Đề thi vào 10 toán Lai Châu Đề 2 – 05/05/2023
Câu 1. (2.5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) \(x-5=0 \)
b) \(x^2 + 3x – 4 = 0\)
c)\(\,\left\{ \begin{align}
& x+y=3 \\
& x-y=1 \\
\end{align} \right.\)
Câu 2. (2.0 điểm)
2.1. Tính: \(\sqrt{81}- \sqrt{36}+\sqrt{25}- \sqrt{4}\)
2.2. Cho biểu thức \(B =6 \sqrt{x + 1}- 3 \sqrt{x + 1}+ \sqrt{x + 1}\) với \(x \ge 0 \)
a. Rút gọn biểu thức B
b. Tính giá trị biểu thức B biết x = 3
Câu 3. (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số \(y=2x^2\)
Câu 4. (1.0 điểm) Một xe máy đi từ A đến B, lúc về từ B đến A với vận tốc nhanh hơn khi đi là 10 km/h. Biết quãng đường từ A đến B dài 60 km, thời gian cả đi lẫn về ( không tính thời gian nghỉ) là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi của xe xe máy.
Câu 5. (3.0 điểm)
5.1.Cho tam giác ABC vuông tại A biết BC =8cm,\(\widehat{C}=30{}^\circ \) , Tính cạnh AB
(Biết \(sin 30{}^\circ = \frac{1}{2} \) )
5.2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. P là một điểm nằm ngoài đường tròn, hạ PH vuông góc AB tại H, AP,BP lần lượt cắt đường tròn tại C, D gọi I là giao điểm AD và BC.
a. Chứng minh tứ giác PCID là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh BD . BP = BH . BA
c. Chứng minh AD, BC, PH đồng quy
Câu 6. (0,5 điểm) Giải phương trình \(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5\)
Hướng dẫn giải
Câu 1. (2.5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) \(x-5=0 \)
\( \Leftrightarrow x= 5\)b) \(x^2 + 3x – 4 = 0\)
\((a=1;b=-4;c=3)\)Ta có \(a+b+c=0\) suy ra
Phương trình có 2 nghiệm
\(x_1 = 1\) \(x_2 = \frac{c}{a}=-4\)c)\(\,\left\{ \begin{align}
& x+y=3 \\
& x-y=1 \\
\end{align} \right.\)
& 2x=4 \\
& x+y=3 \\
\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2 \\
& 2 + y=3 \\
\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2 \\
& y=1 \\
\end{align} \right.\)
Câu 2. (2.0 điểm)
2.1. Tính: \(\sqrt{81}- \sqrt{36}+\sqrt{25}- \sqrt{4}=9- 6+5- 2=6\)
2.2. Cho biểu thức \(B =6 \sqrt{x + 1}- 3 \sqrt{x + 1}+ \sqrt{x + 1}\) với \(x \ge 0 \)
a. Rút gọn biểu thức B
\(B =6 \sqrt{x + 1}- 3 \sqrt{x + 1}+ \sqrt{x + 1}\) với \(x \ge 0 \)
\(B =(6 – 3 + 1) \sqrt{x + 1}\) \(B =4 \sqrt{x + 1}\)b. Tính giá trị biểu thức B biết x = 3
Thay x = 3 vào \(B =4 \sqrt{x + 1}\)
\(B =4 \sqrt{3 + 1}=4 \sqrt{4}=4.2=8\)Câu 3. (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số \(y=2x^2\)
Bảng giá trị
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
Câu 4. (1.0 điểm) Một xe máy đi từ A đến B, lúc về từ B đến A với vận tốc nhanh hơn khi đi là 10 km/h. Biết quãng đường từ A đến B dài 60 km, thời gian cả đi lẫn về ( không tính thời gian nghỉ) là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi của xe xe máy.
Giải
Gọi vận tốc lúc đi A-B của xe máy là x (km/h , x>0)
Thời gian lúc đi của xe máy là \(\frac{60}{x}\)
vận tốc lúc Về (B-A) của xe máy là x + 10 (km/h)
Thời gian lúc đi của xe máy là \(\frac{60}{x+10}\)
Tổng thời gian cả đi và về là 5h
\(\frac{60}{x}+\frac{60}{x+10}=5\)Giải phương trình \(\frac{60}{x}+\frac{60}{x+10}=5\)
\( 60(x + 10 + x ) = 5.x.(x+10)\) \( 5x^2 + 50x -120x -600 = 0\) \( 5x^2 – 70x – 600 = 0\) \( x^2 – 35x – 120 = 0\)\(x_1 = -6 \)(loại)
\(x_2 = 20 \)(Thỏa mãn)
Vậy vận tốc xe đi từ A-B là 20 km/h.
Câu 5. (3.0 điểm)
5.1.Cho tam giác ABC vuông tại A biết BC =8cm, \( \widehat{C} = {30}^\circ \) , Tính cạnh AB
(Biết \(\sin {30}^\circ = \frac{1}{2} \) )
Giải
Vì ABC vuông tại A \(\sin \widehat{C} = \frac{Đ}{H}= \frac{AB}{BC} \)
Thay \(\sin \widehat{C} = \sin 30{}^\circ = \frac{1}{2} \) BC = 8cm Ta được \(\frac{1}{2}= \frac{AB}{8} \)
\(AB = 8 . 1 : 2 = 4 \) (cm)
5.2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. P là một điểm nằm ngoài đường tròn, hạ PH vuông góc AB tại H, AP,BP lần lượt cắt đường tròn tại C, D gọi I là giao điểm AD và BC.
a. Chứng minh tứ giác PCID là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh BD . BP = BH . BA
c. Chứng minh AD, BC, PH đồng quy
a. Chứng minh tứ giác PCID là tứ giác nội tiếp.
Theo bài ra ta có đường tròn tâm O đường kính AB. C, D nằm trên (O)
\(\widehat{C}=\widehat{D}=90{}^\circ \)Suy ra tứ giác PCID nội tiếp đường tròn (\(\widehat{C} + \widehat{D}=180{}^\circ \)
b. Chứng minh BD . BP = BH . BA
Chứng minh \( \Delta ABD \sim \Delta PBH \) (g.g)
Xét \(\Delta ABD \) và \(\Delta PBH \) có
\(\widehat{D} = \widehat{H}=90{}^\circ \)\(\widehat{B} \) góc chung
\(\Rightarrow \frac{AB}{PB}= \frac{BD}{BH} \) \(\Rightarrow BD . PB = BH . AB\)
\(\Rightarrow BD . BP = BH . BA\) (đpcm)
c. Chứng minh AD, BC, PH đồng quy
Xét \( \Delta ABP \) có
\(BC\bot AP \) \(PH\bot AB \) \(AD\bot PB \)Suy ra AD, BC, PH đồng quy I
Câu 6. (0,5 điểm) Giải phương trình \(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5\)
Dễ thấy x = 6 là nghiệm của \(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=5\)
CM x = 6 là nghiệm duy nhất
Xét x > 6 : VT > 5
Xét x < 6 : VT < 5
