bù) => ÐECD = ÐABD ( cùng bù với ÐACD).

Theo trên ÐABD = ÐDFB => ÐECD = ÐDFB. Mà ÐEFD + ÐDFB = 180⁰ ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ra  ÐECD + ÐEFD = 180⁰, mặt khác ÐECD và ÐEFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.

 

Bài 10  Cho  đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đương vuông góc từ S đến AB. 1.     Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn 2.     Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác  PS’M cân. 3.     Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn. HD GIẢI:

1. Ta có SP ^ AB (gt) => ÐSPA = 90⁰ ; ÐAMB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐAMS = 90⁰ . Như vậy P và M cùng nhìn AS dưới một góc bằng 90⁰ nên cùng nằm trên đường tròn  đường kính AS.

Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn.

2. 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau

=> ÐAMM’ = ÐAM’M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)

Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ ^ AB tại H =>MM’// SS’(cùng vuông góc với AB)

=> ÐAMM’ = ÐAS’S; ÐAM’M = ÐASS’ (vì so le trong) (2).

=> Từ (1) và (2) => ÐAS’S = ÐASS’.

Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn => ÐASP=ÐAMP (nội tiếp cùng chắn  AP  )

=> ÐAS’P = ÐAMP => tam giác  PMS’ cân tại P.

3. 3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác  SMS’ vuông tại M => ÐB₁ = ÐS’₁ (cùng phụ với ÐS). (3)

Tam giác  PMS’ cân tại P => ÐS’₁ = ÐM₁ (4)

Tam giác  OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => ÐB₁ = ÐM₃ (5).

Từ (3), (4) và (5) => ÐM₁ = ÐM₃ => ÐM₁ + ÐM₂ = ÐM₃ + ÐM₂

mà ÐM₃ + ÐM₂ = ÐAMB = 90⁰ nên suy ra ÐM₁ + ÐM₂ = ÐPMO = 90⁰ => PM ^ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường tròn  tại M.

Bài 11.  Cho tam giác  ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với  đường tròn  (O)  tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : 1.     Tam giác  DEF có ba góc nhọn. 2.     DF // BC.           3.  Tứ giác BDFC nội tiếp.                4.      HD GIẢI:

1. 1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF cân tại A => ÐADF = ÐAFD < 90⁰ => sđ cung DF < 180⁰ => ÐDEF < 90⁰ ( vì góc DEF nội tiếp chắn cung DE).

Chứng minh tương tự ta có ÐDFE < 90⁰; ÐEDF < 90⁰. Như vậy tam giác  DEF có ba góc nhọn.

2. 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => => DF // BC.
3. 3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có Ð B = ÐC (vì tam giác ABC cân)

=> BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn  .

4. 4. Xét tam giác BDM và CBF Ta có Ð DBM = ÐBCF ( hai góc đáy của tam giác cân).

ÐBDM = ÐBFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); Ð CBF = ÐBFD (vì so le)

=> ÐBDM = ÐCBF .

• DBDM ~DCBF =>

Bài 12  Cho đường tròn  (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn  ở P. Chứng minh : 1.     Tứ giác OMNP nội tiếp. 2.     Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3.     CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4.     Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.

HD GIẢI:

 

1. 1. Ta có ÐOMP = 90⁰ ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 90⁰ (vì NP là tiếp tuyến ).

Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 90⁰ => M và N cùng nằm trên đường tròn  đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.

 

2. 2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)

Tam giác  ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN

=>  ÐOPM = ÐOCM.

Xét hai tam giác  OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 90⁰; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)

Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.

 

3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 90⁰ ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 90⁰ lại có ÐC là góc chung

=> DOMC ~DNDC

=>  => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R² không đổi

=> CM.CN =2R² không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

 

4. ( HD) Dễ thấy DOMC = DDPO (c.g.c) => ÐODP = 90⁰ => P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc với CD tại D.

Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A’ B’ song song và bằng AB.

 

Bài 13 Cho tam giác  ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn  đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn  đường kính HC cắt AC tại F.

1.     Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2.     BEFC là tứ giác nội tiếp. 3.     AE. AB = AF. AC. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

HD GIẢI:

1. Ta có : éBEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => éAEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) éCFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => éAFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) éEAF = 900 ( Vì tam giác  ABC vuông tại A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).

2. 2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn =>éF₁=éH₁ (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  (O₁) và (O₂)       => éB₁ = éH₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)

=> éB₁= éF₁ => éEBC+éEFC = éAFE + éEFC mà éAFE + éEFC = 180⁰ (vì là hai góc kề bù) => éEBC+éEFC = 180⁰  mặt khác éEBC và éEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.

3. 3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có éA = 90⁰ là góc chung; éAFE = éABC ( theo Chứng minh trên)   => DAEF ~DACB =>

=> AE. AB = AF. AC.

* HD cách 2: Tam giác  AHB vuông tại H có HE ^ AB => AH² = AE.AB (*)

Tam giác  AHC vuông tại H có HF ^ AC => AH² = AF.AC (**)

Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC

4. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => éE₁ = éH₁ .

DO₁EH cân tại O₁ (vì có O₁E vàO₁H cùng là bán kính) => éE₂ = éH₂.

=> éE₁ + éE₂ = éH₁ + éH₂ mà éH₁ + éH₂ = éAHB = 90⁰ => éE₁ + éE₂ = éO₁EF = 90⁰ => O₁E ^EF .

Chứng minh tương tự ta cũng có O₂F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  .

 

Bài 14  Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn  có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.

Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn  (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn  (I), (K).

 

1.     Chứng minh EC = MN. 2.     Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn  (I), (K). 3.     Tính MN. 4.     Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn

HD GIẢI:

 

1. 1. Ta có: éBNC= 90⁰( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K)

=> éENC = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

éAMC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => éEMC = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

éAEB = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay éMEN = 90⁰ (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật  => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật  )

 

2. 2. Theo giả thiết EC ^AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K)

=> éB₁ = éC₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => éC₁= éN₃ => éB₁ = éN₃.(4) Lại có KB = KN (cùng là  bán kính) => tam giác  KBN cân tại K => éB₁ = éN₁ (5)

Từ (4) và (5) => éN₁ = éN₃ mà éN₁ + éN₂ = ÐCNB = 90⁰ => éN₃ + éN₂ = ÐMNK = 90⁰ hay MN ^ KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M,

Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn  (I), (K).

3. 3. Ta có éAEB = 90⁰ (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => DAEB vuông tại A có EC ^ AB (gt)

=> EC² = AC. BC ó EC² = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.

4. 4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm

Ta có:

S_(o) = .OA² = 25² = 625; S_(I) = . IA² = .5² = 25; S_(k) = .KB² = . 20² = 400.

Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là  S =  ( S_(o) – S_(I) – S_(k))

S = ( 625- 25- 400) = .200  = 100 314 (cm²)

Bài 15  Cho tam giác  ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn  (O) có đường kính MC. đường thẳng  BM cắt đường tròn  (O) tại D. đường thẳng  AD cắt đường tròn  (O) tại S.

1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng  BA, EM, CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 

HD GIẢI:

1. Ta có éCAB = 90⁰ ( vì tam giác ABC vuông tại A); éMDC = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐCDB = 90⁰ như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên A và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐD₁= ÐC₃( nội tiếp cùng chắn cung AB).

ÐD₁= ÐC₃ => => ÐC₂ = ÐC₃ (hai góc nội tiếp đường tròn  (O) chắn hai cung bằng nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB.

3. 3. Xét DCMB Ta có BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
4. 4. Theo trên Ta có => ÐD₁= ÐD₂ => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
5. Ta có ÐMEC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ÐMEB = 90⁰.

Tứ giác AMEB có ÐMAB = 90⁰ ; ÐMEB = 90⁰ => ÐMAB + ÐMEB = 180⁰ mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn  => ÐA₂ = ÐB₂ .

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐA₁= ÐB₂( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ÐA₁= ÐA₂ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  ADE

TH2 (Hình b)

Câu 2 : ÐABC = ÐCME (cùng phụ ÐACB); ÐABC = ÐCDS (cùng bù ÐADC) => ÐCME = ÐCDS

=> => ÐSCM = ÐECM => CA là tia phân giác của góc SCB.

Bài 16  Cho tam giác  ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn  đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng  CD, AE lần lượt cắt đường tròn  tại F, G.Chứng minh :

1.     Tam giác  ABC đồng dạng với tam giác  EBD. 2.     Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 3.     AC // FG. 4.     Các đường thẳng  AC, DE, FB đồng quy.

HD GIẢI:

1. Xét hai tam giác  ABC và EDB Ta có ÐBAC = 900 ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐDEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐDEB = ÐBAC = 900 ; lại có ÐABC là góc chung => DDEB ~ D CAB . 2.  Theo trên ÐDEB = 900 => ÐDEC = 900 (vì hai góc kề bù); ÐBAC = 900 ( vì DABC vuông tại A) hay ÐDAC = 900 => ÐDEC + ÐDAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp .

      *  ÐBAC = 90⁰ ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐDFB = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay ÐBFC = 90⁰  như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên A và F cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.

3. 3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ÐE₁ = ÐC₁ lại có ÐE₁ = ÐF₁ => ÐF₁ = ÐC₁ mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG.
4. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PHẦN II: MỘT SỐ ĐỀ THI CÓ LỜI GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM

—***—-

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

ĐỀ THI MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ 1

 

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức :P=

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
2. Rút gọn P

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình :

1. Giải hệ phương trình với a=1
2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 3 (2,0 điểm). Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O) và tia Mx  nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm  thứ hai là A. Vẽ đường kính BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng:

1. 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
2. Đoạn thẳng ME = R.
3. Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4. Chứng minh rằng :

 

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM SỐ 1

 

Câu	Đáp án, gợi ý	Điểm
C1.1 (0,75 điểm)	Biểu thức P xác định	0,5     0,25
C1.2 (1,25 điểm)	P=	0,25   0,5   0,5
C2.1 (1,0 điểm)	Với  a = 1, hệ phương trình có dạng:   Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:	0,25     0,25   0,25   0,25
C2.2 (1,0 điểm)	-Nếu a = 0, hệ có dạng:   => có nghiệm duy nhất -Nếu a , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: (luôn đúng, vì  với mọi a) Do đó, với a , hệ luôn có nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.	0,25       0,25   0,25   0,25
C3 (2,0 điểm)	Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với  x > 4. Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là:  (m) => diện tích hình chữ nhật đã cho là:    (m2) Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:   (m)   Khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình: ………….=>  (thoả mãn x>4); (loại vì không thoả mãn x>4) Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là   (m).	0,25     0,25     0,25       0,25 0,25     0,5   0,25
C4.1 (1,0 điểm)	B 1) Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn Ta có: (vì MB là tiếp tuyến) 1 (vì MC là tiếp tuyến) O 2 1 K M => MBO + MCO = = 900 + 900 = 1800 1 E B’ => Tứ giác MBOC nội tiếp C (vì có tổng 2 góc đối =1800) =>4 điểm M, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn	0,25   0,25 0,25   0,25
C4.2 (1,0 điểm)	2) Chứng minh ME = R: Ta có MB//EO (vì cùng vuông góc với BB’) => O1 = M1  (so le trong) Mà M1 = M2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => M2 = O1 (1) C/m được MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC) => O1 = E1 (so le trong)  (2) Từ (1), (2) => M2 = E1 => MOCE nội tiếp => MEO = MCO = 900 => MEO = MBO = BOE = 900   => MBOE là hình chữ nhật => ME = OB = R (điều phải chứng minh)	0,25   0,25   0,25   0,25
C4.3 (1,0 điểm)	3) Chứng minh khi OM=2R thì K di động trên 1 đường tròn cố định: Chứng minh được Tam giác MBC đều => BMC = 600 => BOC = 1200 => KOC = 600 – O1 = 600 – M1 = 600 – 300 = 300 Trong tam giác KOC vuông tại C, ta có: Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm O, bán kính =  (điều phải chứng minh)	0,25 0,25     0,25   0,25
C5 (1,0 điểm)	Do đó,	0,25   0,25   0,25   0,25

 

Câu 5

Cach 2: Đặt x = => x, y , z > 0 và x⁴ + y⁴ + z⁴ = 4.

BĐT cần CM tương đương: x³ + y³ + z³ >

hay (x³ + y³ + z³ ) > 4 = x⁴ + y⁴ + z⁴

ó x³(-x) + y³(-y)+ z³(-z) > 0 (*).

Ta xét 2 trường hợp:

– Nếu trong 3 sô x, y, z tồn tại it nhât một sô , giả sử x thì x³ .

Khi đo: x³ + y³ + z³ >  ( do y, z > 0).

– Nếu cả 3 sô x, y, z đều nhỏ   thì BĐT(*) luôn đung.

Vậy x³ + y³ + z³ > được CM.

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – Không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 2

—***—

Câu I (2,0 điểm)

1)  Giải phương trình  .

• Giải hệ phương trình .

Câu II ( 1,0 điểm)

Rút gọn biểu thức   với .

Câu III (1,0 điểm)

Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó.

Câu IV (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): và parabol (P): .

• Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3).
• Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x₁; y₁) và (x₂; y₂) sao cho .

Câu V (3,0 điểm)  Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (CA). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E A) .

1) Chứng minh BE² = AE.DE.

2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp .

• Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH.

Câu VI ( 1,0 điểm)

Cho 2 số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

 

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu	Nội dung	Điểm
Câu I (2,0đ)
1) 1,0 điểm		0,25
		0,25
		0,25
	.Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = -2	0,25
2) 1,0 điểm	Từ (1)=>	0,25
	<=>x=3	0,25
	Thay x=3 vào (2)=> <=>2y=2	0,25
	<=>y=1 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)=(3;1)	0,25
Câu II (1,0đ)		0,25
		0,25
		0,25
	=-1	0,25
Câu III (1,0đ)	Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (điều kiện 0< x < 15) => độ dài cạnh góc vuông còn lại là (x + 7 )(cm) Vì chu vi của tam giác là 30cm nên độ dài cạnh huyền là: 30–(x + x +7)= 23–2x (cm)	0,25
	Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình	0,25
	(1) Giải phương trình (1) được nghiệm x = 5; x = 48	0,25
	Đối chiếu với điều kiện có x = 5 (TM đk); x = 48 (không TM đk) Vậy độ dài một cạnh góc vuông là 5cm, độ dài cạnh góc vuông còn lại là 12 cm, độ dài cạnh huyền là  30 – (5 + 12) = 13cm	0,25
Câu IV (2,0đ)
1) 1,0 điểm	Vì (d) đi qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 và y = 3 vào hàm số y = 2x – m + 1 ta có 2.(-1) – m +1 = 3	0,25
	-1 – m = 3	0,25
	m = -4	0,25
	Vậy m = -4 thì (d) đi qua điểm A(-1; 3)	0,25
2) 1,0 điểm	Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình	0,25
	; Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt	0,25
	Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) và , Theo hệ thức Vi-et ta có  .Thay y1,y2 vào  có	0,25
	m=-1(thỏa mãn m<3) hoặc m=7(không thỏa mãn m<3) Vậy m = -1 thỏa mãn đề bài	0,25
Câu V (3,0đ)
1) 1,0 điểm	Vẽ đúng hình theo yêu cầu chung của đề bài	0,25
	VìBD là tiếp tuyến của (O) nên BD  OB =>  vuông tại B	0,25
	Vì AB là đường kính của (O) nên AE  BE	0,25
	Áp dụng hệ thức lượng trong  (;BE  AD) ta có BE2 = AE.DE	0,25
2) 1,0 điểm	Có DB= DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau),  OB = OC (bán kính của (O)) => OD là đường trung trực của đoạn BC =>  (1)	0,25
	Có CH // BD (gt), mà  AB  BD (vì BD là tiếp tuyến của (O))	0,25
	=> CH  AB =>                                             (2)	0,25
	Từ (1) và (2) ta có  => tứ giác CHOF nội tiếp	0,25
3)1,0 điểm	Có CH //BD=> (hai góc ở vị trí so le trong) mà cân tại D =>   nên CB là tia phân giác của	0,25
	do CA  CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C của  (3)	0,25
	Trong có HI // BD =>             (4)	0,25
	Từ (3) và (4) =>  mà  I là  trung điểm của CH	0,25
Câu VI (1,0đ)	Với ta có:	0,25
	Tương tự có    .  Từ (1) và (2)	0,25
	Vì mà .	0,25
	Khi a = b = 1 thì . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là	0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 3

—***—

Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức   (với )

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

Bài II (2,0 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc trong  giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho phương trình: x² – (4m – 1)x + 3m² – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện :

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài V (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

GỢI Ý – ĐÁP ÁN

Bài I: (2,5 điểm)

1) Với x = 36, ta có :  A =

2) Với x , x ¹ 16 ta có :

B =  =

3)  Ta có:  .

Để  nguyên, x nguyên  thì  là ước của 2, mà Ư(2) =

Ta có bảng giá trị tương ứng:

	1		2
x	17	15	18	14

Kết hợp ĐK , để  nguyên thì

Bài II: (2,0 điểm)

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được(cv), người thứ  hai làm được(cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được=(cv)

Do đó ta có phương trình

 

Û 5x² – 14x – 24 = 0

D’ = 49 + 120 = 169,

=>  (loại) và (TMĐK)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,

người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ.

Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ: , (ĐK: ).

Hệ .(TMĐK)

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1).

 

2)  + Phương trình đã cho có D = (4m – 1)² – 12m² + 8m = 4m² + 1 > 0,  “m

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt “m

+ Theo ĐL Vi –ét, ta có: .

Khi đó:

Û (4m – 1)² – 2(3m² – 2m) = 7 Û 10m² – 4m – 6 = 0 Û 5m² – 2m – 3 = 0

Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0  =>  m = 1 hay m = .

Trả lời: Vậy….

 

Bài IV: (3,5 điểm)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Ta có ( do chắn nửa đường tròn đk AB)

(do K là hình chiếu của H trên AB)

=>  nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB.

• Ta có  (do cùng chắn  của (O))

và  (vì cùng chắn  .của đtròn đk HB)

Vậy

• Vì OC ^ AB nên C là điểm chính giữa của cung AB Þ AC = BC và

Xét 2 tam giác MAC và EBC có

MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và  =  vì cùng chắn cung  của (O)

ÞMAC và EBC (cgc) Þ CM = CE Þ  tam giác MCE cân tại C   (1)

Ta lại có  (vì chắn cung )

Þ(tính chất tam giác MCE cân tại C)

Mà (Tính chất tổng ba góc trong tam giác)Þ   (2)

Từ (1), (2) Þtam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm).

 

4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK. Xét DPAM và D OBM : Theo giả thiết ta có   (vì có R = OB). Mặt khác ta có  (vì cùng chắn cung của (O)) Þ DPAM   ∽ D OBM .(do OB = OM = R)  (3) Vì (do chắn nửa đtròn(O))

 

Þ  tam giác AMS vuông tại M. Þ

và                                             (4)

Mà PM = PA(cmt) nên

Từ (3) và (4) Þ PA = PS hay P là trung điểm của AS.

Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có:

hay

Mà PA = PS(cmt)  hay BP đi qua trung điểm N của HK. (đpcm)

Bài V: (0,5 điểm) Đối với bài toán này, thầy gợi ý một số cách giải sau để các em có thể lựa chọn.

Cách 1(không sử dụng BĐT Co Si)

Ta có M = =

 

Vì (x – 2y)² ≥ 0, dấu “=” xảy ra Û x = 2y

x ≥ 2y Þ , dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Từ đó ta có M ≥ 0 + 4 -=, dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y

Cách 2:  Ta có M =

Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương  ta có ,

dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vì      x ≥ 2y Þ, dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Từ đó ta có M ≥ 1 +=,  dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y

Cách 3: Ta có M =

Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương  ta có ,

dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vì      x ≥ 2y Þ, dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Từ đó ta có M ≥ 4-=,  dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y

Cách 4:   Ta có M =

Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương  ta có ,

dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vì      x ≥ 2y Þ, dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Từ đó ta có M ≥  += 1+=,  dấu “=” xảy ra Û x = 2y

Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 4

—***—

Câu 1: (2.0 điểm )  Cho biểu thức :

, (Với a > 0 ,  a ¹1)

1. Chứng minh rằng :
2. Tìm giá trị của a để P = a

Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x² và đư­ờng thẳng (d) : y = 2x + 3

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)

Câu 3 (2.0 điểm) : Cho ph­ương trình : x² + 2mx + m² – 2m + 4 = 0

1. Giải ph­ơng trình khi m = 4
2. Tìm m để phư­ơng trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đ­ường tròn (O) có đ­ờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đư­ờng tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đư­ờng thẳng AC tại C. CD là đ­ờng kính của (I). Chứng minh rằng:

1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng
2. Tam giác COD là tam giác cân
3. Đ­ờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đư­ờng tròn (O)

Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số d­ương không âm thoả mãn :

Chứng minh rằng :

 

ĐÁP ÁN- GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 5

—***—

 

 

Câu 1: 2,5 điểm:  Cho biểu thức A =

1. Tìm điều kiện xác định và tú gọn A.
2. b) Tìm tất cả các giá trị của x để
3. c) Tìm tất cả các giá trị của x để đạt giá trị nguyên.

Câu 2: 1,5 điểm:

Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đI xe máy nhanh hơn vận tốc của người đI xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe?

Câu 3: 2 điểm:

Cho phương trình: x² – 2(m-1)x + m² – 6 =0 ( m là tham số).

1. GiảI phương trình khi m = 3
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn

Câu 4: 4 điểm

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đI qua tâm O ( C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng minh.

1. Tứ giác MAOB nội tiếp.
2. MD = MA²
3. OM + MC.MD = MO²
4. CI là tia phân giác góc MCH.

 

 

GỢI Ý – ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5

Câu 1: (2,5 điểm)

a, Với x > 0 và x  4, ta có:

A =  =  = … =

b, A =     >   …  x > 4.

c, B = .  =  là một số nguyên  …   là ước của 14 hay  =  1,  =  7,  =  14.

(Giải các pt trên và tìm x)

Câu 2: (1,5 điểm)

Gọi vân tốc của  xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0

Thì vận tốc của xe máy là x + 28 (km/h)

Trong 3 giờ:

+ Xe đạp đi được quãng đường 3x (km),

+ Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km), theo bài ra ta có phương trình:

3x + 3(x + 28) = 156

Giải tìm x = 12 (TMĐK)

Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h)

Câu 3: (2,0 điểm)

a, Thay x = 3 vào phương trình x² – 2(m – 1)x + m² – 6 = 0 và giải phương trình:

x² – 4x + 3 = 0 bằng nhiều cách và tìm được nghiệm x₁ = 1, x₂ = 3.

b, Theo hệ thức Viét, gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình

x² – 2(m – 1)x + m² – 6 = 0 , ta có:

và x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁.x₂ = 16

Thay vào giải và tìm được m = 0, m = -4

CÂU 4

A D C O H M I              H     B

a, Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên các góc của tứ giác MAOB vuông tại A và B, nên nội tiếp được đường tròn.

b, MAC và MDA có chung  và  =  (cùng chắn ), nên đồng dạng. Từ đó suy ra  (đfcm)

c, MAO và AHO đồng dạng vì có chung góc O và  (cùng chắn hai cung bằng nhau của đường  tròn nội tiếp tứ giác MAOB). Suy ra OH.OM = OA²

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO và các hệ thức OH.OM = OA² MC.MD = MA² để suy ra điều phải chứng minh.

d, Từ MH.OM = MA², MC.MD = MA² suy ra MH.OM = MC.MD   (*)

Trong MHC và MDO có (*) và  chung nên đồng dạng.

hay  (1)

Ta lại có  (cùng chắn hai cung bằng nhau) AI là phân giác của .

Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có:  (2)

MHA và MAO có  chung và  do đó đồng dạng (g.g)

(3) Từ (1), (2), (3) suy ra  suy ra CI là tia phân giác của góc MCH

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 6

—***—

Câu I: (2,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính:
2. Cho biểu thức: P =
3. a) Tìm điều kiện của a để P xác định b) Rút gọn biểu thức P.

 

Câu II: (1,5 điểm)

1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
2. a) Hai đường thẳng cắt nhau
3. b) Hai đường thẳng song song.
4. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax²(a 0) đi qua điểm M(-1; 2).

 

Câu III: (1,5 điểm)

1. Giải phương trình x ² – 7x – 8 = 0
2. Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện

 

Câu IV: (1,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện

x + y > 1.

 

Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).

1. a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. c) Chứng mình

 

ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 6

Câu I: (2,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính:
2. Cho biểu thức: P =
3. a) Tìm điều kiện của a để P xác định: P xác định khi
4. b) Rút gọn biểu thức P.

P ==

=

==

Vậy với  thì P =

Câu II: (1,5 điểm)

1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
2. a) Để hàm số y = (m+3)x + 4 là hàm số bậc nhất thì m + 3  0 suy ra m  -3.

Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau a  a’

-1 m+3m  -4

Vậy với m  -3 và m  -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau.

1. b) Đồ thị của hàm số đã cho là Hai đường thẳng song song

thỏa mãn điều kiện m  -3

Vậy với m = -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.

 

2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax²(a 0) đi qua điểm M(-1; 2).

Vì đồ thị hàm số y = ax² (a  0) đi qua điểm M(-1; 2) nên ta thay x = -1 và y = 2 vào hàm số ta có phương trình 2 = a.(-1)² suy ra a = 2 (thỏa mãn điều kiện a  0)

Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số y = ax² (a  0) đi qua điểm M(-1; 2).

 

Câu III: (1,5 điểm)

1. Giải phương trình x ² – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x₁= -1 và x₂= 8

 

2. Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện .

Để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thì ’  0 ó 1 – m + 3   0 ó m  4

Theo viet ta có: x₁+ x₂ =2 (1) và x₁. x₂ = m – 3 (2)

Theo đầu bài:  = 6  (3)

Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m – 3)(2)² – 2(m-3)=6 ó 2m =12 ó m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m  4 vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện .

 

Câu IV: (1,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.

Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0.

Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.

 

Câu V: (3,0 điểm

HD Giải.

 

1. a) nên tứ giác AMCO nội tiếp
2. b) . Tứ giác AMDE có

D, E cùng nhìn AM dưới cùng một góc 90⁰

Nên AMDE nội tiếp

1. c) Vì AMDE nội tiếp nên

Vì AMCO nội tiếp nên

Suy ra

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 7

—***—

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức , với

1. Rút gọn biểu thức Q
2. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.

 

Câu 2. (1,5 điểm)

Cho phương trình , với x là ẩn số,

1. Giải phương trình đã cho khi m = – 2
2. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và . Tìm hệ thức liên hệ giữa  và  mà không phụ thuộc vào m.

 

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình , với

1. Giải hệ đã cho khi m = –3
2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

 

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho hàm số  có đồ thị (P). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(0;1) và có hệ số góc k.

1. Viết phương trình của đường thẳng d
2. Tìm điều kiện của k để đt d cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt.

 

Câu 5. (2,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC

1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn
2. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
3. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng

 

ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 7

 

Câu 1.
a.   Vậy
b. Q nhận giá trị nguyên   khi  khi 2 chia hết cho đối chiếu điều kiện thì
Câu 2. Cho pt , với x là ẩn số, a.       Giải phương trình đã cho khi m = – 2 Ta có phương trình     Vậy phương trinh có hai nghiệm  và
b. Theo Vi-et, ta có Suy ra
Câu 3.        Cho hệ phương trình , với   a. Giải hệ đã cho khi m = –3 Ta được hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm  với
b. Điều kiện có nghiệm của phương trình       Vậy phương trình có nghiệm khi  và Giải hệ phương trình  khi . Vậy hệ có nghiệm (x; y) với
Câu 4. a. Viết phương trình của đường thẳng d Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1) nên Vậy
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d , có d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi
Câu 5. a.       BCDE nội tiếp   Suy ra BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC
b.      H, J, I thẳng hàng IB ^ AB; CE ^ AB (CH ^ AB) Suy ra IB // CH IC ^ AC; BD ^ AC (BH ^ AC) Suy ra BH // IC Như vậy tứ giác BHCI là hình bình hành J trung điểm BC  Þ J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng
c. cùng bù với góc  của tứ giác nội tiếp BCDE vì DABI vuông tại B Suy ra  , hay Suy ra DAEK vuông tại K Xét DADM vuông tại M (suy từ giả thiết) DK ^ AM (suy từ chứng minh trên) Như vậy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 8

—***—

Bài 1: (3, 0 điểm)

Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi

1. Giải phương trình: 2x – 5 = 0
2. Giải hệ phương trình:
3. Rút gọn biểu thức  với
4. Tính giá trị của biểu thức

 

Bài 2: (2, 0 điểm)

Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là   và

 (m là tham số, m 0).

1. a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
2. b) Chứng minh rằng với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

 

Bài 3: (2, 0 điểm)

Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

 

Bài 4: (3, 0 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.

1. Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh AK.AH = R²

Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI = KB.

 

ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 8

Bài 1:

1. a) 2x – 5 = 0
2. b)

c)

 

1. d)

Bài 2:

1. a) Với và  lần lượt trở thành .

Lúc đó phương trình hoành độ giao điểm của  và  là:  có  nên có hai nghiệm là .

Với

Với

Vậy tọa độ giao điểm của  và  là  và .

1. b) Phương trình hoành độ giao điểm của và là: .

Với  thì  là phương trình bậc hai ẩn x có  với mọi m. Suy ra  luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Hay với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3:

Đổi

Đặt địa điểm :

– Quy Nhơn là A

– Hai xe gặp nhau là C

– Bồng Sơn là B

Gọi vận tốc của xe máy là . ĐK : .

 

Suy ra :

Vận tốc của ô tô là .

Quãng đường BC là :

Quãng đường AC là :

Thời gian xe máy đi từ A đến C là :

Thời gian ô tô máy đi từ B đến C là :

Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta có phương trình :

Giải pt :

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :  (thỏa mãn ĐK)

(không thỏa mãn ĐK)

Vậy vận tốc của xe máy là .

Vận tốc của ô tô là .

Bài 4:

1. Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

Ta có :  (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

hay

Tứ giác BCHK có

tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

Dễ thấy

có  cân tại

có MC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (gt)  cân tại

là tam giác đều

là tam giác cân (KI = KM) có  nên là tam giác đều .

Dễ thấy  cân tại B có  nên là tam giác đều

Gọi E là giao điểm của AK và MI.

Dễ thấy  KB // MI (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) mặt khác   nên  tại E .

Ta có : mặt khác  (cùng chắn )

hay

(đpcm)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 9

—***—

Câu 1. (2 điểm)
1.Tính

2 .Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax – 1 đi qua điểm  M(1;5)

 

Câu 2: (3 điểm)

1.Rút gọn biểu thức:  với a>0,a

2.Giải hệ pt:

3. Chứng minh rằng pt:  luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Giả sử x₁,x₂ là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 3: (1,5 điểm)

Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB.

Câu 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O)  và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn  (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.

1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.

2.Chứng minh KA²=KN.KP

3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh  tia  NS là tia phân giác của góc.

4. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK .Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R.

Câu 5: (0,5điểm)

Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn:

 

Hãy tính giá trị của biểu thức

ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 9

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
1	1	KL:	1
	2	Do đồ thị hàm số y = ax-1 đi qua M(1;5) nên ta có a.1-1=5a=6 KL:	1
2	1	KL:	0,5     0,5
	2	KL:	1
	3	Xét Pt:   Vậy pt luôn có nghiệm với mọi m Theo hệ thức Viet ta có Theo đề bài Vậy  minB=1 khi và chỉ khi m = -1 KL:	0,25       0,25             0,5
3		Gọi độ dài quãmg đường AB là x (km) x>0 Thời gian xe tải đi từ A đến B là h Thời gian xe Taxi đi từ A đến B là :h Do xe tải xuất phát trước  2h30phút =   nên ta có pt                 Giá trị   x = 300 có thoả mãn ĐK   Vậy độ dài quãng đường AB là 300 km.	0,25   0,25   0,25     0,25   0,25     0,25
4	1	Xét tứ giác APOQ có (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P) (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q) ,mà hai góc này là 2 góc đối nên tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp	0,75
	2	Xét AKN và PAK có  là góc chung  ( Góc nt……cùng chắn cung NP) Mà (so le trong của PM //AQ AKN ~ PKA (gg) (đpcm)	0,75
	3	Kẻ đường kính QS của đường tròn (O) Ta có AQQS (AQ là tt của (O) ở Q) Mà PM//AQ (gt) nên PMQS Đường kính QS PM nên QS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ (hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau) Hay NS là tia phân giác của góc PNM	0,75
	4	Chứng minh được AQO vuông ở Q, có  QGAO(theo Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)   Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có Do KNQ ~KQP (gg) mà nên AK=KQ Vậy APQ có các trung tuyến AI và PK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm	0,75
5		Ta có:   *TH1: nếu a+ b=0 Ta có    ta có Các trường  hợp còn lại xét tương tự Vậy	0,25         0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 10

—***—

 

 

Bài 1: Cho biểu thức: P =

a,Rút gọn P

b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.

 

Bài 2:  Cho phương trình: x²-( 2m + 1)x + m² + m – 6= 0 (*)

a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm.

b.Tìm m để phương trình  (*) có 2 nghiệm x₁; x₂ thoả mãn     =50

Câu 3: Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe?

 

Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC  nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.

b, Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.

 

 

 

ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 10

Bài 1: (2 điểm). ĐK: x

a, Rút gọn: P =       <=>            P =

1. P = Để P nguyên thì

Vậy với x=  thì P có giá trị nguyên.

Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:

 

1. Giải phương trình:

 

Bài 3   Gọi vân tốc của  xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0

Thì vận tốc của xe máy là x + 28 (km/h)

Trong 3 giờ:

+ Xe đạp đi được quãng đường 3x (km),

+ Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km), theo bài ra ta có phương trình:

3x + 3(x + 28) = 156

Giải tìm x = 12 (TMĐK)

Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h)

 

Bài 4

1. Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên

CH  và BH => BD và CD.

Do đó:  ABD = 90⁰ và  ACD = 90⁰ .

Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O

Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD

của đường tròn tâm O thì

tứ giác BHCD là hình bình hành.

1. Vì P đối xứng với D qua AB nên APB =  ADB

nhưng  ADB =ACB   nhưng ADB = ACB

Do đó: APB = ACB  Mặt khác:

AHB +  ACB = 180⁰   => APB + AHB = 180⁰

Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên  PAB = PHB

Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB

Chứng minh tương tự ta có:   CHQ = DAC

Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 180⁰

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng

c). Ta thấy  APQ là tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ

đạt giá trị lớn nhất ó AP và AQ là lớn nhất hay ó AD là lớn nhất

ó D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O

 

 

 

 

 

 

 

PHẦN III: MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN

(THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI THƯỜNG GẶP)

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 1

—***—

 

Bài 1Cho biểu thức A =   +                

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có giá trị nguyên.

 

Bài 2: (2 điểm)

Cho các đường thẳng:

y = x-2                    (d₁)

y = 2x – 4               (d₂)

y = mx + (m+2)     (d₃)

1. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d₃ ) luôn đi qua với mọi giá trị của m.
2. Tìm m để ba đường thẳng (d₁); (d₂); (d₃) đồng quy .

 

Bài 3: Cho phương trình x²  – 2(m-1)x + m – 3 = 0   (1)

1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) mà không phụ thuộc vào m.

 

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x²₁ + x²₂ (với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình (1))

Bài 4: Cho đường tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí  trên cung lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD và CE.

1. Chứng minh rằng DE// BC
2. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp
3. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F

Chứng minh hệ thức:     =   +

 

Bài 5:    Cho các số dương a, b, c  Chứng minh rằng:

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 2

—***—

Bài 1: (2đ)

Cho biểu thức:

P =

1. a) Rút gọn P.
2. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 2: (2đ) Một người đự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, do đường khó đi nên người đó giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đường còn lại, vì thế người đó đến B chậm hơn dự định 15 phút. Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp.

 

Bài 3: (1,5đ)  Cho hệ phương trình:

1. Giải hệ phương trình với m = 3
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y = 1

Bài 4: (3đ)Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm M tuỳ ý trên nửa đường tròn.Gọi N và P lần lượt là điểm chính giữa của cung AM và cung MB. AP cắt BN tạiI.

1. a) Tính số đo góc NIP.
2. b) Gọi giao điểm của tia AN và tia BP là C; tia CI và AB là D.

Chứng minh tứ giác DOPN nội tiếp được.

1. c) Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn OC khi M di động trên nửa tròn tròn tâm O

Bài 5: (1,5đ) Cho hàm số y = -2x² (P) và đường thẳng y = 3x + 2m – 5  (d)

1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ hai điểm đó.
2. Tìm quỹ tích chung điểm I của AB khi m thay đổi.

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 3

—***—

 

 

Bài 1(2 điểm):       Cho biểu thức

1. Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa
2. Rút gọn biểu thức
3. Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất

 

Bài 2(2,5 điểm):Cho hàm số y = 2x² (P) và y = 2(a-2)x – a²  (d)

1. Tìm a để (d) đi qua điểm A(0;-8)
2. Khi a thay đổi hãy xét số giao điểm của (P) và (d) tuỳ theo giá trị của a .
3. Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ O(0;0) bằng

 

Bài 3(2 điểm):

Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi là 48cm. Người ta cắt bỏ 4 hình vuông có cạnh là 2cm ở 4 góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật(không có nắp). Tính kích thước của tấm tôn đó, biết rằng thể tích hình hộp bằng 96 cm³.

 

Bài 4(3 điểm):

Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng:

1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.
2. MN// DE
3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp DCDE không đổi.

 

Bài 5(0,5 điểm):        Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn:  (x²+1)( x²+ y²) = 4x²y

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 4

—***—

 

 

Câu 1: (2,0điểm)

Cho biêủ  thức A =

1) Rút gọn A

2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên

 

Câu2: (2,0điểm)            Cho hệ phương trình :

• Tìm a biết y=1
• Tìm a để :  x²+y² =17

 

Câu3: (2,0điểm)   Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình : y = 2x² , một đường thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I(0;2).

• Viết phương trình đường thẳng (d)
• CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
• Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x₁, x₂ . CMR :

 

Câu4: (3,5điểm)  Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy D trên cung AB (D khác A,B), lấy điểm C nằm giữa O và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax và By lần lượt tại E và F .

• CMR : Góc DFC bằng góc DBC
• CMR : ECFvuông
• Giả sử EC cắt AD tại M, BD cắt CF tại N. CMR : MN//AB

4)CMR: Đường tròn ngoại tiếp EMD và đường tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc nhau tại D.

 

Câu5: (0,5điểm)     Tìm x, y thoả mãn :

 

 

 

 

 

KỲ THI TUYỂN SINH THPT

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 5

—***—

 

 

Bài 1: (2,5 điểm)

   Cho biểu thức

• Rút gọn biểu thức P.
• Tìm a để

 

Bài 2: (2,5 điểm)

Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

 

Bài 3: (1 điểm)

Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số  y = 2x+3 và y = x².

Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành.

Tính S_ABCD

 

Bài 4: (3 điểm)

Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM .

1. CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.
2. Tính AH.AK theo R.
3. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó .

Bài 5: (1 điểm)

Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x+y = 2.

Chứng minh: x²y²(x²+ y²) £ 2

 

 

 

Giá

 

hggo án, giáo án toán, GA, Giáo án toán 6, Giáo án toán 7, Giáo án toán 8, Giáo án toán 9,

Giáo án toán 10, Giáo án toán 11, Giáo án toán 12, Giáo án toán 1, Giáo án toán 2, Giáo án toán 3, Giáo án toán 4, Giáo án toán 5,

PTNL, 5 hoạt động, phát triển năng lực, Chuyên đề toán, học sinh giỏi toán, HSG, đề HSG, Đề Học sinh giỏi, Math, Edu, stem,

Giáo án, giáo án Văn, GA, Giáo án Văn 6, Giáo án Văn 7, Giáo án Văn 8, Giáo án Văn 9, Giáo án Văn 10, Giáo án Văn 11, Giáo án Văn 12, Giáo án Văn 1, Giáo án Văn 2, Giáo án Văn 3, Giáo án Văn 4, Giáo án Văn 5,

PTNL, 5 hoạt động, phát triển năng lực, Chuyên đề Văn, học sinh giỏi Văn, HSG, đề HSG, Đề Học sinh giỏi, Math, Edu, stem,

7

HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN CHUẨN KIẾN THỨC KĨ NĂNG MÔN TOÁN THCS
LỜI GIỚI THIỆU:
Ngày 5/5 / 2006 Bộ Trưởng GD&ĐT đã kí QĐ số 16/2006/QĐ-BGDĐT về việc GDPT.
Chương trình giáo dục phổ thông là kết quả của sự điều chỉnh, hoàn thiện, tổ chức lại các chương trình đã được ban hành, làm căn cứ cho việc quản lí, tổ chức dạy học và kiểm tra đánh giá tất cả các cấp học, trường học trên phạm vi cả nước.
Chương trình GDPT là một kế hoạch SP gồm:
– Mục tiêu GD;
– Phạm vi và cấu trúc nội dung GD;
– Chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu về thái độ của từng môn học, cấp học.
– PP và tổ chức GD;
– Đánh giá kết quả GD từng năm học của mỗi lớp, cấp học.
Trong chương trình GDPT, chuẩn kiến thức, kĩ năng được thể hiện, cụ thể hoá ở các chủ đề của chương trình môn học, theo từng lớp học; đồng thời được thể hiện ở phần cuối của chương trình mỗi cấp học.
Có thể nói: Điểm mới của chương trình GDPT lần này là đưa chuẩn kiến thức, kĩ năng vào thành phần của chương trình GDPT, đảm bảo việc chỉ đạo dạy học, kểm tra đánh giá theo chuẩn kiến tức kĩ năng, tạo nên sự thống nhất trong cả nước; góp phần khắc phục tình trạng quá tải trong giảng dạy, học tập, giảm thiểu dạy thêm, học thêm.
Nhìn chung, ở các trường PT hiện nay, bước đầu đã vận dịng được chuẩn kiến thức, kĩ năng trong giảng dạy, học tập, kiểm tra đánh giá; song về tổng thể vẫn chưa đáp ứng được yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông; cần phải tiếp tục quan tâm, chú trọng hơn nữa.
Nhằm khác phục hạn chế này, BGD&ĐT tỏ chức biên soạn, xuất bản tài liệu: Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng cho các môn học, lớp học của các cấp tiểu học, THCS, THPT.
Bộ tài liệu này được biên soạn theo hướng chi tiết tường minh và các y/c cơ bản, tối thiểu về kiến thức kĩ năng của chuẩn kiến thức, kĩ năng bằng các nội dung chọn lọc trong SGK, tạo ĐK thuận lợi hơn cho GV và HS trong quá trình giảng dạy, học tập và kiểm tra đánh giá.
Cấu trúc của bộ tài liệu này gồm 2 phần chính:
I. Giới thiệu chung về chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình GDPT;
II. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng của từng môn học trong chương trình GDPT.
Bộ tài liệu: Hướng dẫn chuẩn kiến thức, kĩ năng các môn học ở trường THCS và THPT có sự tam gia của biên soạn, thẩm định, góp ý của các nhà khoa học, nhà SP, các cán bộ nghiên cứu và chỉ đạo chuyên môn, các GVG ở các địa phương.
Hi vọng rằng: Hướng dẫn chuẩn kiến thức, kĩ năng sẽ là bộ tài liệu hữu ích đối với cán bộ quản lí GD, GV và HS trong cả nước. Các sở GD&ĐT chỉ đạo triển khai sử dụng bộ tài liệu và tạo ĐK để các cơ sở GD, các GV và HS thực hiện tốt y/c đổi mới PPDH, đổi mới kiểm tra đánh giá, góp phần tích cực, quan trọng vào việc nâng cao chất lượng GD trung học.
Lần đầu tiên được xuất bản, bộ tài liệu này khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Bộ GD&ĐT rất mong nhận được những ý kiến nhận xét, đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc gần xa để tài liệu được tiếp tục bổ sung, hoàn thiện hơn cho lần xuất bản sau.
BỘ GD&ĐT

PHẦN THỨ NHẤT:
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CỦA CHƯƠNG TRÌNH GDPT
I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CHUẨN:
1. Chuẩn về y/c, tiêu chí: (gọi chung là y/c)
Tuân thủ các nguyên tắc nhất định, được dùng làm thước đo đánh giá hoạt động, công việc, sản phẩm của lĩnh vực nào đó. Đạt được những y/c của chuẩn là đạt được mục tieeu mong muốn của chủ thể quản lí hoạt động, công việc, sản phẩm đó.
Yêu cầu là sự cụ thể hoá, chi tiết tường minh Chuẩn, chỉ ra những căn cứ để đánh giá chất lượng. Yêu cầu có thể được đo thông qua chỉ số thực hiện. Yêu cầu được xem như những ” chốt kiểm soát” để đánh giá chất lượng đầu vào, đầu ra cũng như quá trình thực hiện.
2. Những y/c cơ bản của chuẩn:
2.1. Chuẩn phải có tính khách quan, nhìn chung không phụ thuộc vào quan điểm hay thái độ chủ quan của con người sử dụng chuẩn.
2.2. Chuẩn phải có hiệu lực ổn định cả về phạm vi lẫn thời gian áp dụng.
2.3. Đảm bảo tính khả thi, có nghĩa là chuẩn đó có thể đạt được (là trình độ hay mức độ dung hoà hợp lí giữa y/c phát triển ở mức cao hơn với những thực tiển đang diễn ra).
2.4. Đảm bảo tính cụ thể tường minh và có chức năng định lượng.
2.5. Đảm bảo không mâu thuẩn với các chuẩn khác trong cùng một lĩnh vực hoặc những lĩnh vực có liên quan.
II. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CỦA CHƯƠNG TRÌNH GDPT.
Chuẩn kiến thức, kĩ năng và y/c về thái độ của CTGDPT được thể hiện cụ thể trong các chương trình môn học, hoạt động GD (gọi chung là môn học) và các chương trình cấp học.
Đối với mỗi bộ môn, mỗi cấp học, mục tiêu của môn học, cấp học được cụ thể hoá thành kiến thức, kĩ năng của chương trình môn học, chương trình cấp học.
1. Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình môn học là các y/c cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của môn học mà HS cần phải và có thể đạt được sau mỗi đơn vị kiến thức (mỗi bài, chủ đề, chủ điểm, mô đun).
Chuẩn kiến thức, kĩ năng của một đơng vị kiến thức là các y/c cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của đơn vị kiến thức mà HS cần phải và có thể đạt được.
Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng thể hiện mức độ cần đạt về kiến thức, kĩ năng.
Mỗi y/c về kiến thức, kĩ năng có thể chi tiết hơn bằng những y/c về kiến thức, kĩ năng cụ thể, tường minh hơn; minh chứng bằng những VD thể hiện được cả về nội dung kiến thức, kĩ năng và mức độ y/c cần đạt về kiến thức, kĩ năng.
2. Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình cấp học là các y/c cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của các môn học mà HS cần phải và có thể đạt được sau từng giai đoạn học tập trong cấp học.
2.1. Chuẩn kiến thức, kĩ năng ở chương trình các cấp học đề cập tới những y/c tối thiểu về kiến thưc, kĩ năngmà HS cần và có thể đạt được sau khi hoàn thành chương trình GD của từng lớp học và cấp học. Các chuẩn này cho thấy ý nghĩa quan trọng của việc gắn kết, phối hợp các môn học nhằm đạt được mục tiêu GD của cấp học.
2.2. Việc thể hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng ở cuối chương trình cấp học thể hiện hình mẫu mong đợi về người học sau mỗi cấp học và cần thiết cho công tác quản lí, chỉ đạo đaodf tạo, bồi dưỡng GV.
2.3. Chương trình cấp học đã thể hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng không phải đối với môn học, các chuẩn kiến thức, kĩ năng được biên soạn theo tinh thần:
a) Các chuẩn kiến thức, kĩ năng không được đưa vào cho từng môn học riêng biệt mà cho từng lĩnh vực học tập nhằm thể hiện sự gắn kết giữa các môn học và hoạt động GD trong nhiệm vụ thực hiện mục tiêu của cấp học.
b) Chuẩn kiến thức, kĩ năng và y/c về thái độ được thể hiện trong chương trình cấp học, tức là các y/c cụ thể mà HS cần đạt được ở cuối cấp học. Cách thể hiện này tạo một tầm nhìn về sự phát triển của người học sau mỗi cấp học, đối chiếu với những gì mà mục tiêu cấp học đã đề ra.
3. Những đặc điểm của chuẩn kiến thức, kĩ năng:
3.1. Chuẩn kiến thức, kĩ năng được chi tiết tường minh bằng các yêu cầu cụ thể, rõ ràng về kiến thức, kĩ năng.
3.2. Chuẩn kiến thức, kĩ năng có tính tối thiểu, nhằm đảm bảo mọi HS cần phải và có thể đạt được những y/c cụ thể này.
3.3. Chuẩn kiến thức, kĩ năng là thành phần của CTGDPT.
Trong CTGDPT, chuẩn kiến thức, kĩ năng và y/c về thái độ đối với người học được thể hiện, cụ thể hoá ở các chủ đề của CT môn học theo từng lớp và ở các lĩnh vực học tập; đồng thời chuẩn kiến thức, kĩ năng và y/c thái độ cũng được thể hiện ở phần cuối chương trình của từng cấp học.
Chuẩn kiến thức kĩ năng là thành phần của CTGDPT. Việc chỉ đạo dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức, kĩ năng sẽ tạo nên sự thống nhất ; làm hạn chế dạy học quá tải, đưa thêm nhiều nội dung nặng nề, quá cao so với chuẩn kiến thức, kĩ năng vào dạy học, kiểm tra đánh giá, góp phần làm giảm tiêu cực của dạy thêm, học thêm; tạo ĐK cơ bản, quan trọng để có rthể tổ chức giảng dạy học tập, kiểm tra đánh giá và thi theo chuẩn kiến thức, kĩ năng.
III. CÁC MỨC ĐỘ VỀ CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Các mức độ về kiến thức, kĩ năng được thể hiện cụ thể trong Chuẩn kiến thức, kĩ năng của CTGDPT.
Về kiến thức: Y/c HS phải nhớ, nắm vững, hiểu rõ các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK, đó là nền tảng vững vàng để có thể phát triển năng lực nhận thức ở góc độ cao hơn.
Về kĩ năng: Biết vận dụng các kiến thức đã học để trả lời câu hỏi, giải BT, làm thực hành; có kĩ năng tính toán, vẽ hình, dựng biểu đồ,…
Kiến thức, kĩ năng phải dựa trên cơ sở phát triển năng lực, trí tuệ HS ở các mức độ, từ đơn giản đến phức tạp; nội dung bao hàm các mức độ khác nhau của nhận thức.
Mức độ cần đạt được về kiến thức được xác định theo 6 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, phân tích, đánh giá và sáng tạo (có thể tham khảo thêm phân loại nhận thức gồm 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng ở mức độ thấp, vận dụng ở mức độ cao)
1. Nhận biết: Là sự nhớ lại các dữ liệu, thông tin đã có trước đay; nghĩa là có thể nhận biết thông tin, ghi nhớ, tái hiện thông tin, nhắc lại một loạt dữ liệu, từ các sự kiện đơn giản đến các lí thuyết phức tạp. Đây là mức độ y/c thấp nhất của trình độ hận thức, thể hiện ở chỗ HS có thể và chỉ cần nhớ hoặc nhận ra khi được đưa ra hoặc dựa trên những thông tin có tính đặc thù của một khái niệm, một sự vật, một hiện tượng.
HS phát biểu đúng một định nghĩa, định lí, định luật nhưng chưa giải thích và vận dụng được chúng.
Có thể cụ thể hoá mức độ nhận biết bằng các y/c:
– Nhận ra, nhớ lại các k/n, đ/l, đ/luật, t/c.
– Nhận dạng được (không cần giải thích) các k/n hình thể, vị trí tương đối giữa các đối tượng trong các tình huống đơn giản.
– Liệt kê, xác định các vị trí tương đối, các mối quan hệ đã biết giữa các yếu tố, giữa các hiện tượng.
2. Thông hiểu: Là khả năng nắm được, hiểu được ý nghĩa của các k/n, sự vật, hiện tượng; giải thích, c/m được ý nghĩa của các k/n, sự vật, hiện tượng, liên quan đến ý nghĩa của các mối quan hệ giữa các k/n, thông tin mà HS đã học hoặc đã biết. Điều đó có thể được thể hiện bằng việc chuyển thông tin từ dạng này sang dạng khác, bằng cách giải thích thông tin (giải thích hoặc tóm tắt) và bằng cách ước lượng xu hướng tương lai (dự báo hệ quả hoặc ảnh hưởng).
Có thể cụ thể hoá mức độ thông hiểu bằng các y/c:
– Diễn đạt bằng ngôn ngữ cá nhân các k/n, đ/l, đ/luật, tính chất chuyển đổi được từ hình thức ngôn ngữ này sang hình thức ngôn ngữ khác (VD: Từ lời sang công thức, kí hiệu, số liệu và ngược lại)
– Biểu thị minh hoạ, giải thích được ý nghĩa của các khái niệm, hiện tượng, định nghĩa, đ/l, đ/luật.
– Lựa chọn, bổ sung, sắp xếp lại những thông tin cần thiết để giải quyết một vấn đề nào đó.
– Sắp xếp lại các ý trả lời câu hỏi hoặc lời giải bài toán theo cấu trúc lô gic.
3. Vận dụng: Là khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào hoàn cảnh cụ thể mới : Vận dụng nhận biết, hiểu biết thông tin để giải quyết vấn đề đặt ra; là khả năng đòi hỏi HS phải biết vận dụng kiến thức, biết sử dụng PP nguyên lí hay ý tưởng để giải quyết một vấn đề nào đó.
Yêu cầu áp dụng được các quy tắc, PP, k/n, nguyên lí, đ/l, đ/luật, công thức để giải quyết một vấn đề trong học tập hoặc của thực tiễn. Đây là mức độ thông hiểu cao hơn mức độ trên.
Có thể cụ thể hoá mức độ vận dụng bằng các y/c:
– So sánh các PP giải quyết vấn đề.
– Phát hiện lời giải có mâu thuẩn, sai lầm và chỉnh sửa được.
– Giải quyết được những tình huống mới bằng cách vận dụng các k/n, đ/l, đ/luật, t/c đã biết.
– Khái quát hoá, trìu tượng hoá từ tình huống đơn giản, đơn lẻ quen thuộc sang tình huống mới phức tạp hơn.
4. Phân tích: Là khả năng phân chia một thông tin ra thành cacs thông tin nhỏ sao cho có thể hiểu được cấu trúc, tổ chức của nó và thiết lập mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng.
Yêu cầu chỉ ra được các bộ phận cấu thành, xác định được mối quan hệ giữa các bộ phận, nhận biết và hiểu được nguyên lí cấu trúc của các bộ phận cấu thành. Đây là mức độ cao hơn vận dụng vì nó đòi hỏi sự thấu hiểu cả về nội dung lẫn hình thái cấu trúc của thông tin, sự vật, hiện tượng.
Có thể cụ thể hoá mức độ phân tích bằng các y/c:
– Phân tích cacsự kiện, dữ kiện thừa, thiếu hoặc đủ để giải quyết được vấn đề.
– Xác định được mối quan hệ giữa các bộ phận trong toàn thể.
– Cụ thể hoá được những vấn đề trìu tượng.
– Nhận biết và hiểu được cấu trúc các bộ phận cấu thành.
5. Đánh giá: Là khả năng xác định giá trị thông tin: Bình xét, nhận định, xác định được giá trị một tư tưởng, một nội dung kiến thức, một phương pháp. Đây là một bước mới trong lĩnh hội kiến thức được đặc trưng bởi việc đi sâu vào bản chất của đối tượng sự vật, hiện tượng. Việc đánh giá dựa trên các tiêu chí nhất định; đó có thể là các tiêu chí bên trong (cách tổ chức) hoặc các tổ chức bên ngoài (phù hợp với mục đích)
Yêu cầu xác định các tiêu chí đánh giá (người đánh giá tự xác định hoặc được cung cấp các tiêu chí) và vận dụng để đánh giá.
Có thể cụ thể hoá mức độ đánh giá bằng các y/c:
– Xác định được các tiêu chí đánh giá và vận dụng để đánh giá thông tin sự vật, hiện tượng, sự kiện.
– Đánh giá nhận định giá trị của các thông tin tư liệu theo mục đích, y/c xác định.
– phân tích những yếu tố, dữ kiện đã cho để đánh giá sự thay đổi về chất của sự vật, sự kiện.
– Đánh giá, nhận định được giá trị của nhân tố mới xuất hiện khi thay đổi mối quan hệ cũ.
Các công cụ đánh giá có hiệu quả phải giúp xác định được kết quả học tập ở mọi cấp độ nói trên để đưa ra một nhận định chính xác về năng lực của người được đánh giá về chuyên môn liên quan.
6. Sáng tạo: Là khả năng tổng hợp, sắp xếp thiết kế lại thông tin, khai thác bổ sung thông tin từ các nguồn tư liệu khác để sáng lập một hình mẫu mới.
Yêu cầu tạo ra một hình mẫu mới, một mạng lưới các quan hệ trìu tượng (sơ đồ phân lớp thông tin). Kết quả học tập trong lĩnh vực này nhấn mạnh vào các hành vi, năng lực sáng tạo, đặc biệt là trong việc hình thành các cấu trúc và mô hình mới.
Có thể cụ thể hoá mức độ sáng tạo bằng các y/c:
– Mỡ rộng một mô hình ban đầu thành mô hình mới.
– Khái quát hoá vấn đề riêng lẻ, cụ thể thành vấn đề tổng quát mới.
– Kết hợp với nhiều yếu tố riêng thành một tổng thể hoàn chỉnh mới.
– Dự đoán, dự báo sự xuất hiện nhân tố mới khi thay đổi các mối quan hệ cũ.
Đây là mức độ cao nhất của nhận thức vì nó chứa đựng các yếu tố của những mức độ nhận thức trên và đồng thời cũng phát triển chúng.
IV. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CỦA CTGDPT VỪA LÀ CĂN CỨ, VỪA LÀ MỤC TIÊU
CỦA GIẢNG DẠY HỌC TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ.
Chuẩn kiến thức, kĩ năng và y/c về thái độcủa CTGDPT bảo đảm tiúnh thống nhất, tính khả thi, phù hợp với CTGDPT; đảm bảo chất lượng và hiệu quả của quá treình giáo dục.
1. Chuẩn kiến thức và kĩ năng là căn cứ:
1.1 Biên soạn SGK và các tài liệu HDDH, kiểm tra đánh giá, đổi mới PPDH, đổi mới kiểm tra đánh giá.
1.2. Chỉ đạo, quản lí thanh tra, kiểm tra việc thực hiện dạy học, kiểm tra đánh giá, sinh hoạt chuyên môn, đào tạo, bồi dưỡng quản lí GV.
1.3. Xác định mục tiêu mỗi giờ học, mục tiêu của quá trình dạy học dảm bảo chất lượng GD.
1.4. Xác định mục tiêu kiểm tra, đánh giá đối với từng bài kiểm tra, bài thi, đánh giá kết quả từng môn học, lớp học, cấp học.
2. Tài liệu HD chuẩn kiến thức, kĩ năng được thực hiện biên soạn theo hướng chi tiết các yêu cầu cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của chuẩn kiến thức, kĩ năng bằng các nội dung chọn lọc trong SGK.
Tài liệu giúp các cán bộ quản lí GD, các cán bộ chuyên môn, GV, HS nắm vững và thực hiện đúng theo chuẩn kiến thức, kĩ năng.
3. Yêu cầu dạy học bám chuẩn kiến thức, kĩ năng.
3.1. Yêu cầu chung:
a) Căn cứ chuẩn kiến thức, kĩ năng để xác định mục tiêu bàihọc. Chú trọng dạy học nhằm đạt được các yêu cầu cơ bản và tối thiểu về kiến thức, kĩ năng đảm bảo không quá tải và không lệ thuộc hoàn toàn vào SGK; mức khai thác sâu kiến thức, kĩ năng trong SGK phải phù hợp với khả năng tiếp thu của HS.
b) Sáng tạo về PPDH phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác của HS. Chú trọng rèn luyện PP tư duy, năng lực tự học, tự nghiên cứu; tạo niềm vui hứng khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của HS.
c) Dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa GV và HS, giữa HS với HS; tiến hành qua việc tổ chức các hoạt động học tập cú HS, kết hợp giữa học tập cá thể với học tập hợp tác, làm việc theo nhóm.
d) Dạy học chú trọng đến việc rèn luyện các kĩ năng, năng lực hành động, vận dụng kiến thức, tăng cường thực hành và gắn nội dung bài học với thực tiễn cuộc sống.
e) Dạy học chú trọng đến việc sử dụng có hiệu quả phương tiện, thiết bị dạy học được trang bị hoặc do GV và HS tự làm; quan tâm ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học.
g) Dạy học chú trọng đến việc động viên, khuyến khích kịp thời sự tiến bộ của HS trong quá trình học tập; đa dạng nội dung, các hình thức, cách thức đánh giá và tăng cường hiệu quả việc đánh giá.
3.2. Yêu cầu đối với cán bộ quản lí cơ sở GD.
a) Nắm vững chủ chương đổi mới GDPT của Đảng, Nhà nước; nắm vững mục đích, nội dung đổi mới thể hiện cụ thể trong các văn bản chỉ đạo của Ngành, trong Chương trình và SGK, PPDH, sử sụng phương tiện , thiết bị dạy học, hình thức tổ chức dạy học và đánh giá kết quả GD.
b) Nắm vững y/c dạy học bám sát Chuẩn kiến thức, kĩ năng trong CTGDPT, đồng thời tạo ĐK thuận lợi cho GV, động viên khuyến khích GV, tích cực đổi mới PPDH.
c) Có biện pháp quản lí, chỉ đạo, tổ chức thực hiện đổi mới PPDH trong nhà trường một cách hiệu quả; thường xuyến kiểm tra, đánh giá các hoạt động dạy học định hướng dạy học bám sát Chuẩn kiến thức, kĩ năng đồng thời với tích cực đổi mới PPDH.
d) Động viên, khen thưởng kịp thời những GV thực hiện có hiệu quả đồng thời với phê bình nhắc nhở những người chưa tích cực đổi mới PPDH, dạy quá tải không bám sát Chuẩn kiến thức, kĩ năng.
3.3. Yêu cầu đối với GV:
a) Bám sát Chuẩn kiến thức, kĩ năng để thiết lập bài giảng, với mục tiêu là đạt được các y/c cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, dạy không quá tải và không lệ thuộc hoàn toàn vào SGK. Việc khai thác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả năng tiếp thu của HS.
b) Thiết kế tổ chức HDHS, thực hiện các hoạt động học tập với các hình thức đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn phù hợp với đặc trưng bài học, với đặc điểm và trình độ HS, với ĐK cụ thể của lớp, trường và địa phương.
c) Động viên, khuyến khích tạo cơ hội và ĐK cho HS được tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá, phát hiện, đề xuất lĩnh hội kiến thức; chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có của HS; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập cho HS; giúp HS phát triển tối đa năng lực, tiềm năng của bản thân.
d) Thiết kế và HDHS thực hiện các dạng câu hỏi, bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng; HD sử dụng các thiết bị dạy học; tổ chức có hiệu quả các giờ thực hành; HDHS có thói quen vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.
e) Sử dụng các PP và hình thức t/c dạy học một cách hợp lí, hiệu quả, linh hoạt, phù hợp với đặc trưng cấp học, môn học, nội dung, tính chất bài học; đặc điểm và trình độ HS; thời lượng dạy học và các ĐK dạy học cụ thể của tỷường, địa phương.
4. Yêu cầu kiểm tra, đánh giá bám sát Chuẩn kiến thức, kĩ năng.
4.1. Quan niệm về kiểm tra, đánh giá:
Kiểm tra và đánh giá là hai khâu trong quy trình thống nhất nhằm xác định kết quả thực hiện mục tiêu dạy học. Kiểm tra là thu thập thông tin từ riêng lẻ đến hệ thống về kết quả thực hiện mục tiêu dạy học; đánh giá là để xác định mức độ đạt được về thực chất mục tiêu dạy học.
Đánh giá kết quả học tập thực chất là việc xem xét mức độ đạt được của hoạt động học của HS so với mục tiêu đề ra đối với từng môn học, lơp học, cấp hoc. Mục tiêu của mỗi môn học được cụ thể hoá thành các chuẩn kiến thức, kĩ năng. Từ các chuẩn này khi tiến hành kiểm tra, đánh giá kết quả học tập môn học cần phải thiết kế thành những tiêu chí nhằm kiểm tra được đầy đủ cả về định tính và định lượng kết quả học tập của HS.
4.2 Hai chức năng cơ bản của kiểm tra, đánh giá:
a) Chức năng xác định:
– Xác định mức độ đạt được trong việc thực hiện mục tiêu dạy học, xác định mức độ thực hiện Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình mà HS đạt được khi kết thúc một giai đoạn học tập (kết thúc một bài, chương, chủ đề, chủ điểm, mô đun, lớp học, cấp học).
– Xác định đòi hỏi tính chính xác, khách quan, công bằng.
b) Chức năng điều khiển: Phát hiện những mặt tốt, mặt chưa tốt, khó khăn vướng mắc và xác định nguyên nhân. Kết quả đánh giá là căn cứ để quyết định giải pháp cải thiện thực trạng, nâng cao chất lượng hiệu quả dạy học và GD thông qua việc đổi mới, tối ưu hoá PPDH của GV và HDHS biết tự đánh giá để tối ưu hoá phương pháp học tập. Thông qua chức năng này, kiểm tra, đánh giá sẽ là ĐK cần thiết:
– Giúp HS nắm chắc tìn hình học tập, mức độ phân hoá về trình độ học lực của HS trong lớp, từ đó có biện pháp giúp đỡ HS yếu kém và BDHSG; giúp GV điều chỉnh, hoàn thiện PPDH.
– Giúp HS biết khả năng học tập của mình so với y/c của chương trình; xác định nguyên nhân thành công, từ đó điều chỉnh PP học tập; phát triển kĩ năng tự đánh giá;
– Giúp cán bộ quản lí GD đề ra giải pháp quản lí GD phù hợp để năng cao chất lượng GD;
– Giúp cha mẹ HS và cộng đồng biết được kết quả GD của từng HS, từng lớp và của cả cơ sở GD.
4.3 Yêu cầu kiểm tra, đánh giá.
a) Kiểm tra, đánh giá phải căn cứ vào chuẩn kiến thức, kĩ năng của từng môn học ở từng lớp; các y/c cơ bản, tối thiểu cần đạt về kiến thức, kĩ năng của HS sau mỗi giai đoạn, mỗi lớp, mỗi cấp học.
b) Chỉ đạo việc kiểm tra thực hiện chương trình kế hoạch giảng dạy, học tập của các nhà trường; tăng cường đổi mới khâu kiểm tra, đánh giá thường xuyên, định kì; đảm bảo chất lượng kiểm tra, đánh giá thường xuyên, định kì chính xác, khách quan, công bằng; không hình thức, đối phó nhưng cũng không gây áp lực nặng nề. Kiểm tra thường xuyên và định kì theo hướng vừa đánh giá được đúng Chuẩn kiến thức, kĩ năng, vừa có khả năng phân hoá cao; kiểm tra kiến thức, kĩ năng cơ bản, năng lực vận dụng kiến thức của người học, thay vì kiểm tra học thuộc lòng, nhớ máy móc kiến thức.
c) Áp dụng các phương pháp phân tích hiện đại để tăng cường tính tương đương của các đề kiểm tra, thi. Kết hợp thật hợp lí các hình thức kiểm tra, thi vấn đáp, thi tự luận và trắc nghiệm nhằm hạn chế nhược điểm của mỗi hình thức.
d) Đánh giá chính xác, đúng thực trạng: đánh giá cao hơn thực tế sẽ triệt tiêu lĩnh vực phấn đấu vươn lên; ngược lại, đánh giá khắc khe quá mức hoặc thái độ thiếu thân thiện, không thấy được sự tiến bộ, sẽ ức chế tình cảm, trí tuệ, giảm vai trò tích cực , chủ động sáng tạo của HS.
e) Đánh giá kịp thời có tác dụng giáo dụcvà động viên sự tiến bộ của HS, giúp HS sửa chữa thiếu sót. Đánh giá cả quá trình lĩnh hội tri thức của HS, chú trọng đánh giá hành động, tình cảm của HS; nghĩ và làm, năng lực vận dụng vào thực tiễn, thể hiện qua ứng xử, giao tiếp; quan tâm tới mức độ hoạt động tích cực, chủ động của HS trong từng tiết học, tiếp thu tri thức mới, ôn tập cũng như các tiết thực hành, thí nghiệm.
g) Khi đánh giá kết quả học tập, thành tích học tập của HS không chỉ đánh giá kết quả cuối cùng, màcanf chú ý cả quá trình học tập. Cần tạo ĐK cho HS cùng tham gia xác định tiêu chí đánh giá kết quả học tập với yêu cầu không tập trung vào khả năng tái hiện tri thức mà chú trọng khả năng vận dụng tri thức trong việc giải quyết các nhiệm vụ phức hợp. Có nhiều hình thức và có độ phân hoá cao trong đánh giá.
h) Khi đánh giá hoạt động dạy học không chỉ đánh giá thành tích học tập của HS, mà còn bao gồm đánh giá cả quá trình dạy học nhằm cải tiến hoạt động dạy học. Chú trọng phương pháp, kĩ thuật, lấy thông tin phản hồi từ HS để đánh giá quá trình dạy học.
i) Kết quả thật hợp lí giữa đánh giá định tính và định lượng: Căn cứ vào đặc điểm của từng môn học và hoạt động giáo dục ở mỗi lớp học, mỗi cấp họcquy định đánh giá bằng điểm kết hợp với nhận xét của GV hay đánh giá bằng nhận xét, xếp loại của GV.
k) Kết hợp đánh giá trong và đánh giá ngoài. Dể có thêm các kênh thông tin phản hồi khách quan, cần kết hợp hài hoà giữa đánh giá trong và đánh giá ngoài.
– Tự đánh giá của HS với đánh giá của bạn học, của GV, của cơ sở GD, của gia đình và cộng đồng.
– Tự đánh giá của GV với đánh giá của đồng nghiệp , của HS, gia đình HS, của cơ quan quản lí GD và của cộng đồng.
– Tự đánh giácủa cơ sở GD với đánh giá của các cơ quan quản lí GD và của cộng đồng.
– Tự đánh giá của ngành GD với đánh giá của xã hội và đánh giá của quốc tế.
l) Phải là động lực thúc đẩy PPDH: Đổi mới PPDH và đổi mới kiểm tra, đánh giá là hai mặt thống nhất hữu cơ của quá trình dạy học, là nhân tố quan trọng nhất đảm bảo chất lượng dạy học.
4.4. Các tiêu chí của kiểm tra, đánh giá.
a) Đảm bảo tính toàn diện: Đánh giá được các mặt kiến thức, kĩ năng, năng lực, ý chí, thái độ, hành vi của HS.
b) Đảm bảo độ tin cậy: Tính chính xác, trung thực, minh bạch, khách quan, công bằng trong đánh giá, phản ánh được chất lượng thực của HS, của cơ sở GD.
c) Đảm bảo tính khả thi: Nội dung, hình thức, cách thức, phương tiện tổ chức kiểm tra, đánh giá phải phù hợp với ĐKHS, cơ sở GD, đặc biệt là phù hợp với mục tiêu từng môn học.
d) Đảm bảo y/c phân hoá: Phân loại được chính xác trình độ, mức độ, năng lực nhận thức của HS, cơ sở GD, cần đảm bảo tính phân hoá rộng đủ cho phân loại đối tượng.
e) Đảm bảo hiệu quả: Đánh giá được tất cả các lĩnh vực cần đánh giá HS, cơ sở GD; thực hiện được đầy đủ các mục tiêu đề ra; tạo động lực đổi mới PPDH, góp phần nâng cao chất lượng GD.

PHẦN THỨ HAI:
HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG MÔN TOÁN THCS
LỚP 6:
Chủ đề Mức độ cần đạt Giải thích – Hướng dẫn ví dụ
I. ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN
1. K/n về tập hợp, phần tử Về kĩ năng:
– Biết dùng các thuật ngữ tập hợp, phần tử của tập hợp.
– Sử dụng được các kí hiệu: .
– Đếm đúng các phần tử của một tập hợp hữu hạn.
* Tập hợp và phần tử của tập hợp:
– Hiểu về phần tử của tập hợp thông qua VD cụ thể, đơn giản vag gần gũi.
– Nên làm các bài tập: 1, 3, 4 SGK
Ghi chú:
Không nên đặt các câu hỏi như: “Tập hợp là gì?”, “Thế nào là một tập hợp?” mà chỉ y/c HS tìm được VD về tập hợp.
* Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con.
– Hiểu được một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào.
– Hiểu được tập hợp con của một tập hợp thông qua một số VD đơn giản.
– Biết cách viết một tập hợp.
– Nên làm các bài tập: 16, 17, 19 SGK.
Ví dụ:
+ không đi sâu vào tập hợp rỗng.
+ Không y/c phát biểu đ/n tập hợp con.
+ Không giới thiệu quy ước tập hợp rống là tập hợp con của mọi tập hợp.
+ không ra loại bài tập::”Tìm tất cả các tập hợp con của một tập hợp”
Ví dụ:
– Cho tập hợp A =
– Điền các kí hiệu: vào ô trống:
3 A, 5 A

Ví dụ:
1.Cho tập hợp
A = ,
B =
a) Điền các kí hiêu:
vào ô trống:
7 A, 1 A

7 B, A B
b) Tập hợp B coá bao nhiêu phần tử ?
2. Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử:
A =
2. Tập hợp N các số tự nhiên.
Tập hợp N, N*
Ghi và đọc các số tự nhiên. Hệ thập phân. Các chữ số La Mã.
Các t/c của phép +,-,. Trong N. Phép chia hết, phép chia có dư. Luỹ thừa với số mũ âm.
Về kiến thức:
Biết tập hợp các số tự nhiên và các tính chất các phép tính trong các tập hợp các số tự nhiên.
Về kĩ năng:
– Đọc và viết được các số tự nhiên đến lớp tỉ.
– Sắp xếp được các số tự nhiên theo thứ tự tăng hoặc giảm.
– Sử dụng được các kí hiệu: =,, .
– Đọc viết số La Mã từ 1 đến 30.
– Làm được các phép tính cộng, trừ, nhân và phép chia hết với các số tự nhiên.
– Hiểu và vận dụng được các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong tính toán.
– Tính nhẩm, tính nhanh một cách hợp lí.
– Làm được các phép chia hết và phép chia có dư trong trường hợp số chia không quá ba chữ số.
– Thực hiện được các phép nhân và chia các luỹ thừa cùng cơ số (với số mũ tự nhiên).
– Sử dụng được máy tính bỏ túi để tính toán.
– Biết thực hiện đúng thứ tự các phép tính, biết đưa và hoặc bỏ dấu ngoặc trong các tính toán.
– Biết cộng , trừ nhẩm các số có 2 chữ số; nhân, chia nhẩm một số coá 2 chữ số với một số coá một chữ số.
– Biết cách vtính toán hợp lí. Chẳng hạn:
13 + 96 + 87 = (13 + 87) + 96 = 196
– Nên làm các bài tập: 6, 7, 8, 12, 13, 15 a, b, 26, 27, 30, 31, 34, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 55 SGK.
Ghi chú:
+ Không y/c HS thuộc đ/n về hệ thập phân.
+ Không đi sau về cách ghi chữ số La Mã.
+ Không y/c thực hiện những dãy tính cồng kềnh, phức tạp khi khi không cho phép sử dụng máy tính bỏ túi.
+ Không y/c phát biểu các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
– Biết đ/n luỹ thừa.
– Phân biệt cơ số, số mũ.
– Biết các công thức nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số (với số mũ tự nhiên)
– Biết dùng luỹ thừa để viết gọn các tích có nhiều thừa số bằng nhau.
– Thực hiện được phép nhân và phép chia các luỹ thừa cùng cơ số.
– Biết vận dụng các quy ước về thứ tự thực hiện các phép tính để tính đúng giá trị của biểu thức.
– Nên làm các bài tập: 56, 57, 60, 63, 67, 68, 73, 74, 81 SGK.
Ghi chú:
+ Không y/c phát biểu quy tắc nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số.
+ Không ra loại BT nâng một luỹ thừa lên một luỹ thừa. Chẳng hạn (34)3 Ví dụ:
Viết 3 số tự nhiên liên tiếp tăng dần trong đó số lớn nhất là 29.

Ví dụ:
Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
156 – (x + 6) = 82

Ví dụ:
Víêt kết quả phép tính dưới dạng một luỹ thừa:
a) 33.34;
b) 26:23;
Ví dụ:
Thực hiện phép tính:
a) 3.23 + 18:32;
b) 2.(5.42 – 18)

3.T/c chia hết trong tập N
– T/c chia hết của 1 tổng.
– các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9.
– Ước và bội.
– Số nguyên tố, hợp số, phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
– Ước chung, ƯCLN, BC, BCNN. Về kiến thức:
Biết caCS K/N: ước và bội; ước chung và ƯCLN, bội chung và BCNN, số nguyên tố và hợp số.
Về kĩ năng:
– Vận dụng các dấu hiệu chia hết để xác định một số đã cho có chia hết cho2; 5; 3; 9 hay không.
– Phân tích được một hợp số ra thừa số nguyên tố trong những trường hợp đơn giản.
– Tìm được các ước, bội của một số, các ƯC, BC đơn giản của hai hoặc ba số.
– Tìm được BCNN, ƯCLN của hai số trong những trường hợp đơn giản.
– Biết các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9.
– Biết các t/c chia hết của một tổng, một hiệu.

– Biết vận dụng t/c chia hết của một tổng, một hiệu để xác định một tổng, một hiệu có chia hết cho một số dã cho hay không.

– Nên làm các BT: 83, 84, 91, 93, 95, 101, 103, 104a, b SGK.

Ghi chú:
+ Không c/m các t/c chia hết của một tổng, một hiệu.
+ Không c/m các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9.
+ Không ra các bài tập liên quan đến dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25, cho 8, cho 125.

– Đưa ra được các VDvề số nguyên tố, hợp số.
– Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố trong những trường hợp đơn giản .
Ghi chú:
+ Không đi sâu vào những vấn đề lí thuyết liên quan đến số nguyên tố.
+ Không ra các bài tập phân tích một số ra thừa số nguyên tố, trong đó có thừa số nguyên tố lớn hơn 100.
– Nên làm các bài tạpp: 117, 125, 127 SGK.

– Tìm được các ước, bội của một số, tìm được các ước chung, một số BC của 2 hoặc 3 số trong những trường hợp đơn giản.
– Tìm được ƯCLN, BCNN của 2 số trong những trường hợp đơn giản.
– Tính nhẩm được BCNN của 2 hay 3 số trong những trường hợp đơn giản, chẳng hạn: Tìm BCNN của 4, 5, 10.
– Nên làm các bài tập: 111, 112, 134, 135, 139, 140, 142, 143,149, 150, 152, 153, 154, 167 SGK.
Ghi chú:
+ Các số cho trước để tìm ƯCLN, BCNN không vượt quá 1000.
+ Chỉ ra các bài tập đơn giản về tìm ƯCLN, BCNN.
Ví dụ:
Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, 5, 3, 9 ?
2540, 1347, 1638.

Ví dụ:
áp dụng t/c chia hết, xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 6 hay không:
a) 72 + 12
b) 48 + 16
c) 54 – 36
d)60 – 14
Ví dụ:
Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 và 5.

Ví dụ:
Phân tích các số 95, 63 ra thừa số nguyên tố.

Ví dụ:
a) Tìm được 2 ước và 2 bội của 33, của 44.
b) Tìm được ƯC của 33 và 44.
c) Tìm được BC của 33 và 44.
Ví dụ:
Tìm ƯCLN và BCNN của 18 và 33.
Ví dụ:
Một số sách nếu sắp thành từng bó 10 quyển, hoặc 12 quyển, hoặc 15 quyển đều vờa đủ bó. Tìm số sách đó, biết rằng số sách trong khoảng từ 100 đến 150.
II. SỐ NGUYÊN
Số nguyên âm.

Biểu diễn các số nguyên trên trục số.

Thứ tự trong Z.
Giá trị tuyệt đối.

Các phép tính: Cộng, trừ, nhân trong tập hợp Z và t/c của các phép toán.

Bội và ước của một số nguyên
Về kiến thưc:
– Biết các số nguyên âm, tập hợp các số nguyên bao gồm các số nguyên dương, số 0 và các số nguyêm âm.
– Biết k/n bội và ước của một số nguyên.
Về kĩ năng:
– Biết biểu diễn các số nguyên trên trục số.
– Phân biệt đước các số nguên dương, các số nguyên âm và số 0.

– Tìm và viết được số đối của một số nguyên, giá trị tuyệt đối của một số nguyên.

– Sắp xép đúng một dãy các số nguyên theo thứ tự tăng hoặc giảm.

Về kĩ năng:
– Vận dụng được các quy tắc thực hiện các phép tính, các t/c của các phép tính trong tính toán.
– Làm được dãy các phép tính với các số nguyên.
– Biết k/n số dương, số âm qua những VD cụ thể.
– Biết một số nguyên âm được viết bởi 1 số tự nhiên với dấu trừ (-) đứng trước.
– Biết biểu diễn các số nguyên trên trục số.
– Nên làm các bài tập:1, 2, 3, 4, 6, 7, 9 SGK.

– Nên dùng cách biểu diễn số nguyên trên trục số để củng cố các k/n số dương, số âm.
– Nên cho trục số ở những vị thế khác nhau để khi học mặt phẳng toạ độ HS không bở ngỡ. Tuy nhiên chỉ chú trọng vào vị thế nằm ngang và vị thế hảng đứng.
– Viết được ngay số đối của một số nguyên.
– Viết được ngay:
Giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là chính nó. Giá trị tuyệt đối của 0 là 0. Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của số đó.
– Có k/n về thứ tự trong tập hợp số nguyên nhờ cách biểu diễn số nguyên trên trục số.
– Biết so sánh 2 số nguyên:
Mọi số dương đều lớn hơn số 0.
Mọi số âm đều nhỏ hơn số 0.
Mỗi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương.
Trong 2 số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
– Nên làm các bài tập: 11, 12, 14, 15, 20 SGK.
Ghi chú:
Chưa nên tóm tắt đ/n giá trị tuyệt đối của số a bởi mệnh đề:

Vì HS mới hiểu số nguyên âm như một kí hiệu gòm 1 số tự nhiên và dâu “-” đứng trước mà chưa thể hiểu rằng mọi số không có dâu “-” đứng trước cũng có thể là số âm.

– Vận dụng được quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, hai số nguyên khác dấu.

– Vận dụng được t/c: g/h, k/h của phép cộng các số nguyên khi làm tính(không đòi hỏi HS phát biểu các t/c của phép cộng).
– Nên làm các BT: 23, 24, 26, 27, 28, 34, 36, 37, 46 SGK.
– Vận dụng được quy tắc trừ số nguyên và hiểu k/n hiệu của hai số nguyên.
– Nên làm các bài tập: 47, 48, 49, 51, 52, 54 SGK.
– Hiểu rằng một tổng đại số có thể viết thành một dãy những phép cộng các số nguyên.

– Vận dụng được quy tắc dấu ngoặc khi làm tính.

– Vận dụng được quy tắc chuyển vế khi làm tính.

– Vận dụng được các quy tắc khi nhân hai số nguyên cùng dấu, hai số nguyên khác dấu.
– Vận dụng được các t/c các phép tính của phép nhân khi làm tính (không y/c phát biểu các t/c này).
– Nên làm các bài tập: 57, 59, 61, 62, 63, 73,74, 75, 78, 79, 90, 94, 96 SGK.
– Hiểu k/n chia hết, các k/n bội, ước của một số nguyên; tìm được các ước của một số nguên, tìm được bội của một số nguyên và biết rằng, nếu một số là bội (hoặc ước) của số nguyên a thì số đối của nó cũng là bội (hoặc ước) của a.
– Biết được số 0 là bội của mọi số nguyên khác không nhưng không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
– Nên làm các bài tập: 101, 102, 104 SGK. Ví dụ: Hãy dùng những từ “tăng” hoặc “giảm” để biểu thị ý nghĩa thực tế của câu nói sau:
Tháng 5/2008 giá 1lít xăng tăng 4500đ, tháng 9/2008 giá 1lít xăng tăng -500đ.

Ví dụ: Số 3 nằm trên tia số, cách số 0 3 đơn vị độ dài. Số -2 nằm trên tia đối của tia số và cách số 0 hai đơn vị độ dài.

Ví dụ: Tìm số đối của 6 và số đối của -9.
Ví dụ:

Ví dụ: Hãy chọn một dấu thích hợp trong 3 dấu <, =, > để điền vào mỗi chỗ sau.
a) 3 … -9; b) -8 … -5;
c) -13 … 2
Ví dụ: Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần:
3; -5; 6; 4; -12; -9; 0.

Ví dụ: Tính:
a) 218 + 282 ;
b) (-95) + (-105);
c) 38 + (-85);
d) 107 + (-47)
Ví dụ: Tính:
25 + (-8) + (-25) + (-2)

Ví dụ: Tính:
a) 5 – 7:
b) 18 – (-2);
c) – 16 – 5 – (-21)
Ví dụ: Hãy viết tổng đại số;:
-15 +8 -25+32 thành một dãy những phép cộng.
Ví dụ: Tính tổng:
34 – 12 + 56 – 77
Ví dụ: Bỏ dấu ngoặc rồi tính:
a) (15+37)+(52-37-17)
b) (38-42+14)-(25-27-15)
Ví dụ: Tìm x, biết:
a) x – 8 = – 3 – 8;
b) 5 – x = 10.
Ví dụ: Tính:
a) 13.(-7);
b) (-8).(-25)
Ví dụ: Tính:
a) 25.(-47).(-4)
b) 8.(125 – 3000);
c) 512.(2-128)-128(-512)

Ví dụ:
a) Tìm 4 bội của -5, trong đó có cả bbội âm.
b) Tìm tất cả các ước của -15.

III. PHÂN SỐ
1. Phân số.
Phân số bằng nhau.
T/c cơ bản của phân số.

Rút gọn phân số
phân số tối giản
Quy đồng mẫu số nhiều phân số
So sánh phân số.
Về kiến thức:
– Biết k/n phân số với a
– Biết k/n 2 phân số bằng nhau:
Nếu ad = bc (bd0)

Về kĩ năng:
Vận dụng được t/c cơ bản của phân số trong tính toán với phân số.
– Biết cách viết phân số, tử số là số viết trên gạch ngang và mẫu là số viết dưới gạch ngang đều phải là số nguyên và mẫu phải khác 0.

– biết nếu có tích ad = bc (bd0) thì ta suy ra và ngược lại nếu có đẳng thức thì suy ra ad = bc
– Biết viết một phân số bất kì có mẫu âm thành một phân số bàng nó và có mẫu dương bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân số đó với -1.
– Biết rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số cho cùng một ước khác 1 và -1 của chúng.
– Biết quy đồng mẫu số nhiều phân số;
– Biết so sánh phân số chủ yếu bằng cách quy đồng mẫu rồi thực hiện so sánh 2 phân số có cùng một mẫu dương.
– nên làm các bài tập: 1, 3, 4, 6, 7, 11, 13, 15, 18, 28, 29, 30a, c, 37, 38, 39 SGK. Ví dụ:
Trong các cách viết sau đay, cách nào cho ta phân số.
a) ;
c) -2,5; d)
Ví dụ:
Tìm số nguyên x, biết:

Ví dụ:
So sánh các phân số:
và ; và
và
2. Các phép tính về phân số
Về kĩ năng:
Làm đúng dãy các phép tính với phân số trong trường hợp đơn giản. – Biết và vận dụng được:
Quy tắc cộng hai phân số (cùng mẫu, không cùng mẫu); t/c g/h, k/h, cộng với số 0.
Kí hiệu số đối của phân số; quy tắc trừ phân số.
Quy tắc nhân phân số, t/c giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Đ/n hai số nghịch đảo của nhau; quy tắc chia phân số.
– Nên làm các bài tập: 42, 43, 45, 47, 49, 56, 59, 60, 69, 71, 76a, b, 77a, b, 84, 86, 91 SGK. Ví dụ: Tính:

3. Hỗn số. Số thập phân.
Phần trăm.
Về kiến thức:
Biết các k/n hỗn số, số thập phân, phần trăm.
Về kĩ năng:
Làm đúng dãy các phép tính với phân số và số thập phân trong những trường hợp đơn giản. – Viết được 1 phân số dưới dạng hỗn số và ngược lại.

– Viết được 1 phân số dưới dạng số thập phân và ngược lại.
– Viết được 1 số thập phân dưới dạng phần trăm và ngược lại.
– Nên làm các bài tập: 94, 95, 104, 105, 107, 114 SGK. Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:

4. Ba bài toán cơ bản về phân số. Về kiến thức:
– Biết tìm giá trị của phân số của một số cho trước;
– Biết tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó;
– Biết tìm tỉ số của hai số. – Làm được các bài tập đơn giản thuộc 3 dạng toán cơ bản về phân số.

– Nên làm các bài tập: 115, 118, 120, 126, 129, 131, 137, 143, 145, 148 SGK. Ví dụ:a) Tìm của -8,7;
b) Tìm 1 số biết của nó bằng 31,08;
c) Tính tỉ số của và 75.
5. Biểu đồ phần trăm.
Về kĩ năng:
Biết vẽ biểu đồ phần trăm dưới dạng cột, dạng ô vuông và nhận biết được biểu đồ hình quạt. – Vẽ được biểu đồ phần trăm dưới dạng cột và ô vuông. Không y/c HS vẽ biểu đồ hình quạt.
Ví dụ: Muốn đỗ bê tông, người ta trộn 1tạ xi măng, 2tạ cát, 6 tạ sỏi.
a) Tính tỉ số phần trăm từng thành phần của bê tông;
b) Dựng biểu đồ ô vuông biểu diễn các tỉ số phần trăm đó.
IV. ĐOẠN THẲNG
1. Điểm. Đường thẳng. Về kiến thức:
Biết các k/n điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng.

Về kĩ năng:
– Biết dùng các kí hiệu
.

– Biết vẽ hình minh hoạ các quan hệ: Điểm thuộc hoặc không thuộc đường thẳng.
– Biết nêu được VD về hình ảnh của 1 điểm, 1 đường thẳng.
– Biết các k/n điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng thông qua hình ảnh của nó trong thực tế.
Ghi chú:
+ Không y/c hiểu 1 cách tường minh điểm và đường thẳng mà chỉ y/c hình dung được chúng.
+ các k/n điểm, đường thẳng là2 k/n không được đ/n.

– Biết vẽ điểm, vẽ đường thẳng.
– Biết cách đặt tên cho điểm, cách đặt tên cho đường thẳng.
– Biết nhiều cách diễn đạt cùng 1 nội dung.
Điểm A, điểm A nằm trên đường thẳng a, đường thẳng a đi qua điểm A.
Điểm B, điểm B nằm ngoài đường thẳng a, đường thẳng a đi qua điểm B.
– Biết vẽ hình minh hoạ các cách diễn đạt liên quan đến các kí hiệu .
– Nên làm các BT: 1, 3, 4, 5 SGK. Ví dụ: Xem hình 1 rồi cho biết:
– Điểm A thuộc đường thẳng nào , không thuộc đường thẳng nào ?
– Đường thẳng a đi qua điểm nào / không đi qua điểm nào ?
– Đường thẳng b không đi qua điểm nào ?

a

Ví dụ: Vẽ 2 điểm A, B và đường thẳng a đi qua điểm A nhưng không đi qua điểm B. Điền các kí hiệu thích hợp vào chỗ trống:
A a; B a.
Ví dụ; Cho trước 2 đường thẳng m và n (hình 2)
– Vẽ điểm A sao cho Am và An.
– Vẽ điểm B sao cho Bm, và B n
– Vẽ điểm C sao cho Cm và C n.

2. Ba điểm thẳng hàng.
Đường thẳng đi qua 2 điểm.
Về kiến thức:
– Biết k/n 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng.
– Biết k/n điểm nằm giữa 2 điểm.
– Biết các k/n 2 đường thẳng trùng nhau, song song với nhau.

Về kĩ năng:
– Biết vẽ 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng.
– Biết vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước.
– Hiểu được t/c: Trong 3 điểm thẳng hàng có 1 và chỉ 1 điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
Không có k/n “điểm nằm giữa” khi 3 điểm không thẳng hàng.
– Hiểu được t/c: Có 1 đường thẳng và chỉ 1 đường thẳng đi qua hai điểm A và B từ đó biết được nếu 2 đường thẳng có 2 điểm chung thì chúng trùng nhau.
– Biết thêm 2 cách khác đặt tên cho đường thẳng.

– Biết dùng thuật ngữ: nằm cùng phía, nằm khác phía, nằm giữa.
– Biết đếm số giao điểm của các cặp đường thẳng (với số đường thẳng cho trước không quá 5), đếm các số đường thẳng đi qua các cặp điểm (với số điểm cho trước không quá 5)
– Nên làm các bài tập: 9, 10, 11, 15, 18, 20 SGK.
Ghi chú: Không y/c HS làm bài tập:
+ XD và vận dụng công thức để tính số đường thẳng đi qua các cặp điểm đi trong số n điểm cho trước.
+ Tính số trường hợp 1 điểm nằm giữa 2 điểm khác trong số n 5 điểm thẳng hàng cho trước.
+ C/m nhiều điểm cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua 1 điểm. Ví dụ: Xem hình 3 cho biết:
– Các cặp đường thẳng cắt nhau;
-Hai đường thẳng //;
– Các bbộ 3 điểm thẳng hàng;
– Điểm nằm giữa 2 điểm khác.

Ví dụ: Hãy vẽ 3 điểm O, A, B thẳng hàng sao cho mỗi điểm A, B không nằm giữa 2 điểm còn lại, rồi cho biết trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai ?
a) Điểm O nằm giữa 2 điểm A và B.
b) Hai điểm O và B nằm cùng phía đôidzs với điểm A.
c) Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm O.
d) Hai điểm A và O nằm cùng phía đối với điểm B.
Ví dụ: Bài 12 SGK

Ví dụ: Bài 17 SGK
3. Tia. Đoạn thẳng.
Về kiến thức:
– Biết các k/n tia, đoạn thẳng.
– Biết các k/n hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau.
Về kĩ năng:
– Biết vẽ 1 tia, 1 đoạn thẳng.
– Nhận biết được 1 tia, 1 đoạn thẳng trong hình vẽ.
– Hiểu t/c: Mỗi điểm nằm trên 1 đường thẳng là gốc chung của 2 tia đối nhau.
– Biết khi đọc (hay viết) một tia thì phải đọc (hay viết) tên gốc trước.

– Khi cho điểm O nằm giữa 2 điểm A và B thì biết được:
Tia OA là hình gồm những điểm nào ?
Tia OB là hình gồm những điểm nào ?
Tia OA và OB đối nhau.
Hai điểm A và B nằm khác phía đối với điểm O.
– Biết nhận dạng đoạn thẳng; đoạn thẳng cắt nhau, cắt đường thẳng, cắt tia.

– Nhận biết được trên hình vẽ những tia đối nhau, trùng nhau.

– Không y/c HS giải thích lí do 1 điểm nằm giữa hai điểm khác. Quan hệ này được thể hiện trực quan trên hình vẽ.

– Nên làm các bài tập: 22, 23, 25, 28, 33, 34, 37 SGK. Ví dụ: Vẽ tia õ rồi lấy 2 điểm M và N thuộc tia này (hình 4) Hỏi:
– Hai điểm M và N nằm cùng phía hay khác phía đối với điểm O ?
– Trong 3 điểm O, M, N điểm nào không thể nằm giữa 2 điểm còn lại.

Ví dụ:
Xem hình 5 rồi cho biết:
– Những cặp tia nào đối nhau ?
– Những cặp tia nào trùng nhau ?
– Những cặp tia nào không đối nhau, không trùng nhau ?

Ví dụ: Trên đường thẳng xy lấy 1 điểm O. Vẽ điểm MOx, điểm NOy (M và N khác O) Có thể khẳng định điểm O nằm giữa 2 điểm M và N không ?
Ví dụ: Số đoạn thẳng trong hình 6 là:
(A). 1; (B). 3; (C). 4; (D).6

4. Độ dài đoạn thẳng. Về kiến thức:
– Biết k/n độ dài đoạn thẳng.
– Hiểu t/c: Nếu điểm M nằm giữa 2 điểm A và B thì AM+MB= AB
Và ngược lại.
– Biết tia Ox có 1 và chỉ 1 điểm M sao cho OM = m.
– Biết trên tia Ox nếu OM < ON thì điểm M nằm giữa 2 điểm O và N.
Về kĩ năng:
– Biết dùng thước đo độ để đo đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng có độ dài cho trước.
– Biết vận dụng hệ thức
AM+MB=AB khi M nằm giữa A và B để giải các bài toán đơn giản. – Độ dài đoạn thẳng là k/n cơ bản không được đ/n.
– Biết tia Ox nếu OM < ON thì điểm M nằm giữa O và N.
– Biết được nếu điểm M nằm giữa 2 điểm A và B thì AM + MB = AB, có thể áp dụng cộng liên tiếp nhiều đoạn thẳng.
– Vận dụng hệ thức AM + MB = AB để tính độ dài một đoạn thẳng.

– Biết vận dụng t/c nếu AM+MB = AB thì điểm M nằ giữa A và B để nhận biết điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
– Nên làm các BT: 42, 43, 46, 48, 51, 53, 54, 56, 60a,b SGK. Ví dụ: BT 48 SGK

Ví dụ: Trên tia Ox vẽ các đoạn thẳng OC và OD sao cho OC = 3cm, OD = 5cm. Hãy so sánh OC và CD.

Ví dụ: Bài 50SGK.
5. Trung điểm của đoạn thẳng. Về kiến thức:
Biết k/n trung điểm của đoạn thẳng.

Về kĩ năng:
Biết vẽ trung điểm của đoạn thẳng.

– Biết và phát biểu được đ/n trung điểm của 1 đoạn thẳng.
– Biết diễn tả trung điểm của một đoạn thẳng bằng các cách khác nhau.

– Bíêt mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.

– Biết vận dụng trung điểm của một đoạn thẳng để tính độ dài của một đoạn thẳng, để chứng tỏ một điểm là trung điểm (hoặc không là trung điểm) của một đoạn thẳng (điều kiện điểm đó nằm giữa hai đầu đoạn thẳng được nhận biết theo hình vẽ, không cần giải thích lí do)
– Biết xác định trung điểm của một đoạn thẳng bàng cách ggấp hình hoặc dùng thước đo độ dài.

– Nên làm các bài tập: 60c, 61, 62, 63,65 SGK. Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Gọi M là trung điểm của AB. Lờy điểm N nằm giữa A và M sao cho AN = 1,5cm. Tính độ dài MN (h.7)

Ví dụ: Trên tia Ox vẽ các đoạn thẳng OA, OB sao cho OA = 3cm, OB = 5cm.
a) Điểm A có phải là trung điểm của OB không, vì sao ?
b) Trên tia Ox lấy điểm C sao cho OC = 1cm. Điểm A có phải là trung điểm của BC không ? Vì sao ?(h.8)

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Gọi O là điểm nằm giữa A và B sao cho OA = 4cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tính độ dài MN (h.9)
V. GÓC
1. Nửa mặt phẳng. Góc. Về kiến thức:
– Biết k/n mặt phẳng.
– Biết k/n góc.
– Hiểu k/n góc bẹt.

Về kĩ năng:
– Nhận biết được một góc trong hình vẽ.
– Biết vẽ góc.
– Biết k/n mặt phẳng thông qua VD cụ thể.
– Biết k/n 2 nửa mặt phẳng đối nhau, biết bất kì đường thẳng nào trên mặt phẳng cũng là bờ chung của 2 nửa mặt phẳng đối nhau.
– Biết gọi tên nửa mặt phẳng.
– Biết trên hình vẽ (không phát biểu một cách tường minh) t/c nào thì một đoạn thẳng cắt hay không cắt bờ chung của 2 nửa mặt phẳng đối nhau.
– Không đề cập đến k/n góc.
– Biết cách đọc tên góc, kí hiệu góc, đỉnh, cạnh góc.

– Nhận biết được tia nằm giữa hai tia qua hình vẽ (không y/c vận dụng trong những trường hợp phức tạp)
– – Nhận biết được điểm nằm trong góc qua hình vẽ.
– Đếm đúng số góc do 3, 4 tia chung gốc không đối nhau tạo thành.
– Chỉ ra được nằm giữa 2 tia trong số 3, 4 tia chung gốc không đối nhau tạo thành.
– Nên làm các bài tập: 1,2, 5, 6, 7, 8 SGK. Ví dụ: Cho đường thẳng a.
Trên một nửa mặt phẳng bờ a lấy 2 điểm A và B. Trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ này lấy điểm C (A, B, C a)
a) Gọi tên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ a.
b) Vẽ 3 đoạn thẳng AB, BC và CA. Những đoạn thẳng nào cắt a, những đoạn thẳng nào không cắt a ?
Ví dụ; Cho 4 tia chung gốc cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa một tia. Có bao nhiêu trường hợp một tia nằm giữa 2 tia khác ?
Ví dụ; Xem hình 10 rồi cho biết:
a) các trường hợp 1 tia nằm giữa 2 tia khác.
b) Trong 3 tia OA, OC, OD
tia nào nằm giữa 2 tia còn lại không ?

c) Tên các góc đỉnh O.

2. Số đo góc.
Về kiến thức:
– Biết k/n số đo góc.
– Biết mỗi góc có 1 số đo xác định, số đo của góc bẹt là 1800.

– Hiểu được nếu tia Oy nằm giữa 2 tia Ox, Oz thì
– Hiểu được k/n góc vuông, góc nhọn, góc tù, 2 gccs kề nhau, hai góc bù nhau, phụ nhau.
Về kĩ năng:
– Biết nhận ra góc trong hình vẽ.
– Biết dùng thước đo góc để đo góc và vẽ 1 góc có số đo cho trước.
– Biết dùng các thuật ngữ: góc này bằng (lớn hơn, bé hơn) góc kia.
– Biết trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, nếu thì tia Oy nắm giữa 2 tia Ox, Oz. Nhận biết được tia nằm giữa 2 tia qua hình vẽ mà không cần giải thích gì ?
– Phân biệt 2 k/n: Góc và số đo góc. Biết góc không có số đo là 00..

– Biết so sánh 2 góc trên cơ sở so sánh các số đo của chúng.
– Biết vận dụng hệ thức:
khi tia Oy nằm giữa 2 tia õ và Oz để giải bài tập đơn giản (biết số đo của 2 trong 3 góc trên thì tính được số đo của góc còn lại)
– Nhận biết được góc kề nhau, góc phụ nhau, bù nhau, kề bù.
– Nên làm các bài tập: 11, 12, 14, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 27 SGK. Ví dụ: Vẽ góc AOB có số đo bằng 1200. Vẽ tia OM ở trong góc đó sao cho

Tính sđ góc AOM và MOB.
Ví dụ: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oy và Oz sao cho

(hình 11)
a) Tính số đo của góc yOz.
b) Kể tên các góc nhọn, góc tù.
Ví dụ: Trong hình 12 biết

a) Tính góc MON
b) Hãy so sánh các góc
AOM, MON, NOB.
c) Hãy kể tên những cặp góc phụ nhau, bù nhau, bằng nhau.

3. Tia phân gíc của một góc.
Về kiến thức:
Hiểu được k/n tia phân giác của một góc.

Về kĩ năng:
Biết vẽ tia phân giác của một góc.
– Hiểu và phát biểu được đ/n tia phân giác của một góc. Diễn tả được tia phân giác của một góc bằng một số cách khác nhau.
– Biết đường phân giác của một góc và biết mỗi góc chỉ có 1 đường phân giác.
– Biết dùng thước đo góc để vẽ tia phân giác của một góc cho trước để kiểm tra 1 tia có phải là tia phân giác của một góc không.
– Chỉ ra được một tia là tia phân giác của một góc trong trường hợp đơn giản.
– Tính được số đo góc dựa vào đ/n tia phân giác của một góc.

– Nên làm các bài tập: 30, 31, 33, 36 SGK Ví dụ; Xem hình 13 rồi cho biết những trường hợp một tia là tia phân giác của một góc.

Ví dụ; Cho góc AOB có số đo bằng 1000. Vẽ tia phân giác OM của góc đó. Vẽ tia OC nằm giữa 2 tia OA, OM sao cho
Tính số đo của góc COM (h14)
Ví dụ; Cho 2 góc kề bù AOB và BOC trong đó . Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa tia OB ta vẽ tia OD sao cho
(hình 15)
a) Tính số đo của góc COD.
b) Tia OB có phải là tia phân giác của góc COD không ? Vì sao ?
Ví dụ:
Cho 2 góc kề AOB và BOC, mỗi góc có số đo bằng 1100.
Tia OB có phải là tia phân giác của góc AOC không ? Vì sao ?

4. Đường tròn. Tam giác.
Về kiến thức:
– Biết các k/n đường tròn, hình tròn, tâm cung tròn, dây cung, đường kính,bán kính.
– Nhận biết được các điểm nằm trên, bên trong, bên ngoài đường tròn.
– Biết k/n tam giác.
– Hiểu được các k/n đỉnh, cạnh, góc của tam giác.
– Nhận biết được điểm nằm bên trong, bên ngoài tam giác.
Về kĩ năng:
– Biết dùng compa để vẽ đường tròn, cung tròn. Biết gọi tên và kí hiệu đường tròn.
– Biết vẽ tam giác. Biết gọi tên và kí hiệu tam giác.
– Biết đo các yếu tố (cạnh, góc) của 1 tam giác cho trước.
– Biết kí hiệu đường tròn tâm O, bán kính R là (O; R).

– Biết lấy VD thực tế hình ảnh của đường tròn và hình tròn.

– Nhận biết được điểm nằm trên đường tròn, điểm nằm trong đường tròn, điểm nằm ngoài đường tròn.

– Phát biểu được đ/n của 1 tam giác cụ thể VD tam giác ABC, kí hiệu:ABC.

– Biết dùng com pa để vẽ một đường tròn nói chung và vẽ 1 đường tròn có tâm cho trước, với bán kính cho trước.
– Biết dùng thước và com pa để vẽ 1 tam giác biết độ dài 3 cạnh của nó.
– Biết đếm số tam giác trong 1 hình đơn giản.
– Biết dùng compa để so sánh 2 đoạn thẳng
– Nên làm các bài tập: 38, 40, 42a,b, 43, 44, 47SGK.
Ghi chú:
+ Không y/c nhận biết các vị trí tương đối của 2 đường tròn.
+ Không rèn luyện kĩ năng vẽ tam giác, biết 2 cạnh và góc xen giữa, biết 1 cạnh và 2 góc kề.
+ Không y/c biện luận 1 cạnh bất kì của tam giác nhỏ hơn tổng 2 cạnh còn lại.
Ví dụ: Vẽ đường tròn (O; 2cm). Vẽ đoạn thẳng OA = 3cm cắt đường tròn tại điểm B. Vẽ đường tròn (B; 1cm) (hình 16)
a) Cho biết vị trí của điểm A, điểm O đối với đường tròn (B;1cm)
b) Đường tròn (B;1cm) cắt OB tại M. Chứng tỏ M là trung điểm của OB.

Ví dụ:
a) Vẽ ABC biết BC = 4cm, AB = 1,5cm, AC = 3cm.
b) Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA) chúng cắt nhau tại 1 điểm thứ 2 là D vẽ các đoạn thẳng BD và CD. Tính chu vi tam giác DBC.
c) Đoạn thẳng AD cắt BC tại H. Hỏi trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác. (hình 17)

LỚP 7
Chủ đề Mức độ cần đạt Giải thích – Hướng dẫn Ví dụ
I. SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
1. Tập hợp Q các số hữu tỉ
K/n số hữu tỉ. Biểu thức hữu tỉ trên trục số.
So sánh các số hữu tỉ.
Các phép tính trong Q(+,-, ., 🙂 số hữu tỉ.
Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của 1 số hữu tỉ. Về kiến thức:
Biết được số hữu tỉ là số viết được dưới dạng với a, b là các số nguyên và b 0.
Về kĩ năng:
Biết biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số, biểu diễn một số hữu tỉ bằng nhiều phân số bằng nhau
– Biết so sánh 2 số hữu tỉ;
– Thực hiện thành thạo các các phép tính về số hữu tỉ;
– Giải được các bài tập vận dụng các quy tắc các phép tính trong Q.
– Biết k/n giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ.

– Biết so sánh 2 số hữu tỉ chủ yếu bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh 2 phân số đó.
– Nắm được quy tắc thực hiện các phép tính về phân số là:
Làm thành thạo các phép tính cộng, trừ phân số và biết áp dụng quy tắc chuyển vế;
Làm thành thạo các phép tính nhân, chia phân số.
Làm thành thạo các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số thập phân.
– Vận dụng quy tắc nhân chia 2 luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của luỹ thừa, luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương.

– Nên làm các bài tập: 1, 3, 6, 8, 9, 11, 13, 17, 18, 26, 27, 28, 36, 37a,b SGK.

Ví dụ: Tính:
a) -5,17 – 0,469;
b) -2,05 + 1,73;
c) (-5,17).(-3,1);
d) (-9,18):4,25.

2. Tỉ lệ thức:
Tỉ số, tỉ lệ thức.
Các t/c của tỉ lệ thức và t/c của dãy tỉ số bằng nhau Về kĩ năng:
Biết vận dụng các t/c của tỉ lệ thức và của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán dạng: Tìm 2 số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng. – Biết đ/n của tỉ lệ thức, số hạng (trung tỉ, ngoại tỉ) của tỉ lệ thớc.
– Biết t/c của tỉ lệ thức.
– Biết t/c của dãy tỉ số bằng nhau (không y/c c/m t/c của tỉ lệ thức và của dãy tỉ số bằng nhau)
– Nên làm các bài tập: 44, 46a, 47a, 54, 55, 57 SGK. ví dụ: Tìm 2 số x và y biết:
3x = 7y và x – y = – 16

3. Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn. Làm tròn số.
Về kiến thức:
– Nhận biết được số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn.
– Biết ý nghĩa của việc làm tròn số.
Về kĩ năng:
Vận dụng thành thạo các quy tắc làm tròn số.
– Giải thích được vì sao một phân số cụ thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

– Hiểu và vận dụng được quy tắc làm tròn số trong trường hợp cụ thể.
– Nên làm các bài tập: 65, 66, 70, 73, 74, 78, 80SGK.
Ví dụ: Vì sao phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn ? Vì sao phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ?
Ví dụ: Làm tròn các số sau đến chữ số hàng thập phân thứ hai:
7,923; 17,418; 79,1364; 50,401; 0,155; 60,996.
4. Tập hợp số thực R
Biểu diễn một số hữu tỉ dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn). Tập hợp số thực. So sánh các số thực.
K/n về căn bậc hai của 1 số thực không âm. Về kiến thức:
– Biết sự tồn tại của số thập phân vô hạn không tuần hoàn và tên gọi của chúng là số vô tỉ.

– Nhận biết được sự tương ứng 1 – 1 giữa tập hợp R các số thực và tập hợp các điểm trên trục số, thứ tự của các số thực trên trục số.
– Biết k/n căn bậc hai của một số không âm. Sử dụng kí hiệu của căn bậc hai
Về kĩ năng:
– Biết cách viết 1 số hữu tỉ dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
– Biết sử dụng bảng số, máy tính bỏ túi để tìm giá trị gần đúng của căn bậc hai của một số không âm. – Biết được sự tồn tại của số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ) qua việc giải bài toán tính độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài.
– Biết được rằng tập hợp số thực bao gồm tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ.
– Biết sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp R các số thực và tập hợp các điểm trên trục số; biết được mỗi số thực được biểu diễn bởi 1 điểm trên trục số và ngược lại.

– Nên làm các bài tập: 82, 83, 86, 87, 92 SGK.
Ví dụ:
Viết phân số và dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Ví dụ:
Viết dưới dạng thu gọn (có chu kì trong dấu ngoặc) các số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,3333…
13,26535353…

II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
1. Đại lượng tỉ lệ thuận.
– Đ/n
– T/c

– Giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận.
Về kiến thức:
– Biết công thức của đại lượng tỉ lệ thuận:
y = ax (a0)
– Biết t/c của đại lượng tỉ lệ thuận:

Về kĩ năng:
Giải được 1 số dạng toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận.
– Hiểu rằng đại lượng y tỉ lệ với đại lượng x được xác định bởi công thức: y = ax (a0)
– Chỉ ra được hệ số tỉ lệ khi biết công thức.

– Biết cách tìm hệ số tỉ lệ khi biết 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng.
– Tìm được 1 số ví dụ thực tế về đại lượng tỉ lệ thuận.
– Vận dụn được t/c của đại lượng tỉ lệ thuận và t/c của dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán chia phần tỉ lệ thuận.
– Giải thành thao bài toán chia một số thành những phần tỉ lệ (thuận)
Với những số cho trước.
Nên làm các bài tập: 1, 3, 5, 6 SGK.
Ghi chú:
Tránh hiểu nhầm 2 đại lượng tỉ lệ thuận chỉ là 2 đại lượng mà “khi đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia tăng lên bấy nhiêu lần”. Đó chỉ là trường hợp riêng của k/n 2 đại lượng tỉ lệ thuận.
Ví dụ: Cho biết đại lượng y liên quan với đại lượng x theo công thức y =x
a) Hỏi y có tỉ lệ thuận với x không ? Nếu có hãy tìm hệ số tỉ lệ.
b) Hỏi x có tỉ lệ thuận với y không ? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu ?.
Ví dụ; Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x. Khi y = -3 thì x = 9. Tìm hệ số tỉ lệ.
Ví dụ: Biết rằng đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 5 thì y = -2.
a) Tìm giá trị của y ứng với
x = -1.
b) Tìm giá trị của x ứng với y = 3
Ví dụ: Hai thanh chì có thể tích lần lượt là 12cm3 và 17cm3. Tính khối lượng của mỗi thanh biết rằng tổng khối lượng của 2 thanh bằng 327,7g.
Ví dụ: Biết chu vi của một thửa đất hình tứ giác là 57m, các cạnh tỉ lệ với các số 3, 4, 5, 7. Tính độ dài mỗi cạnh.

2. Đại lượng tỉ lệ nghịch.
– Đ/n.
– T/c.

– Giảitoán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
Về kiến thức:
– Biết công thức của đại lượng tỉ lệ nghịch:
y =
– Biết t/c của đại lượng tỉ lệ nghịch; x1y1= x2y2=a

Về kĩ năng:
Giải được 1 số dạng toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ nghịch. – Biết rằng đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x được xác định bởi công thức: y =
– Chỉ ra được hệ số tỉ lệ khi biết công thức.
– Biết cách tìm hệ số tỉ lệ khi biết 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng.
– Tìm được 1 số VD thực tế về đại lượng tỉ lệ nghịch.
– Biết t/c của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, sự khác nhau giữa các t/c của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với t/c của 2 đại lượng tỉ lệ thuận.
– Sử dụng t/c của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch để tìm giá trị của 1 đại lượng.
– Sử dụng t/c của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải bài toán đơn giản về 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.
– Nên làm các bài tâp: 12, 13, 16, 17, 18 SGK.
Ghi chú:
+ Tránh hiểu nhầm 2 đại lượng tỉ lệ nghịch chỉ là 2 đại lượng mà: “khi đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm đi bấy nhiêu lần”
+ Qua các VD, rút ra nhận xét rằng trong bài toán về 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta thường dùng t/c:”Tiách của 2 giá trị tương ứng không đổi”. Từ đó trở về bài toán chia một số thành những phần tỉ lệ với số đã cho. Ví dụ: Hai đaik lượng y và x liên hệ với nhau bởi công thức: y =
a) Hỏi y tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với x ? Xác định hệ số tỉ lệ.
b) Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với y ? xác định hệ số tỉ lệ. Có nhận xét gì về 2 hệ số tỉ lệ vừa tìm được?.
Ví dụ: Biết rằng 2 đại lượng x và y tỉ lệ ngịch với nhau y = -2; x = 8 là 2 giá trị tương ứng. Hãy tìm hệ số tỉ lệ.
Ví dụ: Một người chạy từ A đến B hết 20phút. Hỏi người đó chạy từ B về A hết bao nhiêu phút, nếu vận tốc chạy từ B về A bằng 0,8 lần vận tóc chạy từ A đến B ?
Ví dụ: Biết rằng đại lượng x tỉ lệ ngịch với đại lượng y; khi x = 5 thì y =7. Hãy tìm giá trị của y ứng với x = -4.
Ví dụ: Thùng nước uống trên một tàu thuỷ dự định để 15 người uống trong 42 ngày. Nừu chỉ có 9 người trên tàu thì dùng được bao lâu ?
Ví dụ: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi bộ cùng đi trên quảng đường. Người đi xe đạp đi hết 2 giờ, người đi xe máy hết 0,5 giờ, người đi bộ hết 4 giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng tổng vận tốc của 3 người là 55km/h.

3.. Khái niệm hàm số và đồ thị:
– Đ/n hàm số.

– Mặt phẳng toạ độ. Đồ thị hàm số y = ax (a 0).

– Đồ thị hàm số
y= Về kiến thức:
– Biết k/n hàm số và các cách cho hàm số bằng bảng và công thức.
– Biết k/n đồ thị của hàm số.
– Biết dạng của đồ thị hàm số y = ax .
– Biết dạng của đồ thị hàm số y =
Về kĩ năng:
– Biết cách xác định một điểm trên mặt phẳng toạ độ của nó và biết xác định toạ độ của 1 điểm trên mặt phẳng toạ độ.
– Vẽ thành thạo đồ thị của hàm số
y = ax .
– Biết tìm trên đồ thị giá trị gần đúng của hàm số khi cho trước giá trị của biến số và ngược lại.
– Biết k/n hàm số qua VD cụ thể.
Hiểu đại lượng y là 1 hàm số của đại lượng x nếu mỗi giá trị của x xác định 1 giá trị duy nhất của y.
– Không đưa ra đ/n rằng”Hàm số là một quy tắc tương ứng …” chưa đưa ra k/n tập xác định của hàm số. Không dùng cách viết x y
hoặc x y để diễn đạt y ứng với x.

– Hiểu kí hiệu f(x). Hiểu được sự khác nhau giữa các kí hiệu f(x), f(a) (với a là số cụ thể)

– Hiểu 1 hệ trục toạ độ gồm 2 trục số vuông góc và chung gốc O, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. Mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng có hệ trục toạ độ.
– Hiểu k/n toạ độ của 1 điểm.
– Biết cách xác định 1 điểm trên mặt phẳng toạ độ khi biết toạ độ của nó.
– Biết rằng điểm có hoành độ bằng 0 nằm trên trục tung và điểm có tung độ bằng 0 nằm trên trục hoành.
– Biết cách xác định toạ độ điểm trên mặt phẳng toạ độ.
– Có k/n về đồ thị h/s y =f(x).
– Biết dạng và vẽ thành thạo đồ thị h/s y = ax (a0)
– Biết dùng đồ thị để xác định gần đúng giá trị của h/s khi cho trước giá trị của biến và ngược lại.
– Nên làm các bài tập: 24, 25, 26, 32, 33 SGK.
Ví dụ: Các giá trị tương ứng của 2 đại lượng x và y được cho bởi bảng sau.
x
-2
-1
1
2

y
4
1
1
4

Hỏi:
a) y có phải là hàm số của x hay không ?
b) x có phải là hàm số của y hay không ?

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 2x+3. thế thì f(-5) là giá trị của hàm số tại x = -5; nghĩa là f(-5) +3 = -10+3 = -7.
Hãy tính f(0,5), f(0)

Ví dụ: a) Cho điểm P(-3; 5)
Hãy chỉ ra hoành độ, tung độ của điểm P.
b) Hãy dùng kí hiệu để biểu thị điểm Q có hoành độ là 8, tung độ là -.
Ví dụ: xác định trên mặt phẳng toạ độ những điểm:
A(-5; 5), B(2; -3), C(0; 3), D(-4; 0)
Ví dụ: Cho hàm số bởi bảng:
x
-2
0
3

y
3
-1
0

Đồ thị của h/s này là tập hợp 3 điểm: A(-2;3),
B(0;-1), C(3;0)
Ví dụ: Vẽ đồ thị các h/s:
a) y = x; b) y = -2x
Ví dụ: Cho h/s y = x.
a) Vẽ đồ thị h/s.
b) Dùng đồ thị để tính giá trị gần đúng của y khi x = 3;
c) Dùng đồ thị để tính giá trị gần đúng của x khi y = – 2.
III. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ.
1. Khái niệm biểu thức đại số, giá trị của biểu thức đại số.
Về kĩ năng:
Biết cách tính giá trị của một biểu thức đại số.
– Biết k/n về biểu thức đại số.
– Viết được biểu thức đại số trong trường hợp đơn giản.
– Lấy được VD về biểu thức đại số.
– Tính được giá trị của biểu thức đại số dạng đơn giản khi biết giá trị của biến.
– Nên làm các bài tập: 1, 3, 6, 7 SGK. Ví dụ: Viết biểu thức biểu thị quảng đường đi được sau x(h) của 1 máy bay bay với vận tốc 900km/h.
Ví dụ; Tính giá trị của biểu thức:
a) x2 + x – 2 tại x = 2.
b) 2×2 – 3xy + y2 tại x = -1;
y = 2.
2. Đơn thức:
K/n đơn thức, đơn thức đồng dạng, các phép toán cộng, trừ, nhân đơn thức. Về kiến thức:
Biết các k/n đơn thức, bậc của đơn thức 1 biến.

Về kĩ năng:
– Biết cách xác định bậc của đơn thức, biết nhân 2 đơ thức.
– Biết làm các phép cộng và trừ các đơn thức đồng dạng.
– Lấy được VD về 1 đơn thức.
– Biết thu gọn đơn thức và phân biệt được phần hệ số và phần biến của 1 đơn thức.
– Thực hiện được phép nhân 2 đơn thức. Tìm được bậc của 1 đơn thức 1 biến trong trường hợp cụ thể.
– Nhận biết được 2 đơn thức đồng dạng.

– Thực hiện được phép cộng và phép trừ các đơn thức đồng dạng.
– Nên làm các bài tập: 11, 12, 13, 15, 16, 17 SGK Ví dụ: Thu gọn các đơn thức sau và xác định phần hệ số, phần biến số của đơn thức đó.
a) (-2)3xy3x5y2;
b) 25x3y2z5xy3.
Ví dụ: Tính tích các đơn thức sau rồi tìm bậc của đơn thức thu được:
a) 5x3y2 và -2x2y;
b) 3x2y và x2y2z.
Ví dụ: Xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng.
5xy2; -2x2y; 7x2y2; -2x3y2; x2y; x3y2; x2y2; -xy2.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
6x5y2 – 3x5y2 – 2x5y2.
3. Đa thức:
– K/n đa thức nhiều biến. Cộng và trừ đa thức.
– Đa thức 1 biến. Cộng và trừ đa thức 1 biến.
Về kiến thức:
– Biết các k/n đa thức nhiều biến, đa thức 1 biến, bậc của đa thức 1 biến.
Về kĩ năng:
– Biết cách thu gọn đa thức, xác định bậc của1 đa thức.
– Biết sắp xếp các hạng tử của đa thức 1 biến theo luỹ thừa tăng hoặc giảm.
– Biết lấy VD về đa thức nhiều biến, đa thức 1 biến.
– Biết ccộng, trừ hai đa thức.

– Tìm bậc của đa thức sau khi thu gọn.

Ví dụ: Cho 2 đa thức:
P = 5xyz + 2xy – 3×2 – 11
Q = 15 – 5×2 + xyz – xy
Tính P + Q; P – Q.
Ví dụ: Thu gọn, sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa tăng (hoặc giảm) của biến rồi tìm bậc của đa thức, hệ số cao nhất, hệ số tự do.
6×3- x4-7x + 25 + x2 – x5 -13×3 + 2×4-7×5+ x2 – 4×5 – 12
Ví dụ: Cho
P(x) = x2-2x-5×5+7×3-12
Q(x) = x3-2×4-7x + x2 – 4×5
Tính: a) P(x) + Q(x)
b) P(x) – Q(x).

4. Nghiệm của đa thức 1 biến.
Về kiến thức:
Biết k/n nghiệm của đa thức một biến.
Về kĩ năng:
Biết tìm nghiệm của đa thức 1 biến bậc nhất.
– Biết cách kiểm tra một số có là nghiệm hoặc không là nghiệm của một đa thức một biến.
– Không y/c tìm nghiệm của đa thức có bậc lớn hơn một.
– Nên làm các bài tập: 54, 55a) SGK.
Ví dụ: 1. Kiểm tra xem:
a) x = 0,5 có phải là nghiệm của đa thức 5 – 10x không ?
b) Mỗi số x =1; x=-2; x= 2 có phải là nghiệmcủa đa thức x2 + x – 2 không ?
2. Tìm nghiệm của đa thức:
a) f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 – x
IV. THỐNG KÊ
Thu thập các số liệu thống kê. Tần số.
Bảng tần số và biểu đồ tần số (biểu đồ đoạn thẳng hoặc biểu đồ hình cột). Số trung bình, mốt của bảng số liệu.
Về kiến thức:
– Biết các k/n: Số liệu thống kê, tần số.
– Biết bảng tần số, biểu đồ đoạn thẳng hoặc biểu đồ hình cột tương ứng.
Về kĩ năng:
– Hiểu và vận dụng được số trung bình, mốt của bảng số liệu trong các tình huống thực tế.
– Biết cách thu thập các số liệu thống kê.
– Biết cách trình bày các số liệu thống kê bằng bảng tần số, bằng biểu đồ đoạn thẳng hoặc biểu đồ hình cột tương ứng.
* Thu thập các số liệu thống kê. Tần số.
– Biết cách lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho một cuộc điều tra nhỏ.
– Từ bảng số liệu thống kê ban đầu biết được:
Dấu hiệu điều tra;
Đơn vị điều tra;
Giá trị của dấu hiệu;
Dãy giá trị của dấu hiệu;
xác định được tần số của mỗi giá trị.
– Nên làm các bài tập: 1, 4 SGK.

* Bảng tần số các giá trị của dấu hiệu.
– Lập được bảng tần số dạng “ngang” và dạng “dọc”.
– Nhận xét được số các giá trị khác nhau của dấu hiệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
– Nên làm các bài tập: 5; 8 SGK.

* Biểu đồ
– Hiểu được biểu đồ đoạn thẳng và cách dựng biểu đồ đoạn thẳng.
– Biết cách dựng biểu đồ cột tương ứng với biểu đồ đoạn thẳng.
– Nên làm các bài tập: 10; 13 SGK.
– Không y/c dựng biểu đồ hình quạt.

* Số trung bình cộng:
– Sử dụng được công thức để tính số trung bình cộng.
– Biết rằng số trung bình cộng thường được dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại.

– Tìm được mốt của dấu hiệu qua bảng “tần số”.
– Nên làm các bài tập: 15, 18 SGK. Ví dụ: Bạn An cần ghi lại thời gian cần thiết để đi từ nhà đến trường trong 10 ngày thu được kết quả như sau:
Ngày
Thời gian(ph)

1
21

2
18

3
17

4
20

5
19

6
18

7
19

8
20

9
18

10
19

a) Dờu hiệu mà bạn An quan tâm là gì ? vàdấu hiệu đó có tất cả bao nhiêu giá trị ?
b) Có bao nhêu giá trị khác nhau trong dãy giá trị của dấu hiệu đó ?
c) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tìm tần số của chúng.
Ví dụ: Kết quả điều tra về số con của 3o gia đình một thôn trong bảng sau:
2
2
2

4
4
2

1
2
2

0
3
2

3
2
2

2
1
3

2
3
2

2
2
1

3
2
0

1
2
2

a) Dờu hiệu cần tìm hiểu ở đay là gì ? Lập bảng tần số;
b) Hãy nêu 1 số nhận xét từ bảng trên.
Ví dụ: Nhiệt độ trung bình hàng thắng trong 1 năm của 1 địa phương như sau:

Tháng
độ C

Tháng
độ C

1
18

7
31

2
20

8
28

3
28

9
25

4
30

10
18

5
31

11
18

6
32

12
17

a) Hãy lập bảng “tần số”
b) Biểu diễn bảng “tần số” bàng biểu đồ đoạn thẳng.
Ví dụ: Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của 50em HS lớp 7A như sau:
Điểm
T.số

Điểm
T.số

1
3

6
8

2
4

7
9

3
3

8
6

4
7

9
2

5
4

10
4

N=50

a) Tìm số trung bình cộng.
b) Tìm mốt của dấu hiệu.
V. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG THẲNG SON SONG.
1. Góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau. Hai góc đối đỉnh. Hai đường thẳng vuông góc.
Về kiến thức:
– Biết k/n 2 góc đối đỉnh.
-Biết k/n góc vuông, góc nhọn, góc tù.
– Biết k/n 2 đường thẳng vuông góc.
Về kĩ năng:
– Biết dùng ê ke để vẽ đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước..
– Biết nêu t/c của 2 góc đối đỉnh.
– Biết vẽ 2 góc đối đỉnh và vẽ được góc đối đỉnh với một góc cho trước.
– Nhận biết được các cặp góc đối đỉnh trong một hình.
– Vận dụng được t/c của 2 góc đối đỉnh để tính số đo góc, tìm các cặp góc bằng nhau.

– Biết nhận ra trên hình vẽ 2 đường thẳng vuông góc, 2 tia vuông góc.
– Biết kí hiệu .
– Hiểu t/c có 1 và chỉ 1 đường thẳng a đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng b cho trước. Tính chất này được thừa nhận là đúng mà không c/m.
– Biết dùng êke để vẽ đường thẳng đi qua 1 điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước ở nhiều vị trí khác nhau (hình4)
– Hiểu được k/n đường trung trực của 1 đoạn thẳng và biết mỗi đoạn thẳng chỉ có 1 đường trung trực.
– Biết vẽ đường trung trực của mỗi đoạn thẳng.
– Nhận biết được điểm nằm giữa 2 điểm, tia nằm giữa 2 tia trên hình vẽ, không y/c giải thích.
– Nên làm các bài tập: 1, 2, 3, 4, 12, 14 SGK.
Ví dụ: Trong hình vẽ 1 có mấy cặp góc đối đỉnh. Hãy nêu tên các cặp góc đó.

Ví dụ: Cho 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành 4 góc (không kể góc bẹt).Biết
Tính số đo 4 góc tạo bởi hình 2.

Ví dụ: Hai tia OA và OB trong hình 3 có vuông góc với nhau không ? Vì sao ?

Ví dụ: Trong hình vẽ 5, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng nào ?

2. Góc tạo bởi 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng.
Về kĩ năng:
Biết sử dụng đúng tên gọi các góc tạo bởi một đường thẳng cắt 2 đường thẳng: Góc so le trng, góc đồng vị, góc trong cùng phía, góc ngoài cùng phía.
– Nhận ra trên hình vẽ thế nào là 2 góc so le trong, cặp góc đồng vị, cặp góc cùng phía.

– Chỉ ra được góc so le trong, góc đồng vị, góc trong cùng phía với góc cho trước.
– Biết t/c: Nừu 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng và trong các góc tạo thành có 1 góc so le trong bằng nhau thì:
a) Hai góc so le rong cong lại bằng nhau.
b) Hai góc đồng vị bằng nhau.
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau
– Biết (công nhận, không c/m) dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song.
a) Nếu cặp góc so le trong bằng nhau thì 2 đường thẳng song song.
b) Nếu cặp góc đồng vị bằng nhau thì 2 đường thẳng song song.
c) Nếu cặp góintrong cùng phía bù nhau thì 2 đường thẳng song song.
– Biết vận dụng dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song để c/m 2 đường thẳng song song.
– Biết sử dụng êke (2 êke) để vẽ 2 đường thẳng song song, vẽ đường thẳng đi qua 1 điểm cho trước ở ngoài đường thẳng và song song với đường thẳng đó.
– Biết dùng kí hiệu để diễn đạt dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song.
– Biết cách kểm tra xem 2 đường thẳng cho trước có song song với nhau không bằng cách vẽ thêm 1 cát tuyến rồi đo xem góc đồng vị (hoặc so le trong) có bằng nhau không.
– Nên làm các bài tập: 21, 22, 25, 26, 27 SGK.
Ghi chú:
+ Không đề cập góc so le ngoài, cặp góc ngoài cũng như dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song liên quan đến k/n này.
+ Không cho những bài tập mà HS phải vẽ thêm đường phụ.
Ví dụ: Trong hình 6 , hãy kể tên các cặp góc so le trong, các cặp góc đồng vị, các cặp góc trong cùng phía.

Ví dụ:
Trong hình 7 hãy cho biết:
a) Góc so le trong với góc A1.
b) Góc đồng vị với góc A1.
c) Góc trong cùng phía với góc A1.

Ví dụ: Trong hình vẽ 8 có:
.
Chứng tỏ rằng: a//b.

Ví dụ: Trong hình vẽ 9, biết
.
Chứng tỏ Ax//By.

3. Hai đường thẳng song song.
Tiên đề Ơ-Clít về đường thẳng song song.
Về kiến thức:
– Biết tiên đề Ơ-Clit.
-Biết các t/c của 2 đường thẳng song song.

Về kĩ năng:
– Biết sử dụng đúng tên gọi các góc tạo bởi 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng: góc so le trong, góc đồng vị, góc trong cùng phía, góc ngoài cùng phía.
– Biết dùng êke vẽ đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước đi qua 1 điểm cho trước nằm ngoài đường thẳng đó (2 cách)
– Biết qua 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng có thể vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với đường thẳng đó.
– Biết t/c 2 đường thẳng song song ngược với dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song.
– Biết quan hệ giữa 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc hoặc cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song (bước đầu suy luận c/m)
– Biết nếu 1 đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia (không c/m)
– Biết vận dụng tiên đề Ơ-Clit để c/m 3 điểm thẳng hàng.
– Biết vận dụng t/c của hai đường thẳng song song để c/m 2 góc bằng nhau hoặc bù nhau. Cho biết số đo củav 1 góc, biết cách tính số đo của góc còn lại.
– Biết quan hệ giữa vuông góc và song song để c/m 2 đường thẳng vuông góc hoặc song song.
– Nên làm các bài tập: 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 46 SGK.

Ví dụ: Bài 38 SGK

Ví dụ:
Trong hình 10, có OA//xy, OB//xy. Hỏi 3 điểm A, O, B có thẳng hàng không ?

Ví dụ:
Trong hình 11, có a//b và
.
Tính số đo các góc B1, B2.
Ví dụ:
Xem hình 12 rồi giải thích tại sao cb

Ví dụ: Xem hình 13 rồi chứng tỏ AB//CD.

4. Khái niệm đ/l. C/m 1 đ/l.
Về kiến thức:
Biết thế nào là một đ/l và c/m 1 đ/l.
– Biết cấu trúc 1 đ/l gồm 2 phần: GT và KL.
– Biết tìm đúng GT, KL trong 1 đ/l, trong 1 bài toán.
– Biết vẽ hình minh hoạ đ/l và viết GT, KL bằng kí hiệu.
– Khi c/m đ/l 2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì tập suy luận là chủ yếu nhằm minh hoạ thế nào là c/m, không nhằm mục đích luyện tập cách c/m.
– Nên làm bài tập: 49, 50 SGK.
– Chưa giới thiệu đ/l đảo, hệ quả. Ví dụ: Bài tập 49, 50 SGK.
VI. TAM GIÁC
1. Tổng 3 góc của 1 tam giác.
Về kiến thức:
– Biết đ/l về tổng 3 góc của 1 tam giác.
– Biết đ/l về góc ngoài của 1 tam giác.
Về kĩ năng:
– Vận dụng được các đ/l trên vào việc tính số đo các góc của tam giác. – C/m được đ/l về tổng 3 góc của 1 tam giác.
– Tính được số đo các góc trong 1 tam giác ở các bài toán đơn giản.
– Nhận biết được góc ngài của 1 tam giác, mối quan hệ giữa góc ngoài của tam giác với 2 góc trong không kề với nó.
– Không y/c c/m đ/l về góc ngoài của tam giác.
– Nên làm bài tập; 1, 2, 5, 6, 7 SGK. Ví dụ: Cho ABC có
. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D.
a) Tính số đo góc BAC.
b) Tính số đo góc ADC, ADB.
2. Hai tam giác bằng nhau.
Về kiến thức:
– Biết k/n 2 tam giác bằng nhau.
– Biết các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác.
Về kĩ năng:
– Biết cách xét sự bằng nhau của 2 tam giác.
– Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác để c/m các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
* Hai tam giác bằng nhau:
– Biết đ/n 2 tam giác bằng nhau.
– Biết viết kí hiệu 2 bằng nhau theo quy ước, tìm được các đỉnh tương ứng; các góc tương ứng, các cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau.
– Biết sử dụng 2 tam giác bằng nhau để suy ra 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 góc bằng nhau.
– Nên làm các bài tập: 11, 14 SGK.
* Các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác.
– Biết 3 trường hợp bằng nhau của 2 tam giác: (c.c.c; c.g.c; g.c.g)
– Biết trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của 2 tam giác vuông.
– C/m 2 tam giác bằng nhau trong bài toán cụ thể bằng cách sử dụng các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác.
– Chứng minh được 2 đoạn thẳng bàng nhau, 2 góc bằng nhau dựa vào việc c/m 2 tam giác bằng nhau.
– Nên làm các bài tập: 17, 19, 25, 29, 34, 36, 39, 43 SGK.
Ghi chú:
+ Thừa nhận, không c/m các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác.
+Viết kí hiệu 2 tam giác bằng nhau theo quy ước viết tên các đỉnh tương ứng theo cùng một thứ tự để từ đó dễ dàng suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau, 2 goác tương ứng bằng nhau. Ví dụ: Cho
Điền vào chỗ trống (…)

Ví dụ: Cho ABC. Vẽ các đường tròn (B; BA) và (C; CA) chúng cắt nhau tại D (khác A). C/mr BC là tia phân giác của góc ABD.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Đường trung trực d của AB cắt AB ở H. Gọi M là 1 trong các điểm thuộc đường thẳng d (M khác H). C/mr MA = MB.

Ví dụ: Cho ABC (AB < AC) M là trung điểm của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với AM (E và F thuộc đường thẳng AM) C/mr:
BE = CF.

3. Các dạng tam giác đặc biệt.
– cân,
– đều.
-vuông
– đ/l Pi ta go. Hai trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
Về kiến thức:
– Biết các k/n cân, đều, vuông.
– Biết các t/c của cân, đều.
– Biết đ/l Pi – Ta- go thuận và đảo.
– Biết các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
Về kĩ năng:
– Vận dụng được đ/l Pi-Ta-go vào tính toán.
– Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để c/m các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
* Tam giác cân, tam giác đều.
– Biết vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
– Biết được số đo các góc của tam giác vuông cân, tam giác đều.

– Biết cách c/m 1 tam giác là tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều.

– Biết vận dụng các t/c của cân vào tính toán và c/m đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 47, 49, 51 SGK.
* Đ/l Pi-Ta-go:
– Tính được độ dài 1 cạnh của
Vuông khi biết độ dài 2 cạnh kia.
– Nhận biết được 1 tam giác là tam giác vuông.
– Nên làm các bài tập: 55, 56 SGK.
Ghi chú:
Định lí Pi-Ta-go thừa nhận, không c/m.
* Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
– Liệt kê được các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (không y/c c/m)
– C/m 2 đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau dựa vào các trường hợp bằng nhaucủa 2 tam giác vuông.
– nên làm các bài tập: 63, 65 SGK.
* Thực hành ngoài trời:
Biết sử dụng các dụng cụ để xác định khoảng cách giữa 2 điểm A và B trên mặt đất, trong đó địa điểm B nhìn thấy được nhưng không đến được.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. . Tính số đo các góc B, C.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. C/mr DE//BC.

Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (HBC). Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính độ dài AC, BC.

Ví dụ: Tam giác ABC có AB = 10cm, BC = 8cm, AC = 6cm. Tính số đo góc ACB.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A ( < 900). Vẽ
BHAC (HAC),
CKAB (KAB).
a) C/mr AH = AK.
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. C/mr AI là tia phân giác của góc A.

VII. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC. CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC.
1. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Quan hệ giữa 3 cạnh trong 1 tam giác. Về kiến thức:
– Biết quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong 1 tam giác.

– Biết bất đẳng thức tam giác.
Về kĩ năng:
Biết vận dụng mối quan hệ trên để giải bài tập.
– So sánh được các cạnh của 1 tam giác khi biết quan hệ giữa các góc và so sánh được các góc khi biết quan hệ giữa các cạnh.
– Biết được trong 1 tam giác vuông (hoặc tam giác tù), cạnh lớn nhất là cạnh huyền (hoặc cạnh đối diện với góc tù)
– Nên làm các bài tập: 1, 2, 3 SGK.
* Bất đẳng thức trong tam giác:
– Hiểu đ/l về mối quan hệ giữa 3 cạnh của 1 tam giác và bất đảng thức tam giác.
– Có y/c c/m đ/l để rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng vận dụng đ/l.
– Biết vận dụng được ĐK cần để nhận biết 3 đoạn thẳng cho trước có là 3 cạnh của một tam giác hay không (loại BT này phải cho độ dài các đoạn thẳng bằng số cụ thể, chỉ y/cloại trừ các bộ 3 không thoả mãn bất đẳng thức tam giác và vẽ hình trong trường hợp thoả mãn).
– Nên làm các bài tập: 15, 16, 18 SGK.
Ví dụ: a) Cho tam giác ABC với . Tìm cạnh lớn nhất của tam giác đó.
b) Trong 1 tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn, góc vuông hay góc tù ?

Ví dụ:
a) Cho tam giác ABC với AB = 6cm, BC = 2cm. Tìm cạnh AC;
b) Bộ 3 đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm và 7cm có thể là 3 cạnh của 1 tam giác hay không ?

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình chiếu của nó.
Về kiến thức:
– Biết các k/n đường vuông ógc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên, khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng.
– Biết quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình chiếu của nó.
Về kĩ năng:
Biết vận dụng các mối quan hệ trên để giải bài tập.
– Nhận biết được đường vuông góc, đường xiên kẻ từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, hình chiếu của đường xiên treen 1 đường thẳng thông qua hình vẽ, k/n khoảng cách từ 1 điểm đén 1 đường thẳng.
– Biết rằng ta cũng gọi đoạn vuông góc chung là đường vuông góc, đoạn xiên là đường xiên.
– Vẽ được hình và tìm được trên hình đó đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên.
– So sánh được đường vuông góc và đường xiên.

– So sánh được các đường xiên từ 1 điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó và các hình chiếu của chúng.
– Nên làm các bài tập: 8, 10, 12, 13 SGK. Ví dụ:
Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Dùng êke để vẽ đường vuông góc và một đường xiên từ A đến a. Hãy điền tên vào các điểm cần thiết trên hình vẽ và cho biết đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên tương ứng là đoạn thẳng nào trong hình vẽ này ?
Ví dụ: Trong số các đoạn thẳng AB, AC, AD, AE ở hình 14 dưới đây, đoạn nào ngắn nhất ? Vì sao ?

Ví dụ: Cho ABC vuông tại A. Gọi D là 1 điểm nằm giữa A và C. Sử dụng đ/l về quan hệ giữa các đường xiên kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó và các hình chiếu của chúng để so sánh BC với BD.
3. Các đường đồng quy của tam giác.
Các k/n đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao của 1 tam giác.
Sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao của 1 tam giác. Về kiến thức:
– Biết các k/n đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao của 1 tam giác.
– Biết các t/c của tia phân giác của 1 góc, đường trung trực của 1 đoạn thẳng.

Về kĩ năng:
– Vận dụng được các đ/l về sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao của 1 tam giác để giải bài tập.
– Biết c/m sự đồng quy của 3 đường phân giác, 3 đường trung trực.
* Đường trung tuyến của
– Nhận biết được đường trung tuyến của .
– Biết vẽ 3 đường trung tuyến của .
– Biết 3 đường trung tuyến của đồng quy tại 1 điểm, điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

– Không c/m đ/l về sự đồng quy của 3 đường trung tuyến trong 1 tam giác.
– vận dụng được đ/l về sự đồng quy của 3 đường trung tuyến trong 1 tam giác để giải một số bài tập đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 23, 25, 28, 29 SGK.
* Đường phân giác của tam giác.
– Biết cách vẽ tia phân giác của 1 góc bằng compa.
– Khẳng định được: Một điểm nằm trên tia phân giác của 1 góc khi và chỉ khi nó nằm trong góc và cách đều 2 cạnh của góc. Vận dụng để giải một số bài tập đơn giản.
– Biết vẽ đường phân giác của 1 góc trong tam giác.
– Biết 3 đường phân giác của tam giác đồng quy tại 1 điểm, điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác. C/m được 3 đường phân giác trong 1 tam giác đồng quy.
– Biết t/c đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy của tam giác cân.
– Vận dụng được đ/l về sự đồng quy của 3 đường phân giác trong 1 tam giác để giải 1 số bài tập đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 31, 33a,b,c, 34, 36, 38, 39 SGK.
* Đường trung trực của tam giác.
– Vẽ được đường trung trực của một đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng bằng thước thẳng và compa.
– C/m được: 1 điểm nằm trên đường trung trực của 1 đoạn thẳng khi và chỉ khi nó cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó.
– Biết t/c đường trung trực của cạnh đáy trong tam giác cân.
– C/m được3 đường trung trực của 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
– Biết vận dụng để giải 1 số bài tập đơn giản.

– nên làm các bài tập: 44, 46, 47, 50, 53, 54, 55 SGK.

* Đường cao của tam giác:
– Biết k/n đường cao của 1 tam giác, nhận ra mỗi tam giác có 3 đường cao.
– Vẽ được chính xác các đường cao của 1 tam giác bằng thước và compa.
– Biết 3 đường cao trong 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm, điểm đó là trực tâm của tam giác.
– Biết được t/c đặc trưng của tam giác cân về các đường đồng quy. Đặc biệt trong tam giác đều, 4 điểm: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh là trùng nhau.
– Vận dụng được đ/l về sự đồng quy của 3 đường cao trong tam giác, t/c đặc trưng của tam giác cân, tam giác đều về các đường đồng quy để giải 1 số bài tập đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 59, 61 SGK. Ví dụ:
a) Vẽ 1 tam giác với 3 đường trung tuyến của nó; đặt tên các điểm cần thiết trong hình đó.
b) Cho biết tỉ số giữa 1 đường trung tuyến và 1 đoạn thẳng của đường trung tuyến này kể từ đỉnh đến trọng tâm trong hình vẽ ở câu a;c) Cho tam giác đều ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác đó. C/m:
GA = GB = GC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC
a) Vẽ 2 tia phân giác của 2 góc ngoài tại 2 đỉnh B và C, biết rằng 2 tia này nằm bên trong góc A;
b) C/mr giao điểm của 2 tia phân giác đó nằm trên tia phân giác của góc A.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của 2 đường phân giác xuất phát từ 2 đỉnh B và C của tam giác ABC. C/mr: AO là tia phân giác của góc A.

Ví dụ:
a) C/mr trong các tam giác cân có chung cạnh đáy, các đỉnh đối diện với cạnh đáy nằm trên 1 đường thẳng.
b) Cho 2 điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. C/m:
. (y/c dùng thước thẳng và compa vẽ chính xác đường trung trực của đoạn thẳng AB).
Ví dụ:
a) Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh AB và Bc. Gọ M là trung điểm của cạnh AC. C/m:
OA = OC và OMAC;
b) Cho ABC cân tại A. Gọi G, O lần lượt là giao điểm của 3 đường trung tuyến, 3 đươnmgf trung trực của tam giác đó.
C/m A, G, O thẳng hàng.

Ví dụ:
a) Cho tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của 2 đường cao của tam giác đó xuất phát từ các đỉnh B và C. C/mr: AHBC;
b) C/mr: Trong 1 tam giác đều các điểm: Trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh trùng nhau.

LỚP 8
Chủ đề Mức độ cần đạt Giải thích- hướng dẫn ví dụ
I. NHÂN VÀ CHIA ĐA THỨC:
1. Nhân đa
thức:
– Nhân đơn thức với đa thức.
– Nhân đa thức với đa thức.
Nhân 2 đa thức đã sắp xếp. Kiến thức:
Hiểu và nắm vững 2 quy tắc:
– Nhân đơn thức với đa thức.
– Nhân đa thức với đa thức.
Và nắm được cách nhân 2 đa thức đã sắp xếp.
Kỹ năng:
Vận dụng vận dụng 2 quy tắc trên và cách nhân 2 đa thức đã sắp xếp vào giảI các bài tập cụ thể
– Thực hiện phép nhân đơn thức với đơn thức, đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức.
– Nên làm các bài tập: 1, 2, 3, 7, 8 SGK.
Ghi chú:
Không đưa ra phép nhân các đa thức có số hạng tử lớn hơn 3 và các đa thức có hệ số bằng chữ. Ví dụ: Thực hiện phép tính:
a) x2(x – 2×3);
b) (x2 + 1)(5 – x);
c) (3 – 2x)(7 – x2 + 2x);
d) (x – 2y)(x2 – 2xy + 1)
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
-Bình phương của một tổng.
-Bình phương của một hiệu.
– Hiệu 2 bình phương.
– Lập phương của 1 tổng.
– Lập phương của 1 hiệu.
– Tổng 2 lập phương.
– Hiệu 2 lập phương. Kiến thức:
Nắm được cách xây dưng công thức biểu thị 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.

Kỹ năng:
Hiểu và vận dụng được 7 hằng đẳng thức:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A + B)(A – B)
4) (A+B)3=A3+3A2B + 3AB2+B3
5)(A-B)3 =A3- 3A2B +3A B2- B3
6) A3+B3= (A + B)(A2- AB + B2)
7) A3-B3= (A – B)(A2 + AB + B2)
Trong đó A, B là các số hoặc các biểu thức đại số. – Nhớ và hiểu các hằng đẳng thức: Bình phương của 1 tổng; Bình phương của 1 hiệu; Hiệu hai bình phương; Lập phương của 1 tổng; Lập phương của 1 hiệu; Tổng 2 lập phương; Hiệu hai lập phương.
– Dùng các hằng đẳng thức khai triển hoặc rút gọn được các biểu thức dạng đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 16, 24, 26, 30, 32, 33, 37 SGK.
Ghi chú:
+ Các biểu thức đưa ra chủ yếu có hệ số không quá lớn, để có thể tính nhanh, tính nhẩm được.
+ Khi đưa ra các phép tính có sử dụng các hằng đẳng thức thì hệ số các đơn thức nên là số nguyên.
Ví dụ: Tính:
a) (x+3y)2; b) (2x-3y)2;
c) (2x-y)3;
d) (x+2)(x2-2x+4)
Ví dụ: Tính nhanh:
a) 1012; b) 97.103;
c) 772 + 232 + 77.46;
d) 1052 – 52;
e) x3 + 9×2+27x + 27 tại x = 7.

ví dụ:
Rútt gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
(x-y)(x2+xy+y2) + 2y3
Tại x =
3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
– PP đặt nhân tử chung.
– PP dùng hằng đẳng thức.
-PP nhóm các hạng tử.
-PP tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
– PP thêm, bớt cùng một hạng tử. Kiến thức:
Hiểu và nắm được 5 PP phân tích đa thức thành nhân tử:
– PP đặt nhân tử chung.
– PP dùng hằng đẳng thức.
– PP nhóm các hạng tử.
– PP tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử.
– PP thêm, bớt cùng một hạng tử

Kỹ năng:
Vận dụng được 5 pp phân tích đa thức thành nhân tử trên, trong đó 3 PP đầu phải thật thành thạo.
– Biết thế nào là phân tích 1 đa thức thành nhân tử.

– Phân tích được đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp cơ bản, trong trường hợp cụ thể, không quá phức tạp.

Nên làm các bài tập: 39, 41, 43, 45, 47,50,51, 55 SGK.

Ghi chú:
+ Các bài tập đưa ra theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp.
+ Mỗi biểu thức không nên quá 2 biến.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhan tử:
1. a) 3×3 – 6x + 9×2;
b) 10x(x-y) – 6y(y-x)

2.a) 1 -2y + y2;
b) (x + 1)2 – 25;
c) 1 – 4×2;
e) x3 +8y3;
f) 27 + 27x + 9×2 + x3;
g) 8×3-12x2y+ 6xy2 – y3.

3.a) 3×2 + 5y – 3xy -5x;
b)3y2 – 3z2+ 3×2+6xy;
c) 16×3 + 54y3
d) x2 – 25 – 2xy + y2;
e) x5 – 3×4 + 3×3 – x2.
4. Chia đa thức:
– Chia đơn thức cho đơn thức.
– Chia đa thức cho đơn thức.
– Chia hai đa thức đã sắp xếp.

Kiến thức:
Hiểu và nắm được các quy tắc:
– Chia đơn thức cho đơn thức.
– Chia đa thức cho đơn thức.
Và cách chia hai đa thức đã sắp xếp.
Kỹ năng:
Vận dụng được các quy tắc:
– Chia đơn thức cho đơn thức.
– Chia đa thức cho đơn thức.
Và cách chia hai đa thức đã sắp xếp vào giải các bài tập cụ thể.
– Thực hiện được phép chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức và chia đa thức cho đa thức.
– Thực hiện được phép chia đa thức 1 biến đã sắp xếp.
– Nên làm các bài tập: 59, 60, 61a, 63, 64, 67, 68 SGK.
Ghi chú:
+ Đối với đa thức nhiều biến, chỉ đưa ra bài tập mà các hạng tử của đa thức bị chia chia hết cho đơn thức chia.
+ Chỉ nên giải các bài tập về phép chia hết là chủ yếu.
+ Không nên đưa ra trường hợp số hạng của đa thức chia nhiều hơn 3 hạng tử. Ví dụ: Làm tính chia:
a) 4x3y : x2;
b) (x5 +4×3 -6×2): 4×2;
c) (x3 – 8):(x2 + 2x + 4);
d) (3×2 – 6x):(2-x);
e) (x3+2×2-2x-1):(x2+3x+1)

II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. Đ/n, t/c cơ bản của phân thức. Rút gọn phân thức.
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức. Kiến thức:
Hiểu và nắm được đ/n phân thức đại số, hai phân thức bằng nhau; các t/c cơ bản của phân thức đại số. Biết phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung để rút gọn. Biết cách quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

Kỹ năng:
Vận dụng được các tính chất cơ bản của phân thức để rút gọn phân thức và quy đồng mẫu thức. – Lấy được VD về phân thức đại số.

– Vân dụng được đ/n để kiểm tra 2 phân thức bằng nhau trong những trường hợp đơn giản.

– Rút gọn được những phân thức mà tử và mẫu có dạng tích chứa nhân tử chung (Nếu phải biến đổi thì việc biến đổi không mấy khó khăn)
– Vận dụng được quy tắc đổi dấu khi rút gọn phân thức.

– Vận dụng được quy tắc đổi dấu khi quy đồng mẫuthức nhiều phân thức.
– Vận dụng được t/c cơ bản của phân thức để quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
– Nên làm các bài tập: 1a,b,c,e, 4, 5, 7a,b,c, 11, 12, 13a,14,15,16a, 18a, b, 19a,b SGK.
Ghi chú:
– Trong quá trình vận dụng quy trình quy đồng mẫu thức nhiều phân thức nên chú ý rèn luyện kĩ năng tìm nhân tử phụ.
– Không quy đồng phân thức những phân thức mà mà mẫu thức có quá 3 nhân tử. Nừu mẫu thức là đơn thức thì cũng chỉ có nhiều nhất là 3 biến.
Ví dụ:
;;
Là những phân thức đại số.
Ví dụ: Hãy chứng tỏ:

Ví dụ: Xét xem hai phân thức
Có bằng nhau không.
Ví dụ: Rút gọn các phân thức:

Ví dụ: Dùng QT đổi dấu để rút gọn phân thức.

Ví dụ: QĐ mẫu các phân thức:
và
Ví dụ: Quy đông mẫu các phân thức:
a) và
b) và
c) và

2. Cộng và trừ các phân thức đại số. Kiến thức:
Biết kháI niệm phân thức đối của phân thức (B0) (là phân thức hoặc và được kí hiệu là -)
Kỹ năng:
Vận dụng được các quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số (Các phân thức cùng mẫu và khác mẫu thức ) – Cộng được các phân thức đơn giản (không quá 3 phân thức)
– Viết được phân thức đối của một phân thức.
Ví dụ: Viết phân thức đối của mỗi phân thức sau:
a)
– Đổi được ngay phép trừ với phép cộng của phân thức đối.

– Vận dụng được các quy tắc để thực hiện phép cộng, trừ phân thức.
– Nên làm các bài tập: 21, 22a,b, 23c,d, 25b,d, 28, 29a,b, 30a SGK.
Ghi chú:
– Chỉ y/c thực hiện những phân thức mà mẫu thức chung có không quá 3 phân thức.
– Không cần c/m các t/c giao hoán, kết hợp của phép cộng.
– Phép trừ không có t/c giao hoán và kết hợp. Do đó nếu cho dãy phép tínhcó chứa nhiều phép trừ thì nên biến đổi phép trừ thành phép cộng với phân thức đối. Ví dụ: Cộng các phân thức:
a) ;
b)
c)
Ví dụ:Thực hiện các phép tính:

Ví dụ: Cộng các phân thức:

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

3. Nhân và chia các phân thức. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Kiến thức:
– Nhận biết được phân thức nghịch đảo và hiểu rằng chỉ có phân thức khác 0 mới có phân thức nghịch đảo.
– Hiểu thực chất biểu thức hữu tỉ là biểu thức chứa các phép toán cộng trừ, nhân, chia các phân thức đại số.
Kỹ năng:
Vận dụng được các quy tắc nhân 2 phân thức: x
– Vận dụng được các tính chất của phép nhân các phân thức đại số:
t/c giao hoán, t/c kết hợp, t/c phân phối của phép nhân đối với phép cộng. – Tìm được phân thức nghịch đảo của các phân thức khác 0

– Thực hiện được phép chia phân thức cho phân thức.

– Nên làm các bài tập:38b,c, 39a, 42, 43a,c, 46a, 48a,b, 50b, 51b SGK.

Ghi chú:
– Hệ thống bài tập đưa ra được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp.
– Không đưa ra các bài tập mà trong đó phần biến đổi thành nhân tử quá khó khăn. Chủ yếu là biến đổi những hằng đẳng thức đáng nhớ.
– Khi trong phép nhân hoặc phép chia có nhân tử mang dấu “-” thì mặc nhiên thực hiện như khi nhân hoặc chia các phân số mà không cần giải thích.
– Nên có vài bài tập mà khi rút gọn cần vận dụng quy tắc đổi dấu.
– Phép chia không có t/c giao hoán và t/c kết hợp. Do đó nếu trong dãy phép tính có chứa nhiều phép chia thì nên đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo.
– Biết được rằng mỗi khi cần tính giá trị của phân thức thì trước hết phải tìm ĐK của biến.
– Biết tìm ĐK của biến đối với những phân thức mà mẫu là một đa thức bậc nhất hoặc phân tích thành 2 nhân tử bậc nhất (hoặc tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử dương hay âm)
Ví dụ: Viết phân thức nghịch đảo của mỗi phân thức sau:
a) ;
c)
Ví dụ: Thực hiện phép tính:

Ví dụ:Thực hiện phép chia:

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

Ví dụ: Cho phân thức
a) Tìm ĐK để giá trị của phân thức được xác định.
b) Tính giá trị của phân thức khi x = 0 và x = 3.

Ví dụ: Tìm ĐK để giá trị của phân thức sau được xác định:

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN
1. K/n về pt, phương trình tương đương:
– Phương trình một ẩn.
– Đ/n hai PT tương đương. Kiến thức:
– Nhận biết được phương trình, hiểu nghiệm của phương trình: Một phương trình có ẩn x có dạng:
A(x) = B(x), trong đó A(x) là VT, B(x) là VP là 2 biểu thức cùng chứa biến một biến x.
– Hiểu được khái niệm về 2 pt tương đương: Hai phương trình của cùng 1 ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
Kỹ năng:
Vận dụng được quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để giải phương trình. – Lấy được VD về PT một ẩn.
– Biết 1 giá trị của ẩn có là nghiệm hoặc không là nghiệm của PT cho trước hay không.
– Biết giải PT và tìm nghiệm của nó.

– Lấy được VD về 2 PT tương đương.
– Chỉ ra được 2 PT cho trước là tương đương trong trường hợp đơn giản.

– Nên làm các bài tập: 1, 3, 4 SGK. Ví dụ:
x = 1 là nghiệm của pt:
4x – 4 = 0

Ví dụ: Hai phương trình:
2x – 6 = 0 và (x-1)(x-4) = 0 có tương đương với nhau không ?
2. Phương trình bậc nhất một ẩn.
– PT đưa về dạng ax+b = 0.
– PT tích.
-PT chứa ẩn ở mẫu Kiến thức:
Hiểu đ/n phương trình bậc nhất một ẩn: ax+b = 0 (x là ẩn; a, b là những hằng số, a0) và nghiệm của phương trình bậc nhất.
Kỹ năng: Có kĩ năng biến đổi tương đương để đưa pt về dạng: ax + b = 0
Hoặc pt tích.
– Tìm ĐKXĐ của pt chứa ẩn ở mẫu.
– Quy đồng mẫu và khử mẫu.
– Giải pt vừa tìm được.
– Kiểm tra các kết quả vừa tìm được có thoả mãn ĐKXĐ không và kết luận về nghiệm của PT.
* PT bậc nhất 1 ẩn.
– Lấy được VD về PT bậc nhất một ẩn.
– Xác định được hệ số của ẩn, ĐK của hệ số của ẩn.

– Biết đổi dấu khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia.
– Biết chỉ được nhân (chia) hai vế của PT với cùng 1 số kác không.
– Vận dụng các quy tắc biến đổi đưa PT về dạng ax+b= 0
– Giải được PT bậc nhất 1 ẩn.
* PT tích:
– Giải được PT tích dạng đơn giản.
– Không đưa ra dạng có quá 3 nhân tử cũng không nên đưa ra có nhân tử bậc hai đầy đủ phải biến đổi đưa về dạng tích..
* Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
– Tìm được ĐK xác định của PT có ẩn ở mẫu.
– Giải được PT chứa ẩn ở mẫu.
– Chỉ đưa ra các bài tập mà mỗi vế của PT có không quá 2 phân thức và việc tìm ĐK xác định của PT cũng chỉ dừng lại ở chỗ tìm nghiệm của PT bậc nhất.
– Nên làm các bài tập sau: 7, 8, 10, 11, 17, 18, 21, 22, 27, 28a,b SGK.
Ví dụ: Giải các PT:
a) 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2;
b)
Ví dụ: Giải các PT:
a)
b)

Ví dụ: Giải các PT:
a) (x-7)(x-2) = 0;
b) 2x(x-3) + 5(x-3) = 0;
c) (2x-5)(x+)(3x-7) = 0

Ví dụ: Tìm ĐK xác định của mỗi PT sau:
a)
b) .
Ví dụ: Giải PT:

3. Giải bài toán bằng cách lập pt bậc nhất một ẩn. Kiến thức: Nắm được các bước giải bài toán bằng cách lập pt:
B1: Lập pt:
– Chọn ẩn, đặt ĐK thích hợp cho ẩn
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lpt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2: Giải pt:
B3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
Kỹ năng:- Chọn ẩn, đặt ĐK thích hợp cho ẩn.
– Giải phương trình. – Thực hiện đúng các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình.

– Nên làm các bài tập sau: 34, 35, 37, 40 SGK.

Ghi chú:
– Đưa ra tương đối đày đủ về các thể loại toán (toán về chuyển động đều; các bài toán về nội dung số học, hình học, hoá học, vật lí, dân số, …)
– Chú ý các bài toán thực tế trong đời sôns xã hội, trong thực tế đời sống sản xuất và xây dựng.
Ví dụ: Bài 34 SGK.

Ví dụ: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 ph, trên cùng một tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h. Biết quảng đường Nam Định – Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc xe máy khởi hành hai xe gặp nhau.

Ví dụ: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi phương. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?

Ví dụ: Một người lái xe ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h. Nhưng sau khi đi được 1 giờ, ôtô bị tàu hoả chắn đường trong 10 ph. Do đó để kịp đến B đúng thời gian dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quảng đường AB.

IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Kiến thức:
Nhận biết được bất đẳng thức.
Kỹ năng:
Biết áp dụng một số tính chất cư bản của BĐT để so sánh 2 số hoặc chứng minh BĐT:
a < b và b < c a < c
a < b a + c < b + c
a < b ac < bc nếu c > 0
a < b ac > bc nếu c < 0 – Hiểu ý nghĩa của dấu <, , > , .

– Viết được đúng các dấu: <, , > , khi so sánh 2 số.
– Sử sụng được t/c của BĐT về mối liên hệ giữa thứ tự và phép cộng (không c/m các t/c này mà chỉ đưa ra VD bằng số cụ thể để minh hoạ).

– Sử dụng được t/c của BĐT về mối liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Đặc biệt lưu ý trường hợp nhân 2 vế với 1 số âm (không c/m t/c này của BĐT mà chỉ đưa ra các ví dụ bằng số cụ thể để minh hoạ).

– Nên làm các bài tập:
1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11 SGK.
Ví dụ: a) Nếu a là số tự nhiên và a < 5 thì a có thể là những số nào ?
b) Nếu a là số tự nhiên và a 5 thì a có thể là những số nào ?
Ví dụ: Dùng 1 trong các dấu <, , >, để thể hiện những câu nói sau:
a) – 7 bé hơn 0,5;
b) số a bé hơn hay bằng 4;
c) lớn hơn -;
d) 12 không bé hơn số b.
Ví dụ: Biến đổi sau đúng hay sai ?
a) – 102 < 1-102 + 2 < 1 + 2;
b) x + 5 < 11 x+5+(-5) <11+(-5)
x < 6 Ví dụ: Biết rằng a > b, hãy so sánh:
a) a – 6 và b – 6;
b) 12 + a và 12 + b.
Ví dụ: Hãy so sánh a với b, biết rằng:
a+ 9 b +9
Ví dụ: Biết rằng a < b. Hãy chọn 1 trong các dấu <, , >, để điền vào mỗi chỗ trống sau để được bất đẳng thức đúng:
a) 7a … 7b; b) a.0 … b.0;
c) -5a … -5b; c) a.(-9) … b.(-9).
Ví dụ: Hãy chọn 1 trong các dấu <, , >, để điền vào mỗi chỗ trống sau:
a) 5a 5b a … b;
b) -3a > -3b a … b;
c)
d) 5 – 2a 5 – 2b a … b.

2. BPT bậc nhất một ẩn. Bất PT tương đương. Kiến thức: Nhận biết được BPT bậc nhất một ẩn và nghiệm của nó, hai BPT tương đương.
Kỹ năng:
Vận dụng được quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để biến đổi tương đương BPT. – Cho được VD về BPT 1 ẩn.
– Biết viết và biểu diễn t/n của BPT 1 ẩn trên trục số.

– Nhận biết được 2 BPT tương đương qua VD cụ thể, đơn giản.

– Nhận biết được 1 số có phải là nghiệm của BPT hay không bằng cách thay ẩn trong BPT bởi số đó.
– Nhận biết và cho được VD về BPT bậc nhất 1 ẩn.

– Biết chuyển vế hoặc nhân 2 vế của BPT với một số để được BPT tương đương.
– Nên làm các BT: 15, 16, 17 SGK.
Ví dụ: Viết và biểu diễn t/n của mỗi BPT sau trên trục số:
a) x < 2; b) x 2; c) x > – 3; d) x -3.
Ví dụ: a) Hai BPT: x < 5 và 5 > x tương đương;
b) Hai BPT: x < 5 và x 5 không tương đương vì 5 là nghiệm của BPT thứ 2 nhưng không phải là nghiệm của BPT thứ nhất.

Ví dụ: Số -7 có là nghiệm của BPT 8x + 3 < x2 không ?

Ví dụ: BPT nào sau đây là BPT bậc nhất:
a) 3x + 5 < 0; b) x2 + 3x – 9 > 0;
c) 12 – 4x 0; d) 2x -7 2x + 5 ?
Ví dụ: Biến đổi sau đay đúng hay sai?
a) 15x + 3 > 7x – 10

b) 4x – 5 < 3x + 7
(4x – 5).2 < (3x + 7).2 (4x- 5)(-2) > (3x +7)(-2);
c) 4x – 5 < 3x + 7
(4x-5)(1+x2) < (3x+7)(1+x2);
d) -25x + 3 < – 4x – 5 (-25x+3)(-1) > (-4x – 5)(-1)
25x – 3 > 4x + 5.

3. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn Kiến thức:
Nắm được cách giải bất phương trình bậc nhất.
Kỹ năng:
– Giải thành thạo BPT bậc nhất 1 ẩn.
– Biết biểu diễn tập hợp nghiệm của BPT trên trục số.
– Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi BPT đã cho về dạng ax+b < 0, ax+b > 0, ax+b0,
ax+b 0 và từ đó rút ra nghiệm của BPT. – Khẳng định được 1 số có là nghiệm hoặc không là nghiệm của BPT bậc nhất 1 ẩn.
– Tìm được t/n của BPT.
– Với BPT ax < c, ax > c
(a 0), biết chia 2 vế của BPT cho a, giữ nguyên chiều của BPT nế a > 0, đổi chiều của BPT nếu
a < 0.
– Biết dùng kí hiệu tập hợp để viết tập nghiệm.
– Biểu diễn tập nghiệm của BPT trên trục số.
– Biết biến đổi những BPT đã cho về dạng: ax+b < 0, ax+ b > 0, ax + b 0,
ax + b 0 nhờ những phép biến đổi tương đương.
– Nên làm các bài tập: 19, 20, 22, 23, 24, 25, 29 SGK. Ví dụ: Cho BPT
3x + 2 > 2x – 1 (1)
a) Với giá trị x = 1 ta có: 3.1 + 2 > 2.1-1
nên x = 1 là 1 nghiệm của BPT (1)
b) (1)
Tập hợp tất cả các giá trị của x lớn hơn – 3 là tập nghiệm của BPT (1)

Ví dụ: Giải cac BPT sau:
a) 5x + 10 < 0; b) 8 – 2x 0 Ví dụ: a) Tập hợp các nghiệm của BPT 5x + 10 > 0 là S =
Biểu diễn tập nghiệm này trên trục số.
b) Tập hợp các nghiệm của BPT:
8 – 2x 0 là S =
Biểu diễn tập nghiệm này trên trục số.
Ví dụ: Giải các BPT sau:
a) 3x – 5 > 15 – x;
b) 4 – 2x 3x – 6;
c) 15x + 29 < 15x + 9.

4.
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Kiến thức:
Nắm được cách xét khoảng của biến để giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Kỹ năng:
Biết cách giải phương trình:
(a, b, c, d là hằng số) – Biến đổi được PT:
thành PT
Ax + b = cx + d với ĐK
ax + b 0 hoặc
ax + b = – cx – d với ĐK
ax + b < 0.
– Không đưa ra các PT chứ dấu giá trị tuyệt đối của tích hai nhị thức bậc nhất.
– Nên giải các bài tập: 35, 36a,b SGK. Ví dụ: Giải các BPT sau:
a) ;
b)
V. TỨ GIÁC
1.Tứ giác lồi.
– Các đ/n t/g, t/g lồi.
– Đ/l về tổng 4 góc trong
1tứ giác. Kiến thức:
Hiểu được đ/n tứ giác, tứ giác lồi.
Kỹ năng:
Vận dụng được đ/l về tổng các góc trong một tứ giác vào giải các bài tập. – Biết đ/n tứ giác, tứ giác lồi.
– Biết đ/l về tổng các góc của một tứ giác và vận dụng được đ/l về tổng các góc của một tứ giác để tính số đo góc.
– Nên làm bài tập: 1 SGK.
Ghi chú:
Không y/c HS phát biểu đ/n tứ giác, đ/n tứ giác lồi. Ví dụ:
Tứ giác ABCD có
,
.
Tính số đo các góc C và D.

2.Hình thang, hình thang vuông và hình thang cân. Hình bình hành. Hình chữ nhật. Hình thoi. Hình vuông. Kiến thức:
Hiểu và nắm vững đ/n, t/c, dấu hiệu nhận biết các loại hình:
Hình thang, hình thang vuông và hình thang cân. Hình bình hành. Hình chữ nhật. Hình thoi. Hình vuông.
Kỹ năng:
Vận dụng được đ/n, t/c, dấu hiệu nhận biết (đối với từng loại hình này) để giảI các loại bài toán c/m và dựng hình đơn giản.
Vận dụng được đ/l về đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang, t/c của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước.
* Hình thang, hình thang vuông và hình thang cân.
– Biết đ/n hình thang, hình thang vuông, hình thang cân.
– Biết các t/c của hình thang cân, các dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
– Biết cách vẽ hình thang, hình thang vuông, hình thang cân.
– Biết và vận dụng được đ/n, t/c, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân để giải các BT về tính toán và c/m đơn giản.
– Nên làm các bài tập; 7,8, 12, 15 SGK.
* Đường trung bình của tam giác, của hình thang.
– Biết đ/n đường trung bình của tam giác, của hình thang.
– Biết và vân dụng được các định lí về đường trung bình của tam giác, các định lí về đường trung bình của hình thang để tính độ dài, c/m 2 đoạn thẳng bằng nhau, c/m 2 đường thẳng song song.
– Nên làm các bài tập 21, 23 SGK.
* Hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
– Biết đ/n và các t/c của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
– Biết c/m 1 tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
– Vận dụng được đ/n, t/c, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông để giải các bài tập về tính toán, c/m đơn giản.
– Vận dụng được các kiến thức về hình chữ nhật vào tam giác(t/c trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, nhận biết tam giác vuông nhờ trung tuyến)
– Nên làm các bài tập 44, 45, 60, 61, 73, 75, 79, 81 SGK.
Ghi chú:
+ Không y/c HS phát biểu các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, chỉ y/c HS vận dụng các dấu hiệu nhậ biết ấy.
+ Không y/c HS c/m 3 đường đồng quy (ngoài các đường đồng quy của tam giác đã học ở lớp 7) Ví dụ:
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có . Tính số đo các góc A và D.
Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD).
Kẻ đường cao AH, BK của hình thang. C/mr DH = CK.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi K là giao điểm của AC và EF.
a) C/mr: AK = KC;
b) Biết AB = 4cm, CD =10cm.
Tính độ dài EK, KF.

Ví dụ: Cho ABC. Gọi D, M. E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA.
a) C/mr tứ giác ADME là hình bình hành;
b) Nếu ABC cân tại A thì tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?
c) Nếu ABC vuông tại A thì tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?
d) Trong trường hợp ABC vuông tại A, cho biết AB = 6cm, AC = 8cm, tính độ dài AM.

Ví dụ: Một hình vuông có cạnh bằng 1dm. Tính độ dài đường chéo của hình vuông đó.

3. Đối xứng trục và đối xứng tâm. Trục đối xứng, tâm đối xứng của một hình.
Kiến thức:
Biết được các khái niệm đối xứng trục và đối xứng tâm. Trục đối xứng của một hình và hình có trục đối xứng. Tam đối xứng của một hình và hình có tâm đối xứng.
Kỹ năng:
Vận dụng được các hệ thức trên vào giải bài tập và giải quyết một số vấn đề thực tế. – Biết thế nào là 2 điểm đối xứng với nhau qua một trục, qua một tâm.
– Biết thế nào là hai trục (hoặc tâm) đối xứng của một hình, thế nào là hình có trục (hoặc tâm) đối xứng.
– Biết trục đối xứng của hình thang cân, tâm đối xứng của hình bình hành.
– Biết cách vẽ điểm đối xứng với 1 điểm cho trước qua 1 trục, qua 1 điểm.
– Biết cách c/m 2 điểm đối xứng với nhau qua một trục, qua một tâm trong những trường hợp đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 36, 53, 54 SGK.
Ghi chú:
+ Đối xứng trục, đối xứng tâm được đưa xen kẻ một cách thích hợp vào các nội dung của chương tứ giác: Đối xứng trục được học sau hình thang cân, đối xứng tâm được học sau hình bình hành.
+ Chưa y/c HS vận dụng đối xứng trục và đối xứng tâm trong giải toán hình học.
+ Không y/c HS c/m đ/l trong các bài đối xứng trục, đối xứng tâm.
* Dựng hình bằng thước và compa.
– Biết dùng thước và compa dựng tia phân giác của một góc, dựng đường trung trực của một đoạn thẳng.
– Biết dùng thước và compa để dựng hình trong các trường hợp đơn giản với các yếu tố đã cho bằng số.
– Nên làm bài tập 31 SGK.
Ghi chú:
+ Không ra các bài toán dựng hình đòi hỏi phải phân tích mới tìm được cách dựng.
+ Chỉ ra các bài toán dựng hình đơng giản, chủ yếu là dựng hình thang, với các yếu tố đã cho bằng số. Không đi sâu vào các bài toán dựng hình.
* Đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước.
– Biết khoảng cách giữa đường thẳng song song.
– Biết t/c của các điểm nằm trên đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước.
– Biết cách vẽ 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước và cách đường thẳng đó 1 khoảng cho trước.
– Biết các đường thẳng song song cách đều 1 đường thẳng.
– Biết cách chứng tỏ 1 điểm nằm trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước.
– Nên làm các bài tập: 68, 69 SGK.
Ghi chú:
+ Không y/c c/m các đ/l.
+ Chỉ ra các bài tập đơn giản về phát biểu tập hợp điểm (tương tự bài tập 69 SGK)
Hoặc tìm xem 1 điểm chuyển động trên đường nào (tương tự ví dụ nêu trên).
+ Không ra bài tập tìm tập hợp điểm. Không dùng thuật ngữ quỹ tích.

Ví dụ: Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy. C/mr: Điểm B đối xứng với điểm C qua điểm O.

Ví dụ: Dựng hình thang ABCD (AB//CD) biết
AB = AD = 2cm,
AC = DC = 4cm.

Ví dụ:
Cho đường thẳng d và điểm A cách đường thẳng đó 2cm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là trung điểm của AB. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường thẳng nào?

VI. ĐA GIÁC – DIỆN TÍCH ĐA GIÁC.
1. Đa giác, đa giác đều.
Kiến thức: Hiểu:
– Các kháI niệm đa giác, đa giác đều; quy ước về thuật ngữ “đa giác” được dùng ở trường phổ thông;

Kỹ năng:
– Biết cách vẽ đa giác đều có số cạnh là: 3, 6, 12, 4, 8. – Biết các k/n đỉnh, đỉnh kề nhau, cạnh, đường chéo, điểm nằm trong, điểm nằm ngoài đa giác.
– Không nêu k/n đa giác đơn, khôngđ/n tường minh k/n đa giác.
– Biết 4 loại đa giác: Tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều (không t/c HS thuộc đ/n, chỉ y/c hiểu chính xác k/n đó, có thể mô tả chúng và vẽ biểu diễn chúng)
– Biết cách tính tổng số đo các góc của một đa giác qu bài tập nhưng không y/c thuộc công thức tính tổng số đo của một đa giác đều.
– Vẽ hình thạo tam giác đều bằng cách vẽ đường tròn rồi vẽ 6 dây cung liên tiếp, mỗi dây có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
– Biết vẽ các trục đối xứng của 4 loại đa giác đều nói trên.
– Nên làm cá BT 1, 2, 3, 4 SGK.

Ví dụ: bài tập 4 SGK.

Ví dụ: Một đa giác có tổng các góc trong bằng 1800. Hỏi đa giác này có mấy cạnh.

Ví dụ: Bài tập số 5 SGK.
Ví dụ: Tính tổng số đo mỗi góc của một lục giác đều.
Ví dụ: Xem hình 1 rồi kể tên các đa giác trong hình vẽ.

2. Các CT tính diện tích của hình chữ nhật, hình , tứ giác đặc biệt (hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình vuông) Kiến thức: Hiểu:
Cách XD công thức tính diện tích của hình chữ nhật, hình , tứ giác đặc biệt (hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình vuông)

Kĩ năng:
Vận dụng được các công thức tính diện tích các hình đã học vào giải bài tập cụ thể. – Biết k/n diện tích đa giác.
– Biết đ/l về diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không c/m)
– Từ công thức tính diện tích củ hình chữ nhật, biết suy ra công thức tính diện tích hình vuông.
– C/m được công thức tính diện tích hình tam giác.
– C/m được công thức tính diện tích hình thang, hình bình hành.
– Biết công thức tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc, từ đó biết cách tính diện tích hình thoi.
– Biết rằng khi áp dụng các công thức để tính diện tích của các hình thì các các kích thước phải lấy theo cùng một đơn vị đo độ dài.

– Biết vận dụng công thức tính diện tích tam giác để:
+ C/m 1 số hệ thức;
+ Tính độ dài đoạn thẳng.

– Tính được diện tích các hình đã học.

– Nên làm các bài: 6, 8, 9, 14, 16, 18, 26, 27, 32, 35 SGK.
Ví dụ:
Một hình chữ nhật có diện tích 15m2. Nừu tăng chiều dài 2 lần, tăng chiều rộng 3 lầnthì diện tích sẽ thay đổi thế nào ?
Ví dụ:
Trong hình 2, biết BM = MN = NC và
SABC= 12m2. Tính diện tích tam giác ABC.

Ví dụ: Bài 14 SGK.
Ví dụ: Bài 13; 28 SGK.
Ví dụ: Bài 17 SGK.
Ví dụ: Tam giác ABC cân tại A, có BC= 6cm,
đường cao AH = 4cm
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tính đường cao ứng với cạnh bên.
Ví dụ: Tính diện tích hình thang vuông ABCD, biết
AB = 3cm, AD = 4cm và
.
3. Tính diện tích của hình đa giác lồi. Kiến thức:
-Hiểu được cách chia hình đa giác thành các hình có công thức tính diện tích đa giác để tính.
Kỹ năng:
– Biết cách tính diện tích của các hình đa giác lồi bằng cách phân chia đa giác đó thành các tam giác.
– Vận dụng các tính chất đã học để giải bài tập và một số bài toán thực tế. – Biết cơ sở của phương pháp diện tích đa giác chính là dựa vào t/c của diện tích đa giác.
– Chia được một đa giác thành các tam giác để tính diện tích của nó với bài toán đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 37, 38 SGK.

Ghi chú:
Hạn chế những bài tập về tính diện tích đa giác đòi hỏi phải vẽ thêm quá 3 đoạn thẳng, đo và thực hiện các phép tính quá 5 lần.
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD, AC = 9, BD = 6.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) C/mr: MNPQ là hình chữ nhật.
b) Tính tỉ số diện tích hình chữ nhật MNPQ với diện tích hình thoi ABCD.
c) Tính diện tích tam giác BMN.

VII. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG:
1. Đ/l Ta – lét trong tam giác; tính chất đường phân giác của tam giác. Kiến thức:
– Hiểu được đ/n: Tỉ số của 2 đoạn thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ.
– Hiểu đ/l Ta – lét và t/c đường phân giác của tam giác.
Kỹ năng:
Vận dụng giải được đ/n, đ/l trên vào giải bài tập và một số bài toán thực tế. * Tỉ số của 2 đoạn thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ:
– Tính tỉ số của 2 đoạn thẳng theo cùng một đơn vị đo.
– Biết được tỉ số của 2 đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.

– Dựa vào tỉ số của 2 đoạn thẳng và tỉ lệ thức chỉ ra được các đoạn thẳng tỉ lệ trong bài toán đơn giản.

* Định lí Ta let:
– Viết được các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ khi có một đường thẳng song song với 1 cạnh và cắt 2 cạnh còn lại của tam giác.
– Biết sử dụng đ/l Ta lét để c/m 2 đường thẳng song song.
Ghi chú:
+ Dựa vào hình vẽ cụ thể, rút ra từng cặp tỉ số bằng nhau, từ đó thừa nhận đ/l thuận, không c/m đ/l. Việc rút ra các cặp tỉ số bằng nhau qua hình vẽ không phải là c/m đ/l thuận.
+ Thừa nhận đ/l đảo, không c/m đ/l đảo. Hiểu được cách c/m hệ quả của đ/l đảo.
Dựa vào đ/l Ta lét và t/c của hình bình hành để chỉ ra các đoạn thẳng là các cạnh của tam giác, tương ứng tỉ lệ. Hệ quả vẫn đúng với trường hợp đường thẳng song song với 1 cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của 2 cạnh còn lại.
* Tính chất đường phân giác của tam giác:
– Vẽ được đường phân giác, đo được độ dài các đoạn thẳng mà đường phân giác định ra trên cạnh đối diện và độ dài các cạnh bên tương ứng với các đoạn thẳng thuộc cạnh đáy.
– Biết rằng trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy.
– Biết tính độ dài các đoạn thẳng và c/m hình học dựa vào t/c của đường phân giác.
– Biết được đ/l dúng với tia phân giác của góc ngoài của tam giác.
– Nên làm các bài tập: 2, 3, 5a, 6, 7a, 15, 17 SGK. Ví dụ:
Cho AB = 4cm, CD = 7cm.
Tính
Ví dụ:
– Nếu AB=3cm,
CD =5cm, thì = ?
– Nếu AB=30m,
CD =50cm, thì = ?

Ví dụ: Vẽ tam giác ABC, biết AB = 3cm, AC= 5cm, . Dựng đường phân giác AD của góc A, đo độ dài đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số và .

2. Tam giác đồng dạng: Đ/n 2 tam giác đồng dạng.,
– Các trường hợp đồng dạng của 2
– ứng dụng thực tế của yam giác đồng dạng.
Kiến thức:
Hiểu được đ/n 2 tam giác đồng dạng.
– Hiểu cách c/m các đ/l về:
+ Các trường hợp đồng dạng của 2tam giác.
+ Các trường hợp đồng dạng của 2 tam giác vuông.
Kỹ năng:
– Vận dụng các định lí vào giải bài tập cụ thể.
– Biết ứng dụng tam giác đồng dạng để đo gián tiếp các khoảng cách. – Lấy được VD về 2 tam giác đồng dạng, biết tỉ số đồng dạng và các tính chất của 2 tam giác đồng dạng:
+ Có k/n về những hình đồng dạng.
+ Biết 2 tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

+ Biết tỉ số các cạnh tương ứng gọi là tỉ số đồng dạng.
+ Nêu, không c/m các t/c đơn giản của 2 tam giác đồng dạng.
+ Dựa vào t/c của hai đường thẳng song song và hệ quả của đ/l Ta- Lét c/m được: Nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
– Nắm vững nội dung và c/m được đ/l và vận dụng giải các bài tập về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác:
+ Hai tam giác có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ.
+ Hai tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và 2 góc xen giữa bằng nhau.
+ Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau.
– Hiểu các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: Từ các trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường chỉ ra và c/m được các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông, vận dụng giải các bài tập.
– Hiểu mối quan hệ và vận dụng giải các bài tập liên quan đến tỉ số đồng dạng với tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích:
+ Tỉ số 2 đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
+ Tỉ số hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
– Nên làm các bài tập: 24, 25, 29, 32, 33, 38 SGK.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH. C/mr:
a) ABH CAH
b)ABP CAQ

VIII. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH CHÓP ĐỀU:
1. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều.
Các yếu tố của hình đó.
Các công thức tính S, V của nó Kiến thức:
Nhận biết được các loại hình đã học và các yếu tố của chúng.
Kỹ năng:
Vận dụng được các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích các hình đã học vào việc tính toán diện tích, thể tích các vật có cấu tạo từ các hình nói trên.
– Biết xác định hình khai triển của các hình đã học. – Biết chính xác số mặt, số đỉnh, số cạnh của một hình hộp chữ nhật .
– Bước đầu nhắc lại khái niệm chiều cao
– Hình thành khái niệm điểm, đoạn thẳng trong không gian.
– Vẽ được hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng, hình chóp đều theo kích thước cho trước (không yêu cầu cao).
– Thừa nhận (không c/m) các công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng vè hình chóp đều. Sử dụng các công thức để tính toán trong các bài cụ thể.
Ghi chú: ở chương này chỉ học các vật thể không gian chứ chưa phải hình không gian, chưa hề có tiên đề, chưa có biểu diễn hình là hình không gian, không có c/m.

Ví dụ:
Bài 12 SGK.

Ví dụ:
Bài 20 SGK.
Ví dụ:
Bài 22 SGK.

Ví dụ:
Bài 14 SGK.
Ví dụ:
Bài 28 SGK.
2. Các quan hệ không gian trong hình hộp.
Mặt phẳng, hình biểu diễn, sự xác định: Hình hộp chữ nhật và quan hệ song song giữa
Đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
Hình hộp chữ nhật và quan hệ vuông góc giữa: Đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng. Kiến thức:
– Nhận biết được quan hệ song song giữa: đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, mặt phẳng và mặt phẳng.
– Nhận biết được quan hệ vuông góc giữa: đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, mặt phẳng và mặt phẳng.
– Biết các khái nệm cơ bản của hình học không gian như điểm, đường thẳng, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thông qua hình vẽ, mô hình hộp chữ nhật.
– Biết được khái niệm đường cao, cạnh bê, cạnh đáy, mặt bên, mặt đáy của hình lăng trụ đứng, hình chóp đều. Từ đó hiểu và nhớ được các công thức tính diện tích và thể tích của các hình đó.
– Nhận ra được các cặp đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc trong hình vẽ và trong mô hình hộp chữ nhật của các vật thể trong không gian thực mà HS có ĐK tiếp xúc.
– Tính được diện tích xung qunh, diện tích toàn phần , thể tích của hình lăng trụ đứng, hình chóp đều theo các yếu tố đã cho qua các công thức đã học.
– Biết phân tích các hình khối dạng đơn giản thành các hình có công thức để tính được diện tích,thể tích qua các công thức hình học.
– Nên làm các bài tập: 1, 3, 6, 9, 11, 13, 19, 23, 24, 27, 31, 33, 36, 40, 43, 44, 45, 49, 51, 55 SGK.

Ví dụ:
Bài 5 SGK.
Ví dụ:
Bài 17 SGK.

Ví dụ:
Bài 24 SGK.
Ví dụ:
Bài 41 SGK.
Ví dụ:
Bài 50 SGK.

LỚP 9
Chủ đề Mức độ cần đạt Giải thích – Hướng dẫn Ví dụ
I. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
1. K/n
Căn bậc hai.
Căn
thức bậc hai và hằng đẳng thức Kiến thức:
Hiểu k/n căn bbậc hai của một số không âm, kí hiệu căn bậc hai, phân biệt được căn bậc hai dương và căn bậc hai âm cả cùng một số dương, định nghĩa căn bậc hai số học.
Kỹ năng:
Tính được căn bậc hai của một số hoặc một biểu thức là bình phương của một số hoặc bình phương của một biểu thức khác. – Qua một và bài toán cụ thể, nêu rõ sự cần thiết của khái niệm căn bậc hai.
– Biết một số dương có 2 giá trị căn bậc hai, chúng là những số đối nhau; số âm không có căn bậc hai.

– Viết đúng kí hiệu căn bậc hai dương và căn bậc hai âm của một số dương

– Hiểu k/n căn bậc hai số học.

– Hiểu được khi tính căn bậc hai của số dương nhờ bảng số hoặc máy tính cầm tay, kết quả thường là giá trị gần đúng.

– Vận dụng được đ/l:
0
để so sánh các căn số học.
– Phân biệt căn thức và biểu thức dưới dấu căn.
– Biết ĐK để xác định là là A 0. Từ đó suy ra ĐK của biến trong biểu thức A.
– Hiểu và vận dụng được hằng đẳng thức khi tính căn bậc hai sủa một số hoặc một biểư thức là bình phương của một số hoặc một biểu thức khac.
-Nên giải các bài tập: 1, 2, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13 SGK
Ví dụ: Biết diện tích của hình tròn (O) bằng 15cm2. Hãy tính bán kính của hình tròn đó.
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của các số sau (nếu có): 9 ; – 4; 0

Ví dụ: 1) Dùng kí hiệu để viết các giá trị căn bậc hai của số 5.
2) Tìm trong mỗi trường hợp sau (nếu có):
a) x = 9; b) x = 0; c) x = -81.
Ví dụ: Tìm căn số học của các số (nếu có):
– 16; 25; 3; 0
Ví dụ: Dùng máy tính để tính
(chính xác đến chữ số thập phân thứ ba), ta được:

Ví dụ: So sánh:
a) và ; b)12 và
Ví dụ: Tìm ĐK để:
a) được xác định;
b) được xác định.

Ví dụ:
a) Tính ;
b) Rút gọn biểu thức:

2. Các phép tính và phép biến đổi đơn giản về căn thức bậc hai Kiến thức:
Thực hiện được các phép tính về căn bậc hai: Khai phương một tích và nhân các căn thức bậc hai; khai phương một thương và chia các căn thức bậc hai.
Kỹ năng:
Thực hiện được các phép biến đổi đơn giảnvề căn bậc hai: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu.
Dùng bảng số và máy tính bỏ túi để tính căn thức bậc hai của một số dương cho trước.
– Hiểu được đẳng thức:

chỉ đúng khi a và b không âm; đảng thức
chỉ đúng khi a không âm và B dương.
– Vận dụng các quy tắc nhân và chia các căn thức bậc hai khi làm tính.

– Biết đẳng thức:
không đúng trong mọi trường hợp AB0.
– Hiểu
nếu A
nếu A.

– Biết khử mẫu của biểu thức lấy căn trong trường hợp đơn giản.
– Chỉ nên xét mẫu là tổng hoặc hiệu của 2 căn bậc hai. Không nên xét các biểu thức quá phức tạp.

– Biết rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai trong một số trường hợp đơn giản.
– Nên làm các bài tập sau: 17, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30a,b, 43, 44, 45a,b, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 58, 59, 64 SGK.
Ví dụ: Tính:
a) b)
c) d)

Ví dụ: Tính:
a);
b) ;
c) ; d)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

Ví dụ: So sánh:
a) và ;
b) và .
Ví dụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)
b),với x < 0; y < 0 Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) (-3)3với x >0;
c) x, với x < 0, y < 0. Ví dụ: Khử mẫu của biểu thức lấy căn: a) ; b) : Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu: a) b) ; c) d) e) với x, y > 0, xy
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
a);
b) 2
với a > 0;
c) 5
với x 0, y .

3. Căn bậc ba
Kiến thức:
Hiểu khái niệm căn bậc ba của một số thực.
Kỹ năng:
Tính được căn bậc ba của một số bằng lập phương của một số khác.
– Hiểu được căn bậc ba của một số qua vài ví dụ đơn giản.
– Không xét các phép tính và các phép biến đổi về căn bậc ba.
– Nên làm các bài tập: 67, 68 SGK. Ví dụ: Tính:
a)
b)
II HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. hàm
Số
y=ax+b
(a0) Kiến thức:
Hiểu khái niệm và tính chất của hàm số bậc nhất.
Kỹ năng:
Biết cách vẽ và vẽ đúng đồ thị của hàm số bậc nhất y=ax+b (a0) – Chỉ ra được một hàm số đồng biến hay nghịch biến dựa vào bảng giá trị của hàm số đó.
– Biết rằng hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức
y = ax + b ( a0)

– Tìm được giá trị của a (hoặc b), khi biết 2 giá trị tương ứng của x và y và hệ số b (hoặc hệ số a)

– Chỉ ra được t/c đồng biến hay nghich biến của hàm số bậc nhất y = ax + b dựa vào hệ số a.

– Hiểu được rằng đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax+b là 1 đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng y = ax (a0).
– Hiểu rằng vì đồ thị hàm số bậc nhất y = ax+b là đường thẳng nên để vẽ đồ thị chỉ cần xác định 2 điểm thuộc đồ thị. Tổng quát, biết xác định 2 điểm P(0; b) và Q(-; 0) để vẽ đồ thị hàm số.
– Khi điểm P và Q khó xác định thì biết cách chọn những giá trị khác thuận lợi hơn (chẳng hạn những điểm có toạ độ nguyên)
– Biết rằng đồ thị y= ax +b cũng được gọi là đường thẳng y=ax+b và b là tung độ góc của đường thẳng.
– Nên làm các bài tập: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 16a) SGK.
Ghi chú:
+ Rất hạn chế việc xét các hàm số y= ax+b
Với a, b là các số vô tỉ. Không đòi hỏi HS vẽ chính xác các đồ thị này.
+ Không c/m các t/c của hàm số bậc nhất.
+ Chưa y/c tìm giao điểm của 2 đường thẳng ở chủ đề này. Ví dụ: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất:
a) y= x3-3x +1; b) y = – 3x +1;
c) y = 2 – x; d) y = 1;
e) y =1+x; f) y=1+ ?
Ví dụ:
a) Cho hàm số y = ax – 3.
Tìm hệ số a biết rằng khi x = 5 thì y = 2.
b) Cho hàm số y = -3x+b. Xác định hệ số b biết rằng khi x =1 thì y =2.
Ví dụ: Hàm số nào sau đây đồng biến, hàm số nào nghịch biến:
a) y=-5x; b) y=4-x; c) y=x
Ví dụ: Vẽ các đồ thị của hàm số sau
a) y = 3x+6; b) y=-2x+5;
c) y=7x-10.

2. Hệ số góc của đường thẳng. 2 đường thẳng song song và 2 đường thẳng cắt nhau Kiến thức:
– Hiểu khái niệm hệ số góc của đường thẳng
y=ax+b (a0).

– Sử dụng hệ số góc của hai đường thẳng để nhận biết sự cắt nhau hoặc song song của hai đường thẳng cho trước.
– Tìm được hệ số góc của một đường thẳng.

– Nhận biết được vị trí tương đối của 2 đường thẳng y = ax+b (a0) và y=a/x+b/(a/0)khi biết các hệ số bằng số:
+ song song khi và chỉ khi a=a/, bb/.
+ Trùng nhau khi và chỉ khi a=a/, b=b/.
+ cắt nhau khi và chỉ khi a a/.
– Bằng trực giác nhận biết được góc tạo bởi đường thẳng (d): y = ax+b (a) với trục Ox (theo quy ước); chẳng hạn đường thẳng (d) cắt trục Ox tại Q thì góc tạo bởi (d) và trục Ox chính là góc tạo bởi nửa đường thẳng (d) nằm phía trên trục hoành và tia Qx
– Biết mối liên hệ giữa hệ số a của đường thẳng y = ax+b (a0) với góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox. Từ đó hiểu rằng a được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
– Rất hạn chế việc giải các bài tập đòi hỏi tính góc.
– Nên làm các bài tập: 20, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30a) SGK.
Ví dụ: Tìm hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:
(d1): y = 3x – 5;
(d2): y = -2,9x + 1;
(d3): y = 4 – x.
Ví dụ: Cho các đường thẳng:
(d1): y = 2x+1;
(d2): y = -x + 1;
(d3) y = 2x – 3.
Không vẽ các đường thẳng đó, hãy cho biết chúng có vị trí như thế nào với nhau.

III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

1. Phương
trìnhbậc nhất hai ẩn Kiến thức:
Hiểu khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kỹ năng: Giải các phương trình bậc nhất hai ẩn. – Nhận biết và cho được ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Biết được khi nào một cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

– Biết viết nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất
ax + by = c. Biết cách vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình này trên mặt phẳng toạ độ; đặc biệt là những trường hợp a = 0 hoặc b = 0.
– Nên làm các bài tậi: 1, 2 SGK Ví dụ: Những phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn:
a) 3×2 + 2y = – 1;
b) 3x + 2y = -1; c) 3x = -1;
d) 2y = -1; e) 3x + 2y = 0;
f) 2y = 0; g) 3x + 2y – z = 0.
Ví dụ: Cho phương trình:
2x + 3y = – 2
Những cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình:
(2; -2); (2; 1); (-1; 0); (1; 1)
Ví dụ: Với mỗi phương trình sau, hãy tìm nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của nó trên mặt phẳng toạ độ:
a) 2x – 3y = 0; b) 2x – 0y = 1.

2.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Kiến thức:
Hiểu khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kỹ năng: Giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. – Cho được ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.
– Nhận biết được khi nào một cặp số (x0; y0) là một nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Biết dùng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ để đoán nhận số nghiệm của hệ.

– Nên làm các bài tập: 4, 5, 7, 9 SGK. Ví dụ: Cho hệ phương trình:

Những cặp số nào sau đây la nghiệm của hệ phương trình này: (0; 2,5), (1; -2), (1; 1) ?

Ví dụ: Không cần vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:
a) ;
c)
3.Giải hệ phương trình bằng PP cộng đại số và PP thế. Kiến thức:
Hiểu được cách giải hệ PT bằng PP cộng đại số
Kỹ năng:
Vận dụng được hai phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. – Giải được hệ hai phương trình
Bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế qua các ví dụ cụ thể, đơn giản.
– Nên làm các bài tập: 12, 13, 16, 20, 21, 22, 26 SGK.
Ghi chú:
– Không y/c phát biểu bằng lời quy tắc thế, quy tắc cộng đại số cũng như các phương pháp giải.
– Không dùng cách tính định thức để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ: Giải hệ phương trình:

bằng phương pháp thế.

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

bằng phương cộng đại số.

4.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Kiến thức:
Hiểu được các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Kỹ năng:
Vận dụng được các bước giải bài toán bằng cách lập hệ hai PT bậc nhất hai ẩn. – Biết cách chọn ẩn số, biểu diễn các đại lượng chưa biết trong bài toán qua ẩn và tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập hệ phương trình.
– Biết cách giải các bài toán vê các dạng như tăng, giảm số liệu; có liên quan đến phần trăm; làm chung; làm riêng; chuyển động cùng chiều; ngược chiều.
– Nên làm các bài tập: 28, 29, 30, 31, 32, 34, 39 SGK.
Ví dụ: Tìm hai số biết tổng cả chúng bằng 156, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 6 và số dư là 9.

Ví dụ: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%, do đó hai xí nghiệp đã làm tổng cộng được 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiêp phải làm theo kế hoạch.

IV. HÀM SỐ Y = AX2(A0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Hàm số y=ax2
(a0).
Tính chất. Đồ thị
Kiến thức:
Hiểu được các tính chất của hàm số y = ax2.
Kỹ năng:
vẽ đồ thị hàm số y = ax2 với giá trị bằng số của a. – Thấy được nhu cầu phải xét hàm số y = ax2 qua ví dụ cụ thể. Lờy được ví dụ về hàm số y = ax2.
– Biết thiết lập bảng giá trị tương ứng của x và y.
– Nhận biết được t/c của hàm số y = ax2 qua bảng những giá trị tương ứng của x và y hoặc nhờ đồ thị. Không c/m các t/c đó bằng phương pháp biến đổi đại số.
– Vẽ được đồ thị hàm số y = ax2 (a0) với a là số hữu tỉ.
– Nên làm các bài tập: 1, 2, 4 SGK.

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số:
y = x2, y = -x2.
Đối với mỗi hàm số, nhìn vào đồ thị, hãy chỉ rõ hàm số đồng biến khi x dương hay âm ?
Hàm số nghịch biến khi nào ?

2. Phương trình bậc hai một ẩn.

Kiến thức:
Hiểu khái niệm phương trình bậc hai một ẩn.

Kỹ năng:
Vận dụng được cách giải phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là công thức nghiệm của phương trình đó(nếu phương trình có nghiệm)
– Thấy rõ nhu cầu phải giải phương trình bậc hai qua bài toán mở đầu.
– Lâý được ví dụ về phương trình bậc hai một ẩn. Xác định đượâýmoix hệ số của phương trình bậc hai.

– Biết tính và biết dựa vào đó để khẳng định khi nào thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
– Biết được nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt.
– Giải được phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm.
– Thấy được ích lợi của công thức nghiệm thu gọn. Xác định được b/, tính được và sử dụng được công thức nghiệm thu gọn tìm được nghiệm của phương trình trong trường hợp thích hợp.
– Nên làm các bài tập: 15, 16, 17, 18, 20 SGK.
Ghi chú:
– Chỉ cần hiểu hiểu cách biến đổi phương trình ax2 + bx + c = 0 để dẫn đến công thức nghiệm. Không y/c phải thuộc cách biến đổi này.
– Khi tìm nghiệm của phương trình luôn đòi hỏi phải rút gọn kết quả. Ví dụ: Cho các phương trình sau:
a) 3x – 4 + x2 = 0;
b) 5 – 2×2 + x3 = 0;
c) – 3×2 + = 0;
d) 5×2 – 2×4 = 0;
e) 4x + x = 0
Phương trình nào là phương trình bậc hai ?
Hãy xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai ấy.
Ví dụ: Mỗi phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay vô nghiệm ?
a) 5×2 – 4x – 2 = 0;
b) x2 + 2x + 0,3 = 0;
c) 4×2 – 4x + 1 = 0.
Ví dụ: Cho các phương trình:
a) 5×2 – x – 12 = 0;
b) 3×2 + 5x + 2 = 0.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 3×2 + 22x + 40 = 0;
b) x2 – 2x + 1 = 0.
3. Định lí Vi-ét và ứng dụng Kiến thức:
Hiểu và vận dụng được định lí Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Kỹ năng:
Vận dụng công thức nghiệm của định lí Vi-ét vào giải bài tập.

– Tính được tổng và tích 2 nghiệm của mỗi phương trình bậc hai (có nghiệm)
– Biết được:
+ Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 là một nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 còn nghiệm kia là x2=;
+ Nếu a – b + c = 0 thì x1 = -1 là một nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 còn nghiệm kia là
x2= -;
– Nhẩm được nghiệm của PT bậc hai đơn giản.
– Biết rằng muốn tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P thì phải giải PT;
X2 – SX + P = 0
– Chưa y/c biểu diễn tổng các bình phương, tổng các lập phương hai nghiệm của PT theo các hệ số.
– Nên giải các bài tập: 25, 26, 27, 28 SGK.
Ví dụ: Tính tổng và tích 2 nghiệm của mỗi phương trình:
a) 5×2 + 9x – 19 = 0;
b) 5×2 + 9x + 19 = 0.
Ví dụ: Nhẩm nghiệm của phương trình:
a) 8×2 – 15x + 7 = 0;
b) 3×2 – 7x – 10 = 0.

Ví dụ: Dùng hệ thức Vi – ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình:
x2 – 7x + 10 = 0.
Ví dụ: Tìm 2 số x và y biết:
x + y = 9 và xy = 20.
4. Phương trình quy về phương trình bậc hai Kiến thức:
Biết nhận dạng phương trình đơn giản quy về phương trình bậc hai và biết cách đặt ẩn phụ thích hợp để đưaphương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ.
Kỹ năng:
Giải được một số phương trình đơn giản quy về phương trình bậc hai. – Khi giải PT trùng phương biết đặ ĐK cho ẩn phụ và sau khi tìm được các giá trị của ẩn biết căn cứ vào ĐK để chọn đủ các nghiệm.
– Khi giải PT chứa ẩn ở mẫu biết tìm ĐKXĐ của PT và sau khi tìm được các giá trị của ẩn biết căn cứ vào ĐK để chọn đủ các nghiệm.
– Khi giải PT bằng cách đặt ẩn phụ biết đặ ĐK cho ẩn phụ và sau khi tìm được các giái trị của ẩn biết căn cứ vào ĐK để chọn đủ các nghiệm.
– Chỉ xét PT đơn giản quy về PT bậc hai: ẩn phụ là đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai hoặc căn bậc hai của ẩn chính.
– Nên làm các bài tập: 34, 35, 36, 40a,b,c SGK. Ví dụ: Giải các PT:
a) 5×4 – 9×2 + 4 = 0;
b) 3×4 + 2×2 – 5 = 0.
c) 2×4 – x2 + 3 = 0.
Ví dụ: Giải PT:

Ví dụ: Giải các PT:
a) 87(x-35)2+13(x-35)-100= 0
b) 3(y2+y)2- 2(y2 +y) – 1 = 0.
c) x – 3 – 4 = 0.

5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn Kỹ năng:
– Biết cách chuyển bài toán có lời văn sang bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn.
– Vận dụng được các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai.
– Biết chọn ẩn và đặt ĐK cho ẩn (thường chọn 1 ẩn cần tìm làm ẩn).
– Biết biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn.
– lập PT.
– Biết căn cứ vào ĐK của ẩn để chọn đáp số.
– Nên làm các BT: 41, 43, 47, 49, 50,51, 52 SGK.
Ví dụ: Tính các kích thước của một hình chữ nhật có chu vi bằng 120m và diện tích bằng 875m2.
Ví dụ: Một tổ cong nhân phải làm 144 dụng cụ. Do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân lúc đầu của tổ nếu năng suất của mỗi người như nhau.
V. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Kiến thức:
Hiểu cách chứng minh hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Kỹ năng:
Vận dụng được các hệ thức đó để giải toán và giải quyết một số bài toán thực tế

– Chỉ ra được hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền
– Nhận biết được cặp tam giác vuông đồng dạng rong hình 1, từ đó c/m được hêi thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
b2 = b/.a; c2 = c/.a (1)
– Vận dụng được các hệ thức (1) để kiểm nghiệm lại đ/l Pi -Ta Go và để giải bài tập.
– Viết được các hệ thức có liên quan đến đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông;
h2 = b/.c/ ; bc = ah;
– Vận dụng các hệ thức trên để giải bài tập cụ thể.
– Nên làm các BT: 1, 2, 3, 4, 5, 6 SGK. Ví dụ:

a) Trong tam giác vuông ABC (hình 2). Hãy vận dụng các hệ thức (1) để suy ra hệ thức:
BC2 = AB2 + AC2;
b) Tìm x và y trong hình 2
Ví dụ: Cho tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông là 3 và 4. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh huyền mà đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông chia ra trên cạnh huyền.
Ví dụ: Tìm x và y trong hình 3 và 4 sau đây:

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. Bảng lượng giác. Kiến thức:
– Hiểu được sin, cos, tg, cotg;
– Biết mối liên hệ giữa tỉ số lượng giác của các góc phụ nhau.
Kỹ năng:
– Vận dụng được các tỉ số lượng giác vào giải bài tập;
– Biết sử dụng bảng số và máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác của các góc nhọn cho trước hoặc tìm số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó. – Viết được các biểu thức biểu diễn đ/n sin, côisin, tang, côtang của góc nhọn cho trước.
– Biết được các tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn luông dương, hơn nữa sin < 1 và
cos < 1. – Biết được t/c: Nếu 2 góc nhọn và có sin= sin (hoặc cos= cos, hoặc tg= tg, hoặc cotg=cotg) thì – Vận dụng được đ/n các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt 300, 450, 600 và tính gần đúng được các tỉ số này đối với một góc nhọn bất kì. – Dựng được góc nhọn khi biết một trong các tỉ số lượng giác của nó (được cho bằng phân số). – Viết được các biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau. – Thiết lập được bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt. – Vận dụng được mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phj nhau để giải bài tập. – Hiểu được cấu tạo của bảng lượng giác dựa vào quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. – Biết được tính đồng biến của sin và tg, tính nghịch biến của cos va cotg thông qua bảng lượng giác (không c/m tính đồng biến, nghịch biến của các tỉ số lượng giác) – Vận dụng được tính đồng biến, nghịch biến của các tỉ số lượng giác để so sánh các tỉ số này. – Biết dùng bảng để tìm được các tỉ số lượng giác của góc nhọn ch trước và tìm số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó. – Nên làm các bài tập: 10, 11, 12, 18, 19 SGK. Ví dụ: a) Cho ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C; b) Dựng góc nhọn biết tg= . Ví dụ: a) Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 450: sin750, cos820, tg540, cotg620. b) Cho ABC vuông tại A có AC = 9cm, AB = 12cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C. Ví dụ: a) So sánh sin350 và sin500. b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: sin320, cos200, sin500, cos730. Ví dụ: a) Sử dụng bảng lượng giác tìm: sin52012/; cos36024/; tg25036/, cotg9054/. b) Sử dụng bảng lượng giác tìm góc nhọn , biết sin= 0,8215. 3. Một số hệ thức giữa các cạnh và các góc của tam giác vuông. Kiến thức: Hiểu cách chứng minh các hệ thức giữa các cạnh và các góc của tam giác vuông. Kỹ năng: Vận dụng được các hệ thức trên vào giải bài tập và giải quyết một số vấn đề thực tế. – Thiết lập được các hệ thức giữa các cạnh góc vuông, cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. – Hiểu thế nào là bài toán:”Giải tam giác vuông” – Vận dụng được các hệ thức giữa các cạnh góc vuông, cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để giải bài tập. – Nên làm các bài tập: 27, 28, 29 SGK. Ví dụ: Một con thuyền với vận tốc 3km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 7ph. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 700. Tính chiều rộng của con sông (làm tròn kết quả đến mét) Ví dụ: a) Cho ABC vuông tại A có , AB = 5cm. Hãy tìm các cạnh và góc còn lại của tam giác đó; b) Cho ABC vuông tại A có , BC = 12cm. Hãy giải tam giác vuông ABC. c) Cho ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 9cm. Hãy giải tam giác vuông ABC. 4. ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Kiến thức: Củng cố cho HS nắm vững các công thức về tỉ số lượng giác của các góc nhọn . Kỹ năng: Biết cách đo chiều cao và khoảng cách trong tình huống thực tế có thể được. – Sử dụng các dụng cụ đo đạc để tiến hành đo và tính toán được các độ dài dựa vào các hệ thức đã biết và các số liệu đo được. – Nên làm các bài tập: 38, 40 SGK. Ghi chú: + Để đo được chiều cao và khỏng cách, cần tạo ra 1 tam giác vuông sao cho độ dài cần tính là một cạnh của tam giác này và phải đo được 1 cạnh và 1 góc của tam giác đó. + GV nên đo và tính trước kết quả để lấy số liệu đối chiếu với kết quả của HS. + Khi đánh giá kết quả, cần xét đến ý thức tham gia thực hành của HS. Ví dụ: Xác định chiều cao của cột cờ trong trường em. Ví dụ: Đo chiều rộng của một khúc sông. VI. ĐƯỜNG TRÒN 1. xác định một đường tròn. Đ/n đường tròn, hình tròn; cung và dây cung. Sự xác định một đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Kiến thức: Hiểu: – Đ/n đường tròn, hình tròn. – Các tính chất của đường tròn. – Sự khác nhau giữa đường tròn và hình tròn. – khái niệm cung và dây cung, dây cung lớn của đường tròn Kỹ năng: – Biết cách vẽ đường tròn qua hai điểm và ba điểm cho trước. Từ đó biết cách vẽ đường tròn ngoại tiếp một tam giác. – ứng dụng: Vẽ một đường tròn theo điều kiện cho trước, cách xác định tâm đường tròn. – Biết cách vẽ đường tròn ngoại tiếp một tam giác, đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông. – Biết cách xác định tâm và tìm bán kính của 1 đường tròn với bài toán đơn giản. – Biết sử dụng đ/n đường tròn để c/m 4 điểm cùng nằm trên 1 đường tròn. – Nên làm các bài tập: 1, 2, 3 SGK. Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó. Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC và các đường caoBD, CE. Gọi M là trung điểm của BC. C/mr 4 điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn tâm M. 2. Tính chất đối xứng. Tâm đối xứng. Trục đối xứng. Đươừng kính và dây cung. Dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm. Kiến thức: Hiểu được tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó,bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. Hiểu được quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây, các mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Kỹ năng: Biết cách tìm mối kiên hệ giữa đường kính và dây cung, dây cung và khoảng cách từ tam đến dây, áp dụng các điều này vào giải toán. – Tìm được tâm đối xứng và trục đối xứng của một đường tròn cho trước. – Giải được các bài toán đơn giản về so sánh 2 đoạn thẳng, c/m 2 đoạn thẳng bằng nhau, c/m 2 đường thẳng vuông góc. – Hiểu các đ/l về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (không y/c c/m). Vận dụng được các đ/l trên để so sánh 2 dây, so sánh 2 khoảng cchs từ tâm đến dây. – Nên làm các bài tập: 6, 10, 12a, 13 SGK. Ví dụ: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và dây CD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng CD. Gọi I là trung điểm của CD. C/mr: a) IH = IK; b) CH = DK. Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), trong đó AB > BC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. So sánh độ dài các đoạn thẳng:
a) OD và OF;
b) OD và OE.
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường tròn. Kiến thức:
-Hiểu được vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường tròn qua các hệ thức tương ứng(d < R, d > R, d = r + R,… ) và điều kiện để mỗi vị trí tương ứng có thể xảy ra.
– Hiểu các khái niệm tiếp tuyến của hai đường tròn, hai đường tròn tiếp xúc trong, tiếp xúc ngoài. Dựng được tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm cho trước ở trên hoặc ở ngoài đường tròn.
-Hiểu tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
– Biết khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác.
Kỹ năng:
– Biết cách vẽ đường thẳng và đường tròn, đường tròn và đường tròn khi số điểm chung của chúng là: 0, 1, 2.
– Vận dụng các tính chất đã học để giải bài tập và một số bài toán thực tế. – Chỉ ra được3 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn tương ứng với 3 hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn.
– Biết được khi nào thì một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
– Biết cách vẽ đường thẳng cắt đường tròn, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, đường thẳng không giao với đường tròn.
– Xác định được vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn khi biết hệ thức giữa d và R.
– C/m được các t/c của 2 tiếp tuyến cắt nhau và vận dụng vào bài tập.
– Biết được giao điểm của 3 đường phân giác trong của 1 tam giác là tam đường tròn nội tiếp tam giác.
– Biết được vị trí tương đối của 2 đường tròn; mối liên hệ giữa vị trí tương đối của 2 đường tròn với số điểm chung và hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính của 2 đường tròn.
– Biết k/n tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
– Nên làm các bài tập: 18, 21, 24, 26, 30a,b, 33, 35, 36 SGK.
Ghi chú:
– Không c/m 3 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn tương ứng với 3 hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn.
– Không c/m các đ/l về mối liên hệ giữa vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O/; r) với hệ thức OO/, R, r.
– Không c/m các đ/l về t/c của đường nối tâm. Ví dụ:
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a có khoảng cách từ O đến a là d. Điền vào chỗ trống (…) trong bảng sau:

R
d
Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O)

5 cm
8 cm
…

5 cm
3 cm
…

5 cm
…
Tiếp xuác nhau

VII. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1. Góc ở tâm. Số đo cung.
Đ/n góc ở tâm.
Số đo cung. Kiến thức:
Hiểu được khái niệm góc ở tâm, số đo của một cung.

Kỹ năng:
ứng dụng giải được bài tập và một số bài toán thực tế. – Hiểu đ/n số đo của cung nhỏ, cung lớn, cung nửa đường tròn.
– Biết kí hiệu cung AB là , số đo của cung AB là sđ, kí hiệu của 2 cung bằng nhau.
– Hiểu thế nào là hai cung bằng nhau, cung lớn hơn (hay cung nhỏ hơn) trong 2 cung.
– Biết: Nừu 2 cung nhỏ của một đường tròn mà mà bằng nhau thì 2 góc ở tâm tương ứng bằng nhau và ngược lại.
– Hiểu đ/l về “Cộng 2 cung”. Không c/m đ/l này.
– Biết cách đo góc ở tâm hoặc tính góc ở tâm để tìm số đo của 2 cung tương ứng, nhất là tìm số đo của 2 cung nhỏ.
– Biết cách so sánh 2 cung của cùng một đường tròn bằng cách so sánh số đo (độ) của chúng.
– Biết chuyển số đo cung (cung nhỏ) sang số đo góc ở tâm và ngược lại.
– Nhận biết được hai cung bằng nhau hoặc hai góc ở tâm bằng nhau. Từ đó c/m những t/c đưn giản khác của hình.
– Nên làm các bài tập: 1, 2, 4, 5, 6, 7 SGK.

Ví dụ: Bài 3 SGK.
Ví dụ: Bài 5 SGK.

Ví dụ: Bài 6 SGK.
Ví dụ: Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy 2 điểm M và N trên cung nhỏ AB sao cho chúng chia cung này thành 3 cung bằng nhau:

Các bán kính OM, ON, cắt AB lần lượt tại C và D. C/mr:
AC = BD và AC > CD.
2. Liên hệ giữa cung vàdây cung. Kiến thức:
Nhận biết được mối liên hệ giữa cung và dây để so sánh được độ lớn của hai cung theo hai dây tương ứng và ngược lại.

Kĩ năng:
Vận dụng các định lí vào giải bài tập – Biết được vì sao các đ/l chỉ được phát biểu đối với các cung nhỏ trong một đường tròn hay 2 đường tròn bằng nhau.
– Biết đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy và đảo lại.(dây không qua tâm)
– Biết đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì không vuông góc với dây căng cung và ngược lại.
– Giải được bài tập đơ giản, c/m 2 cung bằng nhau (không bằng nhau) hoặc c/m 2 đoạn thẳng bằng nhau (không bằng nhau).
– Biết vận dụng cung tròn để c/m 2 đường thẳng vuông góc với nhau.
– Biết chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau, thành 3 cung bằng nhau.
– Nên làm các bài tập: 11, 12, 14 SGK.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Biết . Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC.

Ví dụ: Bài 10 SGK.

3. Góc tạo bởi hai cát tuyến của đường tròn.
Đ/n góc nội tiếp
Gócnoij tiếp và cung bị chắn. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn.cung
Chứa góc. QT cung chứa góc Kiến thức:
– hiểu được góc nội tiếp, mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn.
– Nhận biết được góc tạo bửi tiếp tuyến và dây cung.
– Nhận biết được góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn, biết cách tính số đo của các góc nói trên.- Hiểu được bài toán quĩ tích”cung chứa góc” và biết vận dụng để giải những bài toán đơn giản.

Kỹ năng:
Vận dụng được các định lí, hệ quả để giải bài tập.
– Chỉ ra được góc nội tiếp, góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn.
– Biết góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn và các hệ quả.
– Biết mối liên hệ về số đo của góc của góc có đỉnh ở bên trong đườn tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn với số đo 2 cung bị chắn.
– Tính số đo các góc theo cung bị chắn, từ đó so sánh được các góc.

HD: Vẽ thêm đường kính BD.
– C/m hai đường thẳng vuông góc, c/m 3 điểm thẳng hàng thông qua việc tính số đo góc theo số đo cung bị chắn và vận dụng hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
– C/m 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 đường thẳng song song thông qua việc c/m 2 góc bằng nhau.
– C/m 2 biểu thức tích bằng nhau, từ đó tính độ dài đoạn thẳng thông qua việc c/m 2 tam giác đồng dạng, hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.
– Nên làm các bài tập: 16, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 28, 29, 34, 36,37, 38, 39, 40 SGK.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn đường kính AB và cung AC có số đo bằng 600(hình 5).
a) So sánh các góc của tam giác ABCb) Gọi M và N là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau ở I. C/m tia CI là tia phân giác của góc ACB.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Biết
. Tính độ dài BC. (Hình 6)
Ví dụ: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ 2 cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E). Cho biết , sđ
C/mr CD BE (Hình 7)

4.Cung chứa góc. Kiến thức:
– Hiểu bài toán quỹ tích “cung chứa góc”.
Kỹ năng:
Vận dụng quỹ tích cung chứa góc vào bài toán quỹ tích và dựng hình đơn giản. – Biết được quỹ tích cung chứa góc nói chung và trường hợp đặc biệt khi = 900.
– Biết các bước giải bài toán quỹ tích gồm có phần thuận, phần đảo và kết luận.
– Biết dựng cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB.
– Biết giải bài toán “cung chứa góc”: Trước hết xác định đoạn thẳng cố định. Sau đó xem điểm cần tìm quỹ tíchnhìn đoạn cố định dưới một góc không đổi bằng bao nhiêu độ.
– Biết vận dụng quỹ tích “cung chứa góc” vào dựng hình. Không y/c biện luận số nghiệm hình.
– Nên làm các bài tập: 44, 45, 46, 48, 49, 50a SGK.
– Hạn chế giải những bài tập quỹ tích có giới hạn. Những bài như vậy chỉ nên hỏi. Điểm M di động trên đường nào ?

Ví dụ: Bài 46 SGK.

Ví dụ: Bài 44 SGK.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Một cung CD có số đo 500 di động trên nửa đường tròn này (C nằm trên cung AD). Hai tia AC và BD cắt nhau tại M. Hỏi điểm M di động trên đường nào ?
Ví dụ: Bài 49 SGK.

5. Tứ giác nội tiếp đường tròn.
Đ/l thuận. Đ/l đảo. Kiến thức:
– Hiểu được định lí thuận và định lí đảo về tứ giác nội tiếp.

Kỹ năng:
Vận dụng được các định lí, hệ quả để giải bài tập liên quan đến tứ giác nội tiếp đường tròn. – C/m được 1 tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tổng số đo 2 góc đối diện bằng 1800.
– Biết hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân nội tiếp được trong một đường tròn.
– Biết tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp khi biết số đo của góc đối diện hoặc góc ngoài của góc đối diện.
– Biết c/m tứ giác nội tiếp để suy luận ra 2 góc bằng nhau hoặc bù nhau.

– Biết xác định nhanh chóng tâm của đường tròn ngoại tiếp một tứ giác trong trường hợp tứ giác có một đỉnh nhìn một cạnh hoặc nhìn một đường chéo dưới một góc vuông.

– Nên làm các bài tập: 53, 54, 55, 56, 57, 58 SGK.

Ví dụ: Bài 53 SGK.

Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Nối DE, EF, FD.
a) Tìm các tứ giác nội tiếp trong hình.
b) C/m tia DA là tia phân giác của góc EDF.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông ở A. Từ một điểm D trên cạnh BC vẽ DH AB,
DI AC, DK HI. Trên tia DK lấy điểm E sao cho K là trung điểm của DE (hình 8)
a) C/m các tứ giác AHDI, HDIE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) C/m 5 điểm A, H, D, I, E cùng nằm trên một đường tròn.

6. Công thức tính độ dài đường tròn, diện tích hình tròn.GT hình quạt tròn và DT hình quạt tròn. Kiến thức:
– Hiểu được các công thức tính độ dài đường tròn, DT hình tròn, hình quạt tròn.

Kỹ năng:
Vận dụng được các công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, DT hình tròn và DT hình quạt tròn để giải bài tập. – Nhận biết được đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác nội tiếp đường tròn, đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác ngoại tiếp đường tròn.
– Viết được công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn. Không c/m các công thức đó.
– Biết số là gì và giá trị gần đúng của nó.
– Biết vẽ đường tròn ngoại tiếp hay nội tiếp một đa giác đều cho trước và ngược lại biết vẽ đa giác đều nội tiếp một đường tròn cho trước. Đặc biết là vẽ thành thạo hình vuông nội tiếp và tam giác đều nội tiếp đường tròn cho trước.
– Biết cách tính các bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r theo cạnh a của đa giác đều n cạnh và ngược lại với n = , 4, 6.
– Vận dụng được các công thức
C = 2R; ;
để:
+ Tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn.
+ Tính bán kính R, tính số đo cung.
+ So sánh độ dài các cung tròn, diện tích của hai hình tròn.
+ Giải một số bài tập thức tế về độ dài cung tròn, diện tích một phần của hình tròn.
– Biết cách tính diện tích của một hình bằng cách phân chia hình đó thành những phần không có điểm trong chung.
– Nên làm các bài tập: 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 73, 75, 77, 78, 79, 81, 82, 85, 86 SGK

Ví dụ: Bài 62 SGK.

Ví dụ: Bài 63 SGK.

Ví dụ: Bài 78 SGK.

Ví dụ: C/mr diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông bằng hai lần diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông đó.
Ví dụ: Cho đường tròn (O) bắn kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 4cm. Tính:
a) Bán kính của đường tròn (O).
b) Độ dài 2 cung BC.

VIII. HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN, HÌNH CẦU.
Hình trụ, hình nón, hình cầu.
Hình khai triển trên mặt phẳng của hình trụ, hình nó.
Công thức tính DTXQ và thể tích của hình trụ, hình nón. Kiến thức:
Qua mô hình nhận biết được hình trụ, hình nón, hình cầu và đặc biệt là các yếu tố: Đường sinh, chiều cao, bán kính có liên quan đến việc tính toán diện tích và thể tích các hình đó.
Kỹ năng:
Biết các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích các hình, từ đó vận dụng vào việc tính toán diện tích, thể tích các vật có cấu tạo từ các hình nói trên. – Nhớ và biết được: Đáy, trục, mặt xung quanh, đường sinh, độ dài đường cao của hình trụ (mặt cắt song song với đáy hoặc song song với trục)
– Tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình trụ dựa vào công thức.
– Nhớ và khắc sâu khái niệm của hình nón, đáy của hình nón, mặt xung quanh, đường sinh, chiều cao, mặt cắt song song với đáy và có khái niệm về hình nón cụt.
– Tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và, thể tích của hình nón, hình nón cụt.
– Nhớ và nắm được các khái niệm: Tâm, bán kính, đường kính, đường tròn lớn, mặt cầu.
– Biết được mặt cắt hay thiết diện tạo thành khi một mặt phẳng cắt một hình cầu.
– Tính được diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.
– Thấy được các ứng dụng của những công thức trên trong đời sống thực tế.
Nên làm các bài tập: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 27, 31, 35 SGK. Ví dụ: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 4cm và chiều cao bằng 8cm. Tính:
a) Đường kính đáy;
b) Chu vi đáy;
c) Diện tích đáy;
d) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần;
e) Thể tích của hình trụ đó.
Ví dụ: Một hình nón có bắn kính đáy bằng 3cm và chiều cao bằng 12cm. Tính:
a) Chu vi đáy;
b) Diện tích đáy;
c) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần;
e) Thể tích của hình nón đó.
Ví dụ: Diện tích của một mặt cầu là 1256cm2. Tính
a) Thể tích hình cầu.
b) Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính gấp đôi bán kính của mặt cầu đã cho.