Đề thi vào 10 toán Lai Châu Đề 2 – 05/05/2023
Câu 1. (2.5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) [latex]x-5=0 [/latex]
b) [latex]x^2 + 3x – 4 = 0[/latex]
c)[latex]\,\left\{ \begin{align}
& x+y=3 \\
& x-y=1 \\
\end{align} \right.[/latex]
Câu 2. (2.0 điểm)
2.1. Tính: [latex]\sqrt{81}- \sqrt{36}+\sqrt{25}- \sqrt{4}[/latex]
2.2. Cho biểu thức [latex]B =6 \sqrt{x + 1}- 3 \sqrt{x + 1}+ \sqrt{x + 1}[/latex] với [latex]x \ge 0 [/latex]
a. Rút gọn biểu thức B
b. Tính giá trị biểu thức B biết x = 3
Câu 3. (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số [latex]y=2x^2[/latex]
Câu 4. (1.0 điểm) Một xe máy đi từ A đến B, lúc về từ B đến A với vận tốc nhanh hơn khi đi là 10 km/h. Biết quãng đường từ A đến B dài 60 km, thời gian cả đi lẫn về ( không tính thời gian nghỉ) là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi của xe xe máy.
Câu 5. (3.0 điểm)
5.1.Cho tam giác ABC vuông tại A biết BC =8cm,[latex]\widehat{C}=30{}^\circ [/latex] , Tính cạnh AB
(Biết [latex]sin 30{}^\circ = \frac{1}{2} [/latex] )
5.2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. P là một điểm nằm ngoài đường tròn, hạ PH vuông góc AB tại H, AP,BP lần lượt cắt đường tròn tại C, D gọi I là giao điểm AD và BC.
a. Chứng minh tứ giác PCID là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh BD . BP = BH . BA
c. Chứng minh AD, BC, PH đồng quy
Câu 6. (0,5 điểm) Giải phương trình [latex]\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5[/latex]
Hướng dẫn giải
Câu 1. (2.5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) [latex]x-5=0 [/latex]
[latex] \Leftrightarrow x= 5[/latex]
b) [latex]x^2 + 3x – 4 = 0[/latex]
[latex](a=1;b=-4;c=3)[/latex]
Ta có [latex]a+b+c=0[/latex] suy ra
Phương trình có 2 nghiệm
[latex]x_1 = 1[/latex]
[latex]x_2 = \frac{c}{a}=-4[/latex]
c)[latex]\,\left\{ \begin{align}
& x+y=3 \\
& x-y=1 \\
\end{align} \right.[/latex]
[latex]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& 2x=4 \\
& x+y=3 \\
\end{align} \right.[/latex]
[latex]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2 \\
& 2 + y=3 \\
\end{align} \right.[/latex]
[latex]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2 \\
& y=1 \\
\end{align} \right.[/latex]
Câu 2. (2.0 điểm)
2.1. Tính: [latex]\sqrt{81}- \sqrt{36}+\sqrt{25}- \sqrt{4}=9- 6+5- 2=6[/latex]
2.2. Cho biểu thức [latex]B =6 \sqrt{x + 1}- 3 \sqrt{x + 1}+ \sqrt{x + 1}[/latex] với [latex]x \ge 0 [/latex]
a. Rút gọn biểu thức B
[latex]B =6 \sqrt{x + 1}- 3 \sqrt{x + 1}+ \sqrt{x + 1}[/latex] với [latex]x \ge 0 [/latex]
[latex]B =(6 – 3 + 1) \sqrt{x + 1}[/latex]
[latex]B =4 \sqrt{x + 1}[/latex]
b. Tính giá trị biểu thức B biết x = 3
Thay x = 3 vào [latex]B =4 \sqrt{x + 1}[/latex]
[latex]B =4 \sqrt{3 + 1}=4 \sqrt{4}=4.2=8[/latex]
Câu 3. (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số [latex]y=2x^2[/latex]
Bảng giá trị
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
Câu 4. (1.0 điểm) Một xe máy đi từ A đến B, lúc về từ B đến A với vận tốc nhanh hơn khi đi là 10 km/h. Biết quãng đường từ A đến B dài 60 km, thời gian cả đi lẫn về ( không tính thời gian nghỉ) là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi của xe xe máy.
Giải
Gọi vận tốc lúc đi A-B của xe máy là x (km/h , x>0)
Thời gian lúc đi của xe máy là [latex]\frac{60}{x}[/latex]
vận tốc lúc Về (B-A) của xe máy là x + 10 (km/h)
Thời gian lúc đi của xe máy là [latex]\frac{60}{x+10}[/latex]
Tổng thời gian cả đi và về là 5h
[latex]\frac{60}{x}+\frac{60}{x+10}=5[/latex]
Giải phương trình [latex]\frac{60}{x}+\frac{60}{x+10}=5[/latex]
[latex] 60(x + 10 + x ) = 5.x.(x+10)[/latex]
[latex] 5x^2 + 50x -120x -600 = 0[/latex]
[latex] 5x^2 – 70x – 600 = 0[/latex]
[latex] x^2 – 35x – 120 = 0[/latex]
[latex]x_1 = -6 [/latex](loại)
[latex]x_2 = 20 [/latex](Thỏa mãn)
Vậy vận tốc xe đi từ A-B là 20 km/h.
Câu 5. (3.0 điểm)
5.1.Cho tam giác ABC vuông tại A biết BC =8cm, [latex] \widehat{C} = {30}^\circ [/latex] , Tính cạnh AB
(Biết [latex]\sin {30}^\circ = \frac{1}{2} [/latex] )
Giải
Vì ABC vuông tại A [latex]\sin \widehat{C} = \frac{Đ}{H}= \frac{AB}{BC} [/latex]
Thay [latex]\sin \widehat{C} = \sin 30{}^\circ = \frac{1}{2} [/latex] BC = 8cm Ta được [latex]\frac{1}{2}= \frac{AB}{8} [/latex]
[latex]AB = 8 . 1 : 2 = 4 [/latex] (cm)
5.2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. P là một điểm nằm ngoài đường tròn, hạ PH vuông góc AB tại H, AP,BP lần lượt cắt đường tròn tại C, D gọi I là giao điểm AD và BC.
a. Chứng minh tứ giác PCID là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh BD . BP = BH . BA
c. Chứng minh AD, BC, PH đồng quy
a. Chứng minh tứ giác PCID là tứ giác nội tiếp.
Theo bài ra ta có đường tròn tâm O đường kính AB. C, D nằm trên (O)
[latex]\widehat{C}=\widehat{D}=90{}^\circ [/latex]
Suy ra tứ giác PCID nội tiếp đường tròn ([latex]\widehat{C} + \widehat{D}=180{}^\circ [/latex]
b. Chứng minh BD . BP = BH . BA
Chứng minh [latex] \Delta ABD \sim \Delta PBH [/latex] (g.g)
Xét [latex]\Delta ABD [/latex] và [latex]\Delta PBH [/latex] có
[latex]\widehat{D} = \widehat{H}=90{}^\circ [/latex]
[latex]\widehat{B} [/latex] góc chung
[latex]\Rightarrow \frac{AB}{PB}= \frac{BD}{BH} [/latex]
[latex]\Rightarrow BD . PB = BH . AB[/latex]
[latex]\Rightarrow BD . BP = BH . BA[/latex] (đpcm)
c. Chứng minh AD, BC, PH đồng quy
Xét [latex] \Delta ABP [/latex] có
[latex]BC\bot AP [/latex]
[latex]PH\bot AB [/latex]
[latex]AD\bot PB [/latex]
Suy ra AD, BC, PH đồng quy I
Câu 6. (0,5 điểm) Giải phương trình [latex]\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5[/latex]
Dễ thấy x = 6 là nghiệm của [latex]\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5[/latex]
CM x = 6 là nghiệm duy nhất
Xét x > 6 : VT > 5
Xét x < 6 : VT < 5
